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\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}
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\usepackage{variations}
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% Title Page
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\title{Correction du Devoir Maison 1}
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\author{}
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\date{1 janvier 2013}
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\begin{document}
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\maketitle
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\begin{Exo}(19p98)
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\begin{enumerate}
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\item Résolution de l'équation $\frac{6}{5} = \frac{3+x}{2+x}$.
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\begin{eqnarray*}
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\frac{6}{5} = \frac{3+x}{2+x} &\equiv& \frac{6}{5}\times(2+x) = (2+x)\times \frac{(3+x)}{(2+x)} \\
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\mbox{On simplifie et on développe}&\equiv& \frac{6}{5} \times 2 + \frac{6}{5} x = 3+x\\
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\mbox{On met ce qui n'a pas de $x$ à gauche et le reste à droite}&\equiv& \frac{12}{5} -3 = -\frac{6}{5}x + x\\
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\mbox{On met les fractions sur le même dénominateur}&\equiv& \frac{12}{5} - \frac{3\times 5}{5} = -\frac{6}{5}x + \frac{5}{5}x\\
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&\equiv& \frac{-3}{5} = -\frac{1}{5}x\\
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\mbox{On divise par $\frac{1}{5}$}&\equiv& \frac{-3}{5} \times \frac{5}{1} = -x\\
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&\equiv& x =3
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\end{eqnarray*}
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Donc la solution de l'équation est $3$.
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\item Quand on trace les graphiques de ces deux fonctions sur la calculatrice, on remarque que les graphiques s'intersectent en 1 point. L'abscisse de ce point est la solution de l'équation suivante
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\begin{eqnarray*}
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\frac{6}{5} = \frac{3+x}{2+x}
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\end{eqnarray*}
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\item Les coordonnées du point d'intersection est
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\begin{eqnarray*}
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\left( 3\;;\;\frac{6}{5}\right)
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\end{eqnarray*}
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\end{enumerate}
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\end{Exo}
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\begin{Exo}(22p99)
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\begin{enumerate}
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\item Résolution de l'inéquation $\frac{3x+2}{x-5} \geq 0$.
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\paragraph{Domaine de définition.}
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Cherchons la valeur interdite (c'est-à-dire la valeur de $x$ tel que le dénominateur s'annule).
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\begin{eqnarray*}
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x-5 = 0 &\equiv& x=5
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\end{eqnarray*}
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Donc 5 est une valeur interdite. Donc le domaine de définition de $x\mapsto \frac{3x+2}{x-5}$ est
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\begin{eqnarray*}
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D = ] -\infty\; , \; 5 [ \;\cup\; ]5\;,\; +\infty[
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\end{eqnarray*}
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\paragraph{Signe du numérateur} Cherchons les valeurs de $x$ tel que le numérateur soit positif
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\begin{eqnarray*}
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3x+2 \geq 0 &\equiv& 3x \geq -2\\
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\mbox{3 est positif} &\equiv& x \geq \frac{-2}{3} = \frac{-1}{3}
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\end{eqnarray*}
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|
Donc le $3x+2$ est positif quand $x\geq \frac{-1}{3}$
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\paragraph{Signe du dénominateur} Cherchons les valeurs de $x$ tel que le dénominateur soit positif
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\begin{eqnarray*}
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x-5 \geq 0 &\equiv& x\geq5
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\end{eqnarray*}
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Donc le $x-5$ est positif quand $x\geq 5$
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\paragraph{Tableau de signe}
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\begin{center}
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\begin{variations}
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x & \mI & & \frac{-1}{3} &\quad& &\quad& 5 & & \pI \\
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\filet
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3x+2 & \ga- & \z &\quad&+ &\quad& \bb &\dr+ & \\
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\filet
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x-5 & \ga- & \l &\quad& - &\quad& \bb &\dr+ & \\
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\filet
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\frac{3x+2}{x-5}& \ga+ & \z &\quad&- &\quad& \bb &\dr+ &\\
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\end{variations}
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\end{center}
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\paragraph{On répond à la question!} La solution de $\frac{3x+2}{x-5}\geq0$ (Donc on prend les endroits où il y a des ``+''dans le tableau) est
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\begin{eqnarray*}
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\mathcal{S} = ]-\infty\;,-\frac{1}{3}\;]\;\cup\;]\;5\;,+\infty[
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\end{eqnarray*}
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\item Celui là ce fait de la la même manière que le précèdent (attention tout de même dans l'étude du signe du numérateur au $-7$!).
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\item Résolution de l'inéquation $\frac{3x+7}{3x+5} < 0$.
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\paragraph{Domaine de définition.}
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Cherchons la valeur interdite (c'est-à-dire la valeur de $x$ tel que le dénominateur s'annule).
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\begin{eqnarray*}
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3x+5 = 0 &\equiv& 3x = -5 \\
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&\equiv& x = \frac{-5}{3}
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\end{eqnarray*}
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Donc $\frac{-5}{3}$ est une valeur interdite. Donc le domaine de définition de $x\mapsto \frac{3x+7}{3x+5}$ est
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\begin{eqnarray*}
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D = ] -\infty\; , \; \frac{-5}{3} [ \;\cup\; ]\frac{-5}{3}\;,\; +\infty[
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\end{eqnarray*}
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\paragraph{Signe du numérateur} Cherchons les valeurs de $x$ tel que le numérateur soit positif
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\begin{eqnarray*}
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3x+7 \geq 0 &\equiv& 3x \geq -7\\
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\mbox{3 est positif} &\equiv& x \geq \frac{-7}{3}
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\end{eqnarray*}
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Donc le $3x+7$ est positif quand $x\geq \frac{-7}{3}$
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\paragraph{Signe du dénominateur} Cherchons les valeurs de $x$ tel que le dénominateur soit positif
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\begin{eqnarray*}
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3x+5 \geq 0 &\equiv& 3x\geq -5 \\
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\mbox{3 est positif} &\equiv& x \geq \frac{-5}{3}
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\end{eqnarray*}
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Donc le $3x+5$ est positif quand $x\geq \frac{-5}{3}$
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\paragraph{Tableau de signe}
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\begin{center}
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\begin{variations}
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x & \mI & & \frac{-7}{3} &\quad& &\quad& \frac{-5}{3} & & \pI \\
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\filet
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3x+7 & \ga- & \z &\quad&+ &\quad& \bb &\dr+ & \\
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\filet
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3x+5 & \ga- & \l &\quad& - &\quad& \bb &\dr+ & \\
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\filet
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\frac{3x+2}{x-5}& \ga+ & \z &\quad&- &\quad& \bb &\dr+ &\\
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\end{variations}
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\end{center}
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\paragraph{On répond à la question!} La solution de $\frac{3x+7}{3x+5}<0$ (Donc on prend les endroits où il y a des ``-'' dans le tableau) est
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\begin{eqnarray*}
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\mathcal{S} = ] \frac{-7}{3} \; , \; \frac{-5}{3} \; [
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\end{eqnarray*}
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\end{enumerate}
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\end{Exo}
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\begin{Exo}(55p104)
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\begin{enumerate}
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\item Résolution de l'équation
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\begin{eqnarray*}
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\frac{6x+1}{3x-2} = \frac{2x+5}{x+3} &\equiv& (x+3)(3x-2) \times \frac{(6x+1)}{(3x-2)} = (x+3)(3x-2) \times \frac{(2x+5)}{(x+3)}\\
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\mbox{On simplifie} &\equiv& (x+3)(6x+1) = (3x-2)(2x+5)\\
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\mbox{On développe} &\equiv& 6x\times x + 3\times6x + x + 3\times 1 = 3x\times 2x + 5\times 3x - 2\times 2x - 2\times 5\\
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&\equiv& 6x^2 + 19x + 3 = 6x^2 + 11x -10 \\
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\mbox{On range les éléments} &\equiv& 19x - 11x = -10 - 3 \\
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&\equiv& 8x = -13 \\
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&\equiv& x = \frac{-13}{8}
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\end{eqnarray*}
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Donc la solution peut être $\frac{-13}{8}$, il faut encore vérifier qu'elle n'annule pas un des deux dénominateurs.
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\begin{eqnarray*}
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3\times \frac{-13}{8} - 2 = \frac{-39}{8} - \frac{16}{8} = \frac{-55}{8} \neq 0 \\
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\frac{-13}{8} + 3 = \frac{-13}{8} + \frac{24}{8} = \frac{11}{8} \neq 0
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\end{eqnarray*}
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Donc comme $\frac{-13}{8}$ n'annule pas les dénominateurs, c'est la solution.
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\item On trace les deux courbes sur la calculette et on vérifie que le point d'intersection a pour abscisse $\frac{-13}{8}$.
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\item Résolution de l'équation
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\begin{eqnarray*}
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\frac{x}{x+1} = \frac{2x+5}{x-3} = &\equiv& (x+1)(x-3) \times \frac{x}{x+1} = (x+1)(x-3) \times\frac{2x+5}{x-3}\\
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&\equiv& (x-3)x = (x+1)(2x-5)\\
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&\equiv& x^2 - 3x = 2x^2 + 2x - 5x -5 \\
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&\equiv& x^2 - 3x = 2x^2 - 3x - 5 \\
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&\equiv& 5 - x^2 = 0\\
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\mbox{ On reconnait une identité remarquable} &\equiv& (x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5}) = 0\\
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\mbox{2 cas possibles} &\equiv& x - \sqrt{5} = 0 \mbox{ ou } x + \sqrt{5} = 0\\
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&\equiv& x = \sqrt{5} \mbox{ ou } x = -\sqrt{5}
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\end{eqnarray*}
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Il faut vérifier que ces deux solutions n'annulent pas les dénominateurs (à faire).
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Donc les solutions de l'équation sont $\sqrt{5}$ et $-\sqrt{5}$
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Si vous tracez les deux fonctions sur votre calculette, vous vous rendrez compte qu'il a deux points d'intersections d'abscisse $\sqrt{5}$ et $-\sqrt{5}$.
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\end{enumerate}
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\end{Exo}
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\end{document}
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