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\begin{exercise}[subtitle={Longueur de l'arc}, step={1}, origin={Ma tête}, topics={ Radians }, tags={ trigonométrie, géométrie }, mode={\searchMode}]
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Dans tout l'exercice, les longueurs et les angles seront donnés sous forme exacte et non approchées.
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\begin{enumerate}
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\item Tracer un repère orthonormé ainsi que les points $O(0;0)$, $I(1;0)$ et $J(0;1)$.
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\item Tracer un cercle $\mathcal{C}$ d'une unité de rayon centré sur $O$.
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\item Quel est la longueur du cercle $\mathcal{C}$?
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\item On place le point $A(-1;0)$. Quel est la mesure de l'angle $\widehat{IOA}$? Quelle est le longueur de l'arc de cercle entre $I$ et $A$?
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\item Quel est la mesure de l'angle $\widehat{IOJ}$? Quelle est le longueur de l'arc de cercle entre $I$ et $J$?
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\item Quel est la mesure de l'angle $\widehat{IOJ}$? Quelle est le longueur de l'arc de cercle entre $I$ et $J$?
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\item Placer le point $B$ sur le cercle $\mathcal{C}$ tel que $\widehat{IOB} = 45°$. Quelle est le longueur de l'arc de cercle entre $I$ et $B$?
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\item Placer le point $C$ sur le cercle $\mathcal{C}$ tel que $\widehat{IOC} = 60°$. Quelle est le longueur de l'arc de cercle entre $I$ et $C$?
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\item Placer le point $D$ sur le cercle $\mathcal{C}$ tel que $\widehat{IOD} = 30°$. Quelle est le longueur de l'arc de cercle entre $I$ et $D$?
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\item Compléter le tableau suivant et déterminer un calcul qui permet de convertir un angle en degré en longueur d'arc.
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\begin{center}
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\begin{tabular}[c]{|l|*{5}{c|}}
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\hline
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Angle & $\widehat{IOA}$ & $\widehat{IOB}$ & $\widehat{IOC}$ & $\widehat{IOD}$ & Tour entier\\
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\hline
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Mesure en degré & & & & & \\
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\hline
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Longueur de l'arc & & & & & \\
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\hline
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\end{tabular}
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\end{center}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Placer les angles}, step={2}, origin={http://auriolg.free.fr/sab/1speechs.pdf}, topics={ Radians }, tags={ trigonométrie, géométrie }, mode={\trainMode}]
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\begin{minipage}{0.6\textwidth}
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On considère le le cercle trigonométrique ci-contre.
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Les segments en pointillé partagent le cercle en huit angles de 45 et les autres en douze angles de 30°.
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Associer les angles suivants aux points placés sur le cercle trigonométrique.
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}[label=\alph*)]
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\item $\dfrac{\pi}{6}$
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\item $\dfrac{\pi}{3}$
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\item $\dfrac{2\pi}{3}$
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\item $\dfrac{5\pi}{4}$
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\item $\dfrac{7\pi}{6}$
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\item $\dfrac{4\pi}{3}$
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\item $\dfrac{5\pi}{3}$
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\item $\dfrac{11\pi}{6}$
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\item $\dfrac{9\pi}{4}$
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\item $\dfrac{7\pi}{2}$
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\item $\dfrac{-\pi}{3}$
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\item $\dfrac{-\pi}{4}$
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\item $\dfrac{-6\pi}{3}$
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\item $\dfrac{-13\pi}{4}$
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\item $\dfrac{-20\pi}{2}$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.4\textwidth}
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[scale=3]
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\cercleTrigo
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\draw (0,0) -- (30:1) node[above right] {$A$};
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\draw[dashed] (0,0) -- (45:1) node[above right] {$B$};
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\draw (0,0) -- (60:1) node[above right] {$C$};
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\draw (0,0) -- (120:1) node[above left] {$D$};
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\draw[dashed] (0,0) -- (135:1) node[above left] {$E$};
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\draw (0,0) -- (150:1) node[above left] {$F$};
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\draw[dashed] (0,0) -- (180:1) node[below left] {$G$};
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\draw (0,0) -- (-30:1) node[below right] {$F$};
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\draw[dashed] (0,0) -- (-45:1) node[below right] {$G$};
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\draw (0,0) -- (-60:1) node[below right] {$H$};
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\draw (0,0) -- (-120:1) node[below left] {$K$};
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\draw[dashed] (0,0) -- (-135:1) node[below left] {$L$};
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\draw (0,0) -- (-150:1) node[below left] {$M$};
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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\end{minipage}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Angles représentant le même point}, step={2}, origin={}, topics={ Radians }, tags={ trigonométrie, géométrie }, mode={\trainMode}]
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\begin{minipage}{0.6\textwidth}
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On considère le le cercle trigonométrique ci-contre. On a partager le cercle trigonométrique en 24 segments.
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\begin{enumerate}
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\item Quel est la mesure de l'angle $\widehat{IOA}$?
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\item Associer entre eux les nombres qui correspondent aux mêmes points sur le cercle.
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}[label=\alph*)]
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\item $\dfrac{8\pi}{3}$
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\item $-\dfrac{11\pi}{6}$
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\item $\dfrac{\pi}{3}$
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\item $\dfrac{13\pi}{4}$
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\item $\dfrac{2\pi}{3}$
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\item $-\dfrac{5\pi}{3}$
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\item $\dfrac{\pi}{6}$
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\item $\dfrac{5\pi}{4}$
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\item $-\dfrac{4\pi}{3}$
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\item $\dfrac{13\pi}{6}$
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\item $\dfrac{7\pi}{3}$
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\item $-\dfrac{3\pi}{4}$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\item Pour chaque "famille", trouver la mesure correspondante dans l'intervalle $\intOF{-\pi}{\pi}$.
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\end{enumerate}
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.4\textwidth}
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[scale=3]
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\cercleTrigo
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% Diviser le cercle en 24 segments égaux
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\foreach \angle in {0,15,...,345} {
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\draw[thin, gray] (0,0) -- (\angle:1);
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}
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\draw (15:1) node[right] {$A$} ;
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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\end{minipage}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Mesure principale}, step={2}, origin={}, topics={ Radians }, tags={ trigonométrie, géométrie }, mode={\trainMode}]
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Retrouver la mesure principale des angles suivants, vous les placerez ensuite sur un cercle trigonométrique.
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\begin{multicols}{4}
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\begin{enumerate}[label=\alph*)]
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\item $\dfrac{7\pi}{4}$
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\item $\dfrac{11\pi}{6}$
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\item $\dfrac{9\pi}{4}$
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\item $\dfrac{13\pi}{6}$
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\item $\dfrac{17\pi}{4}$
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\item $-\dfrac{7\pi}{4}$
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\item $-\dfrac{5\pi}{3}$
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\item $-\dfrac{11\pi}{6}$
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\item $-\dfrac{9\pi}{4}$
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\item $-\dfrac{13\pi}{3}$
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\item $\dfrac{19\pi}{6}$
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\item $-\dfrac{15\pi}{4}$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Vrai-Faux}, step={3}, origin={}, topics={ Radians }, tags={ trigonométrie, géométrie }, mode={\trainMode}]
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Dire si les propositions suivantes sont vraies ou fausses. Vous justifierez vos réponses par un croquis ou vous trouverez des contre-exemples.
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\begin{multicols}{2}
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\begin{enumerate}
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\item Pour tout réel $x \in \intFF{\frac{-\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$, $\cos{x} \geq 0$.
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\item Pour tout réel $x \in \intFF{0}{\pi}$, $\sin{x} \geq 0$.
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\item Pour tout réel $x \in \intFF{0}{\pi}$, $\cos{x} \geq 0$.
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\item Pour tout réel $x$, $0 \leq \cos^2{x} \leq 1$.
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\item (*) Pour tout réel $x$, $\sin{2x} = 2 \sin{x}$.
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\item (*) Pour tout réel $\alpha$, $\cos(\alpha + x) = \sin(\alpha)$.
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Valeurs de $\sin$ et $\cos$ - premier quadrant}, step={3}, origin={}, topics={ Radians }, tags={ trigonométrie, géométrie }, mode={\trainMode}]
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En vous aidant du tableau des valeurs de $\sin$ et de $\cos$ ainsi que du cercle trigonométrique, déterminer les valeurs suivantes
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\begin{multicols}{4}
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\begin{enumerate}
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\item $\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$
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\item $\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$
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\item $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$
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\item $\sin\left(\dfrac{13\pi}{6}\right)$
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\item $\cos\left(\dfrac{17\pi}{4}\right)$
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\item $\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$
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\item $\cos\left(\dfrac{-5\pi}{3}\right)$
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\item $\sin\left(\dfrac{-6\pi}{4}\right)$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Valeurs de $\sin$ et $\cos$}, step={3}, origin={}, topics={ Radians }, tags={ trigonométrie, géométrie }, mode={\trainMode}]
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En vous aidant du tableau des valeurs de $\sin$ et de $\cos$ ainsi que du cercle trigonométrique, déterminer les valeurs suivantes
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\begin{multicols}{4}
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\begin{enumerate}
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\item $\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)$
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\item $\sin\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)$
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\item $\cos\left(\pi\right)$
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\item $\sin\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)$
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\item $\cos\left(\dfrac{5\pi}{4}\right)$
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\item $\sin\left(\dfrac{4\pi}{3}\right)$
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\item $\cos\left(\dfrac{5\pi}{3}\right)$
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\item $\sin\left(\dfrac{7\pi}{4}\right)$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Valeurs de $\cos(\frac{\pi}{4})$ et $\sin(\frac{\pi}{4})$}, step={4}, origin={Classique}, topics={ Radians }, tags={ trigonométrie, géométrie }, mode={\paperMode}]
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Dans cet exercice, on cherche à démontrer que $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
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\begin{enumerate}
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\item Tracer un cercle trigonométrique dans le repère $(\vec{OI}; \vec{OJ})$. Placer le point $A$ sur le cercle tel que $\widehat{IOA} = \frac{\pi}{4}$.
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\item Placer le point $B$ projeté orthogonal du point $A$ sur l'axe des abscisses et le point $C$ projeté orthogonal du point $A$ sur l'axe des ordonnées. Expliquer pourquoi a-t-on $\cos(\frac{\pi}{4}) = OB$ et $\sin(\frac{\pi}{4}) = OC = AB$.
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\item Démontrer que le triangle $OAB$ est isocèle rectangle en $B$.
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\item En déduire la longueur $OB$.
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\item En déduire les valeurs de $\cos{\frac{\pi}{4}}$ et de $\sin{\frac{\pi}{4}}$
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Valeurs de $\cos(\frac{\pi}{3})$ et $\sin(\frac{\pi}{3})$}, step={4}, origin={Classique}, topics={ Radians }, tags={ trigonométrie, géométrie }, mode={\paperMode}]
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Dans cet exercice, on cherche à démontrer que $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ et $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
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\begin{enumerate}
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\item Tracer un cercle trigonométrique dans le repère $(\vec{OI}; \vec{OJ})$. Placer le point $A$ sur le cercle tel que $\widehat{IOA} = \frac{\pi}{4}$.
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\item Placer le point $B$ projeté orthogonal du point $A$ sur l'axe des abscisses et le point $C$ projeté orthogonal du point $A$ sur l'axe des ordonnées. Expliquer pourquoi a-t-on $\cos(\frac{\pi}{3}) = OB$ et $\sin(\frac{\pi}{3}) = OC = AB$.
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\item Démontrer que le triangle $OAI$ est équilatéral.
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\item En déduire la longueur $OB$ puis la valeur de $\cos(\frac{\pi}{3})$.
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\item En se plaçant dans le triangle $AOB$, calculer la longueur $AB$ puis en déduire la longueur $\sin(\frac{\pi}{3})$.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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