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\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}
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\usepackage{variations}
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% Title Page
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\title{Correction du Devoir Surveillé: Dérivation}
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\author{}
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\date{24 janvier 2013}
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\fancyhead[L]{$1^{\mbox{ère}}$ES1 : \Thetitle}
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\begin{document}
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\maketitle
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\thispagestyle{fancy}
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\begin{Exo}
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\begin{enumerate}[a.]
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\item Dérivons $f(x) = \frac{1}{4-3x^2}$. On remarque que $f$ est de la forme $\frac{1}{v(x)}$ avec $v(x) = 4-3x^2$ donc $v'(x) = 0 - 3\times 2x = -6x$. On en déduit la dérivée
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\begin{eqnarray*}
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f'(x) = \frac{-v'(x)}{v(x)^2} = \frac{6x}{(4-3x^2)^2}
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\end{eqnarray*}
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\item Dérivons $f(x) = (5x^2 - 1)\sqrt{x}$. On remarque que $f$ est de la forme $u(x)v(x)$ avec $u(x) = 5x^2-1$ et $v(x) = \sqrt{x}$ donc $u'(x) = 5\times 2x + 0 = 10x$ et $v'(x) = \frac{1}{2\sqrt(x)}$. On en déduit la dérivée
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\begin{eqnarray*}
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f'(x) = u(x)v'(x) + u'(x)v(x) &=& (5x^2 - 1)\frac{1}{2\sqrt{x}} + 10x \times \sqrt{x} \\
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&=& \frac{5x^2 - 1}{2\sqrt{x}} + 10x\sqrt{x}
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\end{eqnarray*}
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\item Dérivons $f(x) = \frac{3-2x}{4x+1}$. On remarque que $f$ est de la forme $\frac{u(x)}{v(x)}$ avec $u(x) = 3-2x$ et $v(x) = 4x+1$ donc $u'(x) = 0-2 = -2$ et $v'(x) = 4$. On en déduit la dérivée
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\begin{eqnarray*}
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f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2} & = & \frac{-2\times(4x+1) - 4\times(3-2x)}{(4x+1)^2} \\
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&=& \frac{-8x - 2 - 12 + 8x}{(4x+1)^2}\\
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&=& \frac{-14}{(4x+1)^2}
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\end{eqnarray*}
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\end{enumerate}
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\end{Exo}
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\begin{Exo}
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\begin{enumerate}
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\item Cherchons la dérivée de $f$. Tout d'abord, comme il n'y a pas de quotient ni de racine, le domaine de définition de $f$ est $\R$.
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\begin{eqnarray*}
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f'(x) & = & 3x^2 - 2\times2x+1+0\\
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&=& 3x^2 - 4x+1
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\end{eqnarray*}
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\item Étudions le signe de $f'$. Comme $f'$ est un polynôme de degré 2, on utilise la méthode du discriminant.
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\begin{eqnarray*}
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\Delta = b^2-4ac &=& (-4)^2 - 4\times 3\times1\\
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&=& 16 - 12\\
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&=& 4
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\end{eqnarray*}
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$\Delta$ est positif, $f'$ a donc deux racines et est du signe de $a$ (positif) donc positif en dehors des racines. Cherchons les racines
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\begin{eqnarray*}
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x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2} = \frac{4 - \sqrt{4}}{2\times3} = \frac{4-2}{6} = \frac{1}{3}\\
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x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2} = \frac{4 + \sqrt{4}}{2\times3} = \frac{4+2}{6} = 1
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\end{eqnarray*}
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On en déduit le tableau de signe
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\begin{center}
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\begin{variations}
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x & \mI & &\frac{1}{3} & & & 1 & & \pI \\
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\filet
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f'(x) & \ga+ & \z & \ga- & \z & \dr+ \\
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\end{variations}
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\end{center}
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\item Cherchons le sens de variation de $f$ sur $\left[ -2;2 \right]$ et complétons le tableau de variation.
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\begin{eqnarray*}
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f\left( \frac{1}{3} \right)&=& \left( \frac{1}{3} \right)^3 - 2\left( \frac{1}{3} \right)^2 + \frac{1}{3} + 7 \\
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&=& \frac{1}{27} - \frac{2}{9} + \frac{1}{3} + 7 \\
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&=& \frac{193}{27} \\
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f(1) &=& 1 - 2 + 1 + 7\\
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&=& 7
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\end{eqnarray*}
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\begin{center}
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\begin{variations}
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x & -2 & &\frac{1}{3} & & 1 & & 2 \\
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\filet
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f'(x) & & + & \z & - & \z & + & \\
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\filet
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f(x) & & \c& \h{\frac{193}{27}} & \d & \b{7} & \c & \\
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\end{variations}
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\end{center}
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\paragraph{Remarque:} Dans cette question on nous demande ce qui se passe uniquement entre - et 2. Donc pour réaliser ce tableau de signe, on fait le tableau tel qu'on a l'habitude de la faire puis on enlève les parties qui ne nous interessent pas.
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\item Tangente à la courbe au point d'abscisse -1
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\begin{eqnarray*}
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y&=&f'(a)\left( x-a \right) + f(a)\\
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y&=&f'(-1)\left( x-(-1)) \right) + f(-1)\\
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&=& 8(x+1) + 3\\
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&=& 8x + 11
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\end{eqnarray*}
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Donc l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse -1 est $y = 8x + 11$.
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\end{enumerate}
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\end{Exo}
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\begin{Exo}
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\begin{enumerate}
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\item D'après une lecture graphique on a:
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\begin{eqnarray*}
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f(0) &=&-2\\
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f'(-1) &=& 0 \quad \mbox{ car la tangente est horizontale}\\
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f'(0) &=& \frac{-2 - 0}{0-2} = 1
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\end{eqnarray*}
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\item Équation de la tangente en $B$ est
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\begin{eqnarray*}
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y&=&f'(-1)(x-(-1)) + (-2.7) = 0(x+1) - 2.7\\
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y &=& -2.7
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\end{eqnarray*}
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L'équation de la tangente en $C$ est
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\begin{eqnarray*}
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y &=&f'(0)(x-0) + (-2) = 1x - 2\\
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y &=& x-2
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\end{eqnarray*}
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\item $f'(-2)$ est négatif car en -2, $f$ est décroissante.
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\item Tableau de signe de $f'$. On remarque que $f$ est décroissante (donc $f'$ négative) jusqu'à -1 puis elle est croissante (donc $f'$ positive). On en déduit le tableau de signe de $f'$.
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\begin{center}
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\begin{variations}
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x & \mI & & -1 & & \pI \\
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\filet
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f'(x) & &-& &+& \\
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\end{variations}
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\end{center}
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\item En comparant le tableau de signe obtenu dans la question précédente avec les valeurs prises par les graphiques des figures 1 à 3, la seule représentation graphique possible de la fonction dérivée est celle de la figure 2.
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\end{enumerate}
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\end{Exo}
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\begin{Exo}
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\begin{enumerate}
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\item Calculons la dérivé de $f(x) = 0.5x + \frac{8}{x}$. $f$ est de la forme $u(x) + v(x)$ avec $u(x) = 0.5x$ et $v(x) = \frac{8}{x}$ donc $u'(x) = 0.5$ et $v'(x) = \frac{-8}{x^2}$. On en déduit $f'$
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\begin{eqnarray*}
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f'(x) = u'(x) + v'(x) &=& 0.5 + \frac{-8}{x^2}
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\end{eqnarray*}
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\item Pour étudier le signe de $f'$ il est plus pratique de travailler avec la forme factorisée.
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\begin{eqnarray*}
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f'(x) = 0.5 + \frac{-8}{x^2} &=& \frac{0.5x^2}{x^2} + \frac{-8}{x^2}\\
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&=& \frac{0.5x^2 - 8}{x^2}
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\end{eqnarray*}
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Le dénominateur est un carré, il est donc toujours positif.
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Étudions le signe du numérateur $0.5x^2 - 8$. Comme c'est un polynôme de degré 2, on utilise la méthode du discriminant.
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\begin{eqnarray*}
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\Delta = b^2-4ac = 0^2 - 4\times0.5\times(-8) = 16
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\end{eqnarray*}
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Comme $\Delta$ est positif, il y a deux racines et $f'$ est du signe de $a$ (positif) à l'exterieur des racines.
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\begin{eqnarray*}
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x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{0 - \sqrt{16}}{2*0.5} = \frac{-4}{1} = -4\\
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x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{0 + \sqrt{16}}{2*0.5} = \frac{4}{1} = 4\\
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\end{eqnarray*}
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On en déduit le tableau de signe de $f'$.
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\begin{center}
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\begin{variations}
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x & \; 0.5 & & 4 & & 10\; \\
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\filet
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f'(x)& & - & \z & + & \\
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\end{variations}
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\end{center}
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\paragraph{Remarque:} Dans cette question on nous demande ce qui se passe uniquement entre 0.5 et 10. Donc pour réaliser ce tableau de signe, on fait le tableau tel qu'on a l'habitude de la faire puis on enlève les parties qui ne nous interessent pas.
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\item Puis le tableau de variation de $f$ (on le déduit du tableau de signe de $f'$).
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\begin{eqnarray*}
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f(4) &=& 0.5\times4 + \frac{8}{4}\\
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&=& 2 + 2 \\
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&=& 4 \\
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f(0.5) &=& 0.5\times0.5 + \frac{8}{0.5}\\
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&=& 0.25 + 16\\
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&=& 16.25 \\
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f(10) &=& 0.5\times 10 + \frac{8}{10} \\
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&=& 5 + 0.8 \\
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&=& 5.8
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\end{eqnarray*}
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\begin{center}
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\begin{variations}
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x & \; 0.5 & & 4 & & 10\; \\
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\filet
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f'(x)& & - & \z & + & \\
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\filet
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f(x) & \h{16.25} &\d & 4 & \c& \h{5.8} \\
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\end{variations}
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\end{center}
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\item D'après le tableau de variation, le minimum de $f$ est atteint en 4 et vaut 4. Donc pour avoir un coût unitaire minimal, il faut produire 4 tonnes et dans ce cas, chaque tonne coûtera 4 milles euros.
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\end{enumerate}
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\end{Exo}
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