511 lines
23 KiB
TeX
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TeX
\begin{exercise}[subtitle={Pression}, step={1}, origin={Sesamath}, topics={ Fonciton affine }, tags={ fonction, évolution }, mode={\searchMode}]
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On donne ci-contre la représentation de la fonction $f$ donnant la pression en bars s'exerçant sur un plongeur en fonction de sa profondeur $x$ en mètres.
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\noindent
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\begin{minipage}{0.55\textwidth}
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\begin{enumerate}
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\item À l'aide de la représentation graphique :
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\begin{enumerate}
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\item Donner la pression en bars s'exerçant sur un plongeur à une profondeur de 30 m, de 45 m.
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\item Donner la profondeur en mètres lorsque la pression s'exerçant sur le plongeur est de 3 bars.
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\item Quelle est la pression s'exerçant sur le plongeur à la surface de l'eau ? Comment expliquer que cette pression n'est pas nulle ?
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\end{enumerate}
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\item
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\begin{enumerate}
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\item Quelle est la nature de la fonction $f$ ?
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\item Si on plonge de 10m comment évolue la pression?
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\item Si on plonge de 20m comment évolue la pression?
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\item Déterminer l'expression de $f(x)$ en fonction de $x$.
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\item En déduire la pression à 8,3 m de profondeur.
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\item Calculer la profondeur en mètres à laquelle se trouve le plongeur si la pression s'exerçant sur lui est de 10,7 bars.
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}{0.4\textwidth}
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\begin{tikzpicture}
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\begin{axis}[
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width=8cm,
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height=10cm,
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xlabel={Profondeur (en m)},
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ylabel={Pression (en bars)},
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xmin=0, xmax=70,
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ymin=0, ymax=8.5,
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xtick={0,10,20,30,40,50,60,70},
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ytick={0,1,2,3,4,5,6,7,8},
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xmajorgrids=true,
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ymajorgrids=true,
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grid style={line width=.4pt, draw=gray},
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minor x tick num=1,
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minor y tick num=0,
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xminorgrids=true,
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minor grid style={line width=.2pt, draw=gray},
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axis lines=middle,
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axis line style={->, thick},
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every axis x label/.style={at={(ticklabel* cs:0.5)},anchor=north,yshift=-15pt},
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every axis y label/.style={at={(ticklabel* cs:0.5)},anchor=north,rotate=90,yshift=30pt},
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]
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% Fonction f(x) = 0.1x + 1
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\addplot[domain=0:70, red, very thick, samples=2] {0.1*x + 1};
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\end{axis}
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\end{tikzpicture}
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\end{minipage}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{enumerate}
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\item Par lecture graphique : à 30 m de profondeur, la pression est de 4 bars ; à 45 m, elle est de 5,5 bars.
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\item Par lecture graphique : lorsque la pression est de 3 bars, la profondeur est de 20 m.
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\item À la surface ($x = 0$), la pression est de 1 bar. Cette pression correspond à la pression atmosphérique qui s'exerce sur tout corps à la surface de la Terre.
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\end{enumerate}
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\item
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\begin{enumerate}
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\item La fonction $f$ est une fonction affine car sa représentation graphique est une droite.
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\item Lorsqu'on plonge de 10 m, la pression augmente de 1 bar (par exemple, de 1 bar à 0 m à 2 bars à 10 m).
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\item Lorsqu'on plonge de 20 m, la pression augmente de 2 bars.
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\item La fonction $f$ est affine, donc de la forme $f(x) = ax + b$.
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On lit sur le graphique : $f(0) = 1$ donc $b = 1$.
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De plus, $f(10) = 2$ donc $10a + 1 = 2$, d'où $a = 0{,}1$.
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Ainsi, $f(x) = 0{,}1x + 1$.
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\item $f(8{,}3) = 0{,}1 \times 8{,}3 + 1 = 0{,}83 + 1 = 1{,}83$ bar.
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\item On cherche $x$ tel que $f(x) = 10{,}7$.
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$0{,}1x + 1 = 10{,}7$
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$0{,}1x = 9{,}7$
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$x = 97$ m.
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Le plongeur se trouve à 97 m de profondeur.
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Association de fonctions}, step={2}, origin={Sesamath}, topics={ Fonciton affine }, tags={ fonction, évolution }, mode={\trainMode}]
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On donne ci-dessous les représentations graphiques de quatre fonctions affines $f$, $g$, $h$ et $k$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 3 - 0,5x$ ; $g(x) = 2x$ ; $h(x) = -x$ et $k(x) = x - 2$.
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Associer chaque fonction à la droite qui la représente.
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}
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\begin{axis}[
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width=10cm,
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height=8cm,
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xlabel={$x$},
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|
ylabel={$y$},
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xmin=-5, xmax=5,
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ymin=-6, ymax=6,
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xtick={-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5},
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|
ytick={-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6},
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grid=both,
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grid style={line width=.4pt, draw=gray},
|
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axis lines=middle,
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axis line style={->, thick},
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tick label style={font=\small},
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every axis x label/.style={at={(current axis.right of origin)},anchor=west},
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|
every axis y label/.style={at={(current axis.above origin)},anchor=south},
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]
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% Droite d1 (rouge) : f(x) = 3 - 0.5x
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\addplot[domain=-5:5, red, very thick, samples=2] {3 - 0.5*x} node[pos=0.2, above left] {$d_1$};
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% Droite d2 (bleue) : h(x) = -x
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\addplot[domain=-5:5, blue!60, very thick, samples=2] {-x} node[pos=0.2, below ] {$d_2$};
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% Droite d3 (verte) : k(x) = x - 2
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\addplot[domain=-4:5, green!60!black, very thick, samples=2] {x - 2} node[pos=0.9, above ] {$d_3$};
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% Droite d4 (magenta) : g(x) = 2x
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|
\addplot[domain=-3:3, magenta, very thick, samples=2] {2*x} node[pos=0.8, above left] {$d_4$};
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\end{axis}
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\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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Pour associer chaque fonction à sa droite, on identifie le coefficient directeur (pente) et l'ordonnée à l'origine :
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\begin{itemize}
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\item $f(x) = 3 - 0{,}5x$ : ordonnée à l'origine $b = 3$ et coefficient directeur $a = -0{,}5$ (fonction décroissante). C'est la droite $d_1$.
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\item $g(x) = 2x$ : ordonnée à l'origine $b = 0$ (passe par l'origine) et coefficient directeur $a = 2$ (fonction croissante avec forte pente). C'est la droite $d_4$.
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\item $h(x) = -x$ : ordonnée à l'origine $b = 0$ (passe par l'origine) et coefficient directeur $a = -1$ (fonction décroissante). C'est la droite $d_2$.
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\item $k(x) = x - 2$ : ordonnée à l'origine $b = -2$ et coefficient directeur $a = 1$ (fonction croissante). C'est la droite $d_3$.
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\end{itemize}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Expression d'une fonction - graphique}, step={2}, origin={Sesamath}, topics={ Fonciton affine }, tags={ fonction, évolution }, mode={\trainMode}]
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On a représenté ci-dessous quatre fonctions affines $f_1$, $f_2$, $f_3$ et $f_4$.
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Déterminer leurs expressions algébriques.
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}
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\begin{axis}[
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width=10cm,
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height=8cm,
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xlabel={$x$},
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|
ylabel={$y$},
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xmin=-2, xmax=6,
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ymin=-2, ymax=5,
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xtick={-2,-1,0,1,2,3,4,5,6},
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ytick={-2,-1,0,1,2,3,4,5},
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grid=both,
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grid style={line width=.4pt, draw=gray},
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axis lines=middle,
|
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axis line style={->, thick},
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tick label style={font=\small},
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every axis x label/.style={at={(current axis.right of origin)},anchor=west},
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|
every axis y label/.style={at={(current axis.above origin)},anchor=south},
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]
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% Droite f3 (rouge) : passe par (-1,4) et (4,-1) => pente = -5/5 = -1, ordonnée = 3
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\addplot[domain=-2:6, red, very thick, samples=2] {-x + 3} node[pos=0.8, above right] {$\mathcal{C}_{f_3}$};
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% Droite f2 (magenta) : passe par (0,-1) et (3,5) => pente = 6/3 = 2, ordonnée = -1
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\addplot[domain=-2:6, magenta, very thick, samples=2] {1.5*x - 1} node[pos=0.55, above left] {$\mathcal{C}_{f_2}$};
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% Droite f1 (bleue) : passe par (-1,-0.5) et (6,4) => pente = 4.5/7 ≈ 0.643, ordonnée ≈ 0.143
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\addplot[domain=-2:6, blue!60, very thick, samples=2] {2/3*x } node[pos=0.85, above left] {$\mathcal{C}_{f_1}$};
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|
% Droite f4 (verte) - horizontale : y = 2
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\addplot[domain=-2:6, green!60!black, very thick, samples=2] {2} node[pos=0.9, above] {$\mathcal{C}_{f_4}$};
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|
\end{axis}
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\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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Pour chaque fonction, on détermine le coefficient directeur $a$ et l'ordonnée à l'origine $b$.
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\begin{itemize}
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\item $f_1$ : La droite passe par l'origine donc $b = 0$. Elle passe par le point $(3, 2)$ donc $a = \frac{2}{3}$. Ainsi, $f_1(x) = \frac{2}{3}x$.
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|
\item $f_2$ : L'ordonnée à l'origine est $b = -1$. La droite passe par $(2, 2)$ donc $2a - 1 = 2$, d'où $a = \frac{3}{2}$. Ainsi, $f_2(x) = \frac{3}{2}x - 1$ ou $f_2(x) = 1{,}5x - 1$.
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|
\item $f_3$ : L'ordonnée à l'origine est $b = 3$. La droite passe par $(3, 0)$ donc $3a + 3 = 0$, d'où $a = -1$. Ainsi, $f_3(x) = -x + 3$.
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|
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|
\item $f_4$ : C'est une fonction constante (droite horizontale) d'ordonnée $y = 2$. Ainsi, $f_4(x) = 2$.
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\end{itemize}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Expression d'une fonction - valeurs}, step={2}, origin={Sesamath}, topics={ Fonciton affine }, tags={ fonction, évolution }, mode={\trainMode}]
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Déterminer l'expression algébrique des fonctions affines suivantes à partir des informations données
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\begin{multicols}{2}
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\begin{enumerate}
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\item La fonction $f$ vérifie $f(0) = 3$ et $f(2) = 11$.
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\item La fonction $g$ vérifie $g(0) = -5$ et $g(4) = 7$.
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\item La fonction $h$ vérifie $h(0) = 8$ et $h(2) = 2$.
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\item La fonction $k$ vérifie $k(1) = 7$ et $k(3) = 17$.
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\item La fonction $m$ vérifie $m(2) = 3$ et $m(5) = -9$.
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\item La fonction $n$ vérifie $n(-1) = 5$ et $n(3) = -3$.
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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Pour chaque fonction affine de la forme $f(x) = ax + b$, on utilise les deux valeurs données.
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\begin{enumerate}
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\item $f(0) = 3$ donc $b = 3$. De plus, $f(2) = 11$ donc $2a + 3 = 11$, d'où $a = 4$. Ainsi, $f(x) = 4x + 3$.
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\item $g(0) = -5$ donc $b = -5$. De plus, $g(4) = 7$ donc $4a - 5 = 7$, d'où $a = 3$. Ainsi, $g(x) = 3x - 5$.
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\item $h(0) = 8$ donc $b = 8$. De plus, $h(2) = 2$ donc $2a + 8 = 2$, d'où $a = -3$. Ainsi, $h(x) = -3x + 8$.
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\item On a $k(1) = 7$ et $k(3) = 17$. Le coefficient directeur est $a = \frac{17 - 7}{3 - 1} = \frac{10}{2} = 5$.
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Puis $k(1) = 7$ donne $5 \times 1 + b = 7$, donc $b = 2$. Ainsi, $k(x) = 5x + 2$.
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\item On a $m(2) = 3$ et $m(5) = -9$. Le coefficient directeur est $a = \frac{-9 - 3}{5 - 2} = \frac{-12}{3} = -4$.
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Puis $m(2) = 3$ donne $-4 \times 2 + b = 3$, donc $b = 11$. Ainsi, $m(x) = -4x + 11$.
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\item On a $n(-1) = 5$ et $n(3) = -3$. Le coefficient directeur est $a = \frac{-3 - 5}{3 - (-1)} = \frac{-8}{4} = -2$.
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Puis $n(-1) = 5$ donne $-2 \times (-1) + b = 5$, donc $b = 3$. Ainsi, $n(x) = -2x + 3$.
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Offre et demande}, step={3}, origin={Sesamath}, topics={ Fonciton affine }, tags={ fonction, évolution }, mode={\trainMode}]
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L'offre est la quantité de biens qu'une entreprise est prête à vendre à un prix donné.
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La demande est la quantité de biens que les consommateurs sont prêts à acheter pour un prix donné.
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Lors du lancement d'un jouet sur le marché, une étude a permis d'obtenir les représentations des fonctions d'offre et de demande.
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}
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\begin{axis}[
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width=12cm,
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height=8cm,
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axis lines=middle,
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xlabel={Quantité (en milliers)},
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ylabel={Prix (en €)},
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xmin=0, xmax=28,
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ymin=0, ymax=18,
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xtick={0,5,10,15,20,25,30},
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|
ytick={0,5,10,15,20},
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grid=both,
|
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grid style={line width=.4pt, draw=gray},
|
|
minor x tick num=4,
|
|
minor y tick num=4,
|
|
xminorgrids=true,
|
|
minor grid style={line width=.2pt, draw=gray},
|
|
]
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% Droite bleue (offre)
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\addplot[blue, very thick, domain=0:26] {15/20*x};
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\node[blue] at (axis cs:14,12) {$\mathcal{C}_f$};
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|
% Droite rouge (demande)
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|
\addplot[red, very thick, domain=0:26] {10 - 10/25*x};
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|
\node[red] at (axis cs:14,5) {$\mathcal{C}_g$};
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|
\end{axis}
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|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
\begin{enumerate}
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|
\item
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|
\begin{enumerate}
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|
\item Déterminer à l'aide du graphique l'expression algébrique de la fonction $f$.
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|
\item Que valent $g(0)$ et $g(25)$ ? En déduire l'expression algébrique de $g(x)$.
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|
\item Laquelle des deux représentations graphiques représente la demande ? Justifier.
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\item Lorsque le prix est de 5 €, quelle quantité approximative de jouets l'entreprise est-elle prête à vendre ? Quelle quantité de jouets les consommateurs sont-ils prêts à acheter ?
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|
\end{enumerate}
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\item Le marché d'offre et de demande est à l'équilibre lorsque, pour un même prix, la quantité offerte par les producteurs est égale à la quantité demandée par les consommateurs. Déterminer ce prix d'équilibre :
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|
\begin{enumerate}
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\item graphiquement.
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\item par le calcul arrondi au centime.
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\item À quelle quantité ce prix correspond-il ?
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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|
\item
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\begin{enumerate}
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\item La fonction $f$ passe par l'origine donc $f(0) = 0$. On lit $f(20) = 15$ donc le coefficient directeur est $a = \frac{15}{20} = \frac{3}{4} = 0{,}75$.
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Ainsi, $f(x) = 0{,}75x$.
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\item On lit $g(0) = 10$ et $g(25) = 0$. Le coefficient directeur est $a = \frac{0 - 10}{25 - 0} = -\frac{10}{25} = -0{,}4$.
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Ainsi, $g(x) = -0{,}4x + 10$.
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\item La demande est représentée par $\mathcal{C}_g$ (droite rouge décroissante). En effet, plus le prix augmente, moins les consommateurs sont prêts à acheter (la quantité demandée diminue).
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\item Lorsque le prix est de 5 €, par lecture graphique :
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\begin{itemize}
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\item L'entreprise est prête à vendre environ 6,5 milliers de jouets (soit 6~500 jouets).
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\item Les consommateurs sont prêts à acheter environ 12,5 milliers de jouets (soit 12~500 jouets).
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\end{itemize}
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\end{enumerate}
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|
\item
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\begin{enumerate}
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\item Graphiquement, le point d'équilibre correspond à l'intersection des deux droites. On lit environ 6,5 € pour une quantité d'environ 8,5 milliers.
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\item Par le calcul, on résout $f(x) = g(x)$ :
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$0{,}75x = -0{,}4x + 10$
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$1{,}15x = 10$
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$x = \frac{10}{1{,}15} \approx 8{,}70$ milliers.
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Le prix d'équilibre est $f(8{,}70) = 0{,}75 \times 8{,}70 = 6{,}52$ €.
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\item Ce prix correspond à une quantité d'environ 8~700 jouets.
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\end{enumerate}
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|
\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Conversion de températures}, step={3}, origin={Sesamath}, topics={ Fonciton affine }, tags={ fonction, évolution }, mode={\trainMode}]
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En France, l'unité de température est le degré Celsius, noté °C. Dans certains pays anglo-saxons, l'unité est le degré Fahrenheit, noté °F.
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La conversion des degrés Celsius en degrés Fahrenheit s'obtient à l'aide d'une fonction affine $f$ qui à une température en degrés Celsius $x$ associe la température $f(x)$ en degrés Fahrenheit.
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Pour un Californien, l'eau gèle à 32 °F et bout à 212 °F.
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\begin{enumerate}
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\item Déterminer l'expression algébrique de $f(x)$.
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\item À l'aide de cette expression, répondre aux questions suivantes.
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\begin{enumerate}
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\item Quelle est la température du corps humain en °F ?
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\item S'il fait 90 °F à Los Angeles, est-ce une température supportable ?
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Justifier.
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\item Peut-on trouver une température qui s'exprime par le même nombre en °C et en °F ?
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item La fonction $f$ est affine de la forme $f(x) = ax + b$.
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On sait que l'eau gèle à 0 °C et bout à 100 °C. Donc $f(0) = 32$ et $f(100) = 212$.
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De $f(0) = 32$, on obtient $b = 32$.
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De $f(100) = 212$, on obtient $100a + 32 = 212$, donc $a = \frac{180}{100} = 1{,}8$.
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Ainsi, $f(x) = 1{,}8x + 32$.
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\item
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\begin{enumerate}
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\item La température du corps humain est d'environ 37 °C. En °F : $f(37) = 1{,}8 \times 37 + 32 = 66{,}6 + 32 = 98{,}6$ °F.
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\item On cherche la température en °C correspondant à 90 °F. On résout $f(x) = 90$ :
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$1{,}8x + 32 = 90$
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$1{,}8x = 58$
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$x = \frac{58}{1{,}8} \approx 32{,}2$ °C.
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Oui, c'est une température supportable (chaude mais supportable).
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\item On cherche $x$ tel que $f(x) = x$ :
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$1{,}8x + 32 = x$
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$0{,}8x = -32$
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$x = -40$.
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Oui, à $-40$ °C = $-40$ °F.
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Remplissage d'un réservoir}, step={3}, origin={Création}, topics={ Fonciton affine }, tags={ fonction, évolution, modélisation }, mode={\trainMode}]
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Un réservoir d'eau de pluie est en train de se remplir. Au début de l'observation (à $t = 0$ minute), le réservoir contient déjà 150 litres d'eau. On mesure qu'après 10 minutes, le réservoir contient 250 litres.
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On suppose que le débit de remplissage est constant.
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\begin{minipage}{0.6\textwidth}
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{enumerate}
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\item Quel est le volume d'eau ajouté en 10 minutes ?
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\item En déduire le débit de remplissage en litres par minute.
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\item Justifier que le volume $V$ (en litres) en fonction du temps $t$ (en minutes) peut être modélisé par une fonction affine.
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\item Déterminer l'expression de la fonction $V(t)$ donnant le volume d'eau dans le réservoir en fonction du temps $t$.
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\item Calculer le volume d'eau dans le réservoir après 25 minutes.
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\item Calculer le volume d'eau dans le réservoir après 1 heure.
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\end{enumerate}
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\item La capacité maximale du réservoir est de 800 litres. À quel moment le réservoir sera-t-il plein ?
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\item Représenter graphiquement la fonction $V(t)$ pour $t$ variant de 0 à 70 minutes. Tracer sur ce graphique la droite représentant le volume maximum du réservoir.
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\end{enumerate}
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}{0.4\textwidth}
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\begin{tikzpicture}
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\begin{axis}[
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width=8cm,
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height=10cm,
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xlabel={Temps (en min)},
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ylabel={Volume (en L)},
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xmin=0, xmax=70,
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ymin=0, ymax=850,
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xtick={0,10,20,30,40,50,60,70},
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ytick={0,100,200,300,400,500,600,700,800},
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grid=both,
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grid style={line width=.4pt, draw=gray},
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axis lines=middle,
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axis line style={->, thick},
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every axis x label/.style={at={(ticklabel* cs:0.5)},anchor=north,yshift=-15pt},
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%every axis y label/.style={at={(ticklabel* cs:0.5)},anchor=north,rotate=90,yshift=30pt},
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every axis y label/.style={at={(current axis.above origin)},anchor=west},
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]
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\end{axis}
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\end{tikzpicture}
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\end{minipage}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{enumerate}
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\item Le volume d'eau ajouté en 10 minutes est $250 - 150 = 100$ litres.
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\item Le débit de remplissage est $\frac{100}{10} = 10$ litres par minute.
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\item Le débit est constant, donc le volume augmente de manière constante dans le temps. Le volume en fonction du temps peut donc être modélisé par une fonction affine.
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\item La fonction $V(t)$ est de la forme $V(t) = at + b$.
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À $t = 0$, le volume est de 150 litres donc $b = 150$.
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Le débit est de 10 L/min donc $a = 10$.
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Ainsi, $V(t) = 10t + 150$.
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\item $V(25) = 10 \times 25 + 150 = 250 + 150 = 400$ litres.
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\item 1 heure = 60 minutes. $V(60) = 10 \times 60 + 150 = 600 + 150 = 750$ litres.
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\end{enumerate}
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\item On cherche $t$ tel que $V(t) = 800$ :
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$10t + 150 = 800$
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$10t = 650$
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$t = 65$ minutes.
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Le réservoir sera plein après 65 minutes, soit 1 h 5 min.
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\item Sur le graphique fourni, on trace :
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\begin{itemize}
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\item La droite d'équation $V(t) = 10t + 150$ passant par les points $(0, 150)$ et $(65, 800)$.
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\item La droite horizontale d'équation $V = 800$ représentant la capacité maximale.
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\end{itemize}
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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