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\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}
% Title Page
\title{Correction DM: Statistique descriptive}
\author{}
\date{11 Fevrier 2013}
\fancyhead[L]{$1^{\mbox{ère}}$ES1 : \Thetitle}
\begin{document}
\maketitle
\thispagestyle{fancy}
\begin{Exo}(22 p 163)\\
On commence par la description des données avant la mise en place du radar. On remarque que 25\% des véhicules roulait à moins de 50km/h (la vitesse maximal autorisée). Donc 75\% roulait trop vite. La médiane était à 60km/h et la vitesse maximale était de 90km/h. Enfin on peut noter que les vitesses étaient plutôt étalées avec un espace inter quartiles de 25km/h.
Après la mise en place du radar, la médian est légèrement supérieur à 50km/h. Ce qui veut dire que près de 50\% des véhicules roulent à une vitesse autorisée. Le troisième quartile nous indique que seulement 25\% roulent à plus de 57km/h et que la vitesse maximale est passée à 85km/h. Enfin on remarque que maintenant l'espace est passé à 12km/h.
Si l'on compare ces deux boites à moustaches, on peut dire que les véhicules roulent maintenant moins vite dans l'ensemble. Près de la majorité roule à la limite autorisée alors qu'elle roulait jusqu'à 60km/h avant. Les 25\% les plus rapide on également diminué leur vitesse se rapprochant de la limite autorisée. Enfin la mise en place à eut un effet de tassement, car maintenant les vitesses sont plus concentrés autour de 50km/h.
\end{Exo}
\begin{Exo}(30 p 164)
\begin{enumerate}[a)]
\item La moyenne de son travail est
\begin{eqnarray*}
\bar{x} = \frac{2,2 + 2,5 + 2,1 + 1,9 + 2,3 + 2,2 + 1,8 + 2,5 + 1,8 + 1,7}{10} = 2.1
\end{eqnarray*}
Sa moyenne est donc exactement égale à l'épaisseur idéal, il peut donc être satisfait.
\item Calcul de la variance et de l'écart type
\begin{eqnarray*}
&V = \dfrac{(2,2 - 2,1)^2 + (2,5 - 2,1)^2 + \cdots + (1,7 - 2,1)^2}{10} = 0.08&\\
&\sigma = \sqrt{V} = 0.29&
\end{eqnarray*}
La variance est en $mm^2$. Et l'écart type est en $mm$ (elle est dans la même unité que les données).
\item L'écart type ici est faible, ce qui indique que ses réalisations sont souvent proche de la moyenne. Et donc que son travail est de qualité.
\end{enumerate}
\end{Exo}
\begin{Exo}(47 p 169)
\begin{enumerate}[1.]
\item
\begin{enumerate}[a)]
\item Ici il y a un effectif de 63 saumons, la médiane est donc la valeur du $32^e$ quand ils sont rangé dans l'ordre croissant. D'après le tableau, le $32e$ mesure 125cm. Donc la médiane est de $Me = 125cm$.
Le premier quartile est la valeur du $\dfrac{63}{4} = 15.75$ donc du $16^e$ c'est à dire $Q_1 = 121cm$. Le troisième quartile est la valeur du $16\times4 = 48^e$ c'est à dire $Q_3 = 131cm$.
Donc finalement,
\begin{eqnarray*}
Me = 125cm \qquad Q_1 = 121cm \quad Q_3 = 131cm
\end{eqnarray*}
\item L'étendu de la série est la différence entre la valeur maximal(116cm) et la valeur minimale(134cm) c'est à dire 18cm.
\end{enumerate}
\item $\ldots$
\item On aurai tendance à dire que les saumons capturés sont plutôt issus d'un élevage. En effet, on constate que l'étendu des tailles des saumons capturés est plus faible que les saumons sauvages (18cm contre 37cm). On retrouve cette caractéristique dans l'espace inter quartiles (10cm contre 15cm). Ce qui peut s'explique par le fait que l'élevage a tendance à standardiser la taille des poissons.
\end{enumerate}
\end{Exo}
\end{document}
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\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}
% Title Page
\title{Devoir Maison: Suites Correction}
\author{}
\date{28 mars 2012}
\fancyhead[L]{$1^{\mbox{ère}}ES1$ : \Thetitle}
\begin{document}
\maketitle
\thispagestyle{fancy}
\begin{Exo}(43 p 141)
\begin{enumerate}
\item On remarque que le premier terme $u_0$ est positif et que la suite est décroissante, donc $q$ est compris entre 0 et 1.
\item Ici $u_0$ est positif et la suite est croissante, donc $q$ est plus grand que 1.
\item $u_0$ est négatif et la suite est croissante, donc $q$ est compris entre 0 et 1.
\item $u_0$ est négatif et la suite est décroissante, donc $q$ est plus grand que 1.
\end{enumerate}
\end{Exo}
\begin{Exo}(34 p 140)
\begin{enumerate}
\item On va modéliser la situation par une suite $u$ représentant l'évolution de la consommation de cacao au fil des ans. La suite commence par $u_0$ (qu'il faudra calculer) la valeur de la consommation de cacao en 1995. L'énoncé nous donne deux valeurs
\begin{eqnarray*}
u_2 = 3.04 \quad u_{10} = 4.07
\end{eqnarray*}
Dans l'énoncé, on nous dit que l'évolution est linéaire donc la suite est arithmétique. On note alors $r$ la raison (qu'il faudra calculer). La suite est alors de la forme
\begin{eqnarray*}
u_n = u_0 + nr
\end{eqnarray*}
\item Calcul de l'augmentation annuelle
\begin{eqnarray*}
\frac{4.07 - 3.04}{2005 - 1997} = \frac{1.04}{8} = 0.13
\end{eqnarray*}
Donc la raison de la suite est $r = 0.13$.
On en déduit $u_0$ la valeur de la consommation en 1995.
\begin{eqnarray*}
u_2 = u_0 + 2\times 0.13 = 3.04 &\equiv& u_0 = 3.04 - 2\times 0.13 = 2.78
\end{eqnarray*}
\item Consommation en 2015
\begin{eqnarray*}
u_{20} = 2.78 + 20 \times 0.13 = 5.38
\end{eqnarray*}
Donc la consommation en 2015 sera de 5.38kg/habitants.
\end{enumerate}
\end{Exo}
\begin{Exo}(47 p 141)
\begin{enumerate}
\item Calculons $u_1$ et $u_2$. On a une diminution de $15\%$ donc on multiplie les valeurs par $\left( 1 - \dfrac{15}{100} \right)$.
\begin{eqnarray*}
u_1 = 2000 \times \left( 1 - \frac{15}{100} \right) = 2000 \times 0.85 = 1700 \\
u_2 = 1700 \times \left( 1 - \frac{15}{100} \right) = 1700 \times 0.85 = 1445
\end{eqnarray*}
\item L'évolution est donnée en pourcentage, donc la suite est géométrique. La raison est $q = \left( 1 - \dfrac{15}{100} \right) = 0.85$ et le premier terme est $u_0 = 2000$. On en déduit la relation de récurrence
\begin{eqnarray*}
u_n = 0.85 u_{n-1}
\end{eqnarray*}
et la formule explicite
\begin{eqnarray*}
u_n = u_0 \times q^n = 2000 \times 0.85^n
\end{eqnarray*}
\item Avec la calculatrice, on a
\begin{eqnarray*}
u_{14} = 205 \quad u_{15} = 174
\end{eqnarray*}
Donc après 15 jours, on peut considérer que l'épidémie est endiguée.
\end{enumerate}
\end{Exo}
\begin{Exo}(13 feuille)
\begin{enumerate}
\item Calcul de raison. La suite est arithmétique donc en notant $r$ la raison et $u_0$ le premier terme, la relation explicite de la suite est
\begin{eqnarray*}
u_n = u_0 + n\times r
\end{eqnarray*}
Or on sait que
\begin{eqnarray*}
u_3 = 2400 = u_0 + 3 \times r \\
u_{10} = 300 = u_0 + 10 \times r
\end{eqnarray*}
On a donc
\begin{eqnarray*}
\left\{ \begin{array}{lcr}
2400 &=& u_0 + 3 \times r\\
300 &=& u_0 + 10 \times r
\end{array}
\right.
&\equiv&
\left\{ \begin{array}{lcr}
u_0 &=& 3 \times r - 2400\\
u_0 &=& 10 \times r - 300
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
Donc
\begin{eqnarray*}
3\times r - 2400 = 10 \times r - 300 &\equiv& 7 \times r = -2100 \\
&\equiv& r = -300
\end{eqnarray*}
On déduit $u_0$ à partir de la première égalité
\begin{eqnarray*}
u_0 = 300 - 10 \times (-300) = 3300
\end{eqnarray*}
\item Calculons $u_{100}$
\begin{eqnarray*}
u_{100} = 3300 + 100 \times (-300) = -26700
\end{eqnarray*}
\item Relation explicite de $u$
\begin{eqnarray*}
u_n = 3300 + n\times (-300)
\end{eqnarray*}
\item Comme la raison est -300 donc négative et que la suite est arithmétique, la suite est décroissante.
\item \note{TODO?}
\end{enumerate}
\end{Exo}
\begin{Exo}(18 feuille)
\begin{enumerate}
\item La suite est géométrique donc en notant $q$ la raison et $u_0$ le premier terme, la suite est de la forme suivant
\begin{eqnarray*}
u_n = u_0 \times q^n
\end{eqnarray*}
On sait que $u_3 = 2400$ et $u_5 = 300$ on a donc
\begin{eqnarray*}
\left\{ \begin{array}{lcr}
2400 &=& u_0 \times q^3 \\
300 &=& u_0 \times q^5
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
Donc
\begin{eqnarray*}
\frac{u_5}{u_3} = \frac{u_0 \times q^5}{u_0\times q^3} = q^2
\end{eqnarray*}
Mais on a aussi
\begin{eqnarray*}
\frac{u_5}{u_3} = \frac{300}{2400} =\frac{1}{8}
\end{eqnarray*}
Donc finalement
\begin{eqnarray*}
q^2 = \frac{1}{8} &\equiv& q^2 = \sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = 0.35
\end{eqnarray*}
On déduit $u_0$ à partit de la première égalité
\begin{eqnarray*}
2400 = u_0 \times \left( \frac{1}{2\sqrt{2}} \right)^3 &\equiv& u_0 = \frac{2400}{\left( \frac{1}{2\sqrt{2}} \right)^3} \\
&\equiv& u_0 = 54305
\end{eqnarray*}
\item Calculons $u_{100}$
\begin{eqnarray*}
u_{100} = 543065\times \left( \frac{1}{2\sqrt{2}} \right)^100 = 3.8 \times 10^{-41}
\end{eqnarray*}
\item Relation explicite de $u$
\begin{eqnarray*}
u_n = 54305 \times \left( \frac{1}{2\sqrt{2}} \right)^n
\end{eqnarray*}
\item Le premier terme $u_0$ est positif et la raison $q$ est plus petite que 1 donc la suite est décroissante.
\item \note{TODO?}
\end{enumerate}
\end{Exo}
\end{document}
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% Title Page
\title{Devoir maison: Loi binomiale}
\author{}
\date{3 juin 2013}
\fancyhead[L]{$1^{\mbox{ère}}$ES 1 : \Thetitle}
\begin{document}
\maketitle
\thispagestyle{fancy}
\begin{Exo}
\exo{39 p 213}
\begin{enumerate}[a)]
\item Le fait que chaque internaute arrive sur la page et clique sur l'encart publicitaire correspond à une expérience de Bernouilli de paramètre $\dfrac{1}{50}$. Car il y a deux possibilités : il clique ou il ne clique pas et qu'en moyenne, un internaute sur 50 clique sur l'encart.
On répète cette expérience 20 fois de manière identique et indépendante. Nous avons donc un schéma de Bernouilli de paramètres 20 et $\dfrac{1}{50}$. Soit $X$ la variable aléatoire comptant le nombre d'internautes ayant cliqué sur l'encart, $X$ suit alors une loi binomiale de paramètres 20 et $\dfrac{1}{50}$.
\item Calculons la probabilité pour qu'au moins deux internautes cliquent sur l'encart:
\begin{eqnarray*}
P(X\geq 2) &=& 1 - P(X<2) \\
&=& 1 - \left( P(X=0) + P(X=1) \right) \\
&=& 1 - \left( \vectCoord{20}{0} \times \frac{1}{50}^0 \times \left( 1-\frac{1}{50} \right)^{50-0} + \vectCoord{20}{1} \times \frac{1}{50}^1 \times \left( 1-\frac{1}{50} \right)^{50-1}\right) \\
&=& 1 - \left( \frac{49}{50}^{50} + 20 \times \frac{1}{50} \times \left( \frac{49}{50} \right)^{49}\right) \\
&=& 1 - (0.67 + 0.27) \\
&=& 1 - 0.94\\
&=& 0.06
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}
\end{Exo}
\begin{Exo}
\exo{72 p 221}
\begin{enumerate}[1.]
\item Le fait que qu'un client soit ou non intéressé par l'offre correspond à une expérience de Bernoulli de paramètre 0.1 car il y a une probabilité de 0.1 d'être intéressé.
On répète cette expérience sur 3 clients de façon indépendante et identique. Nous avons donc un schéma de Bernoulli de paramètres 3 et 0.1. Or comme $X$ compte le nombre de clients intéressés, on en déduit que $X$ suit une loi binomiale de paramètres 3 et 0.1.
\item On en déduit les probabilités suivantes
\begin{enumerate}[a)]
\item ``Aucun client intéressé'' correspond à ``$X = 0$'' et
\begin{eqnarray*}
P(X=0) &=& \vectCoord{3}{0} \times 0.1^0 \times (1 - 0.1)^3 \\
&=& 1 \times 1 \times 0.9^3 \\
&=& 0.73
\end{eqnarray*}
\item ``Au moins un client est intéressé'' correspond à ``$X \geq 1$'' et
\begin{eqnarray*}
P(X \geq 1) &=& 1 - P(X = 0) \\
&=& 1 - 0.73 \\
&=& 0.27
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{Exo}
\pagebreak
\begin{Exo}
\exo{37 p 213}
\begin{enumerate}[a)]
\item Les binomiales 1 et 4 ne peuvent correspondre qu'aux graphiques B ou C car ce sont des binomiales avec 8 répétitions et donc il ne peut pas y avoir plus de 8 succès. On remarque que les valeurs du graphiques B sont concentrées autour de 6 tandis que celles du C sont concentrées autour de 3. Ainsi l'espérance de la binomiale correspondant au graphique B devra être plus grande que celle correspondant au graphique C. Or l'espérance de la loi binomiale 1 est de $8\times 0.7 = 5.6$ et celle de la loi binomiale 2 est de $8\times 0.2 = 3.2$. On déduit donc la \textbf{loi binomiale 1 correspond au graphique B et la 4 au graphique C}.
On procède de la même manière pour les lois binomiale 2 et 3. On sait qu'elles correspondent aux graphiques A ou D et que la moyenne des valeurs du graphique A est plus faible que celle du graphique D. De plus l'espérance de la loi binomiale 2 est de $10 \times 0.5 = 5$ et celle de la loi binomiale 3 est de $10 \times 0.2 = 2$. Donc \textbf{la loi binomiale 2 correspond au graphique D et la 3 correspond au graphique A}.
\item Pour $\mathcal{B}(8;0.7)$, $P(X = 3) = 0.047$(valeur inscrite au dessus de la barre au dessus de 3). \\
Pour $\mathcal{B}(10;0.5)$, $P(X = 3) = 0.117$.\\
Pour $\mathcal{B}(10;0.2)$, $P(X = 3) = 0.201$.\\
Pour $\mathcal{B}(8;0.4)$, $P(X = 3) = 0.279$.\\
\item On retrouve ces résultats par le calcul.
Pour $\mathcal{B}(8;0.7)$,
\begin{eqnarray*}
P(X = 3) &=& \vectCoord{8}{3} \times 0.7^3 \times (1-0.7)^{8-3} \\
&=& 56 \times 0.7^3 \times 0.3^5 \\
&=& 0.047
\end{eqnarray*}
Pour $\mathcal{B}(10;0.5)$,
\begin{eqnarray*}
P(X = 3) &=& \vectCoord{10}{3} \times 0.5^3 \times (1-0.5)^{10-3} \\
&=& 120 \times 0.5^3 \times 0.5^7 \\
&=& 0.117
\end{eqnarray*}
Pour $\mathcal{B}(10;0.2)$,
\begin{eqnarray*}
P(X = 3) &=& \vectCoord{10}{3} \times 0.2^3 \times (1-0.2)^{10-3} \\
&=& 120 \times 0.2^3 \times 0.8^7 \\
&=& 0.201
\end{eqnarray*}
Pour $\mathcal{B}(8;0.4)$,
\begin{eqnarray*}
P(X = 3) &=& \vectCoord{8}{3} \times 0.4^3 \times (1-0.4)^{8-3} \\
&=& 56 \times 0.4^3 \times 0.6^5 \\
&=& 0.279
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}
\end{Exo}
\end{document}
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1ES/DM/DM_130603/DM_corr.tex Normal file
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@@ -0,0 +1,156 @@
\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}
% Title Page
\title{Devoir Maison: Probabilité (Correction)}
\author{}
\date{13 Avril 2013}
\fancyhead[L]{$1^{\mbox{ère}}ES 1$ : \Thetitle}
\begin{document}
\maketitle
\thispagestyle{fancy}
\begin{Exo}\exo{20p187}
\begin{enumerate}[a)]
\item On note $X$ la variable aléatoire qui donne le tarif payé par un spectateur.
On sait que $\left\{ X = 4 \right\} = \left\{ \mbox{le spectateur est un enfant de moins de 15ans} \right\}$ donc
\begin{eqnarray*}
P(X=4) = \dfrac{3}{100} = 0.03
\end{eqnarray*}
On peut faire la même chose pour les tarifs 8\euro{} et 10\euro{}.
On sait que $\left\{ X = 7 \right\} = \left\{ \mbox{le spectateur est soit un étudiant soit un groupe} \right\}$ donc
\begin{eqnarray*}
P(X=7) = \dfrac{22}{100} + \dfrac{5}{100} = \dfrac{27}{100} = 0.27
\end{eqnarray*}
On obtient alors la loi de probabilité de $X$
\begin{center}
\begin{tabular}[h]{|c|*{5}{c|}}
\hline
$x_i$ & 4 & 7 & 8 & 10 \\ \hline
$P(X = x_i)$ & 0.03 & 0.27 & 0.14 & 0.56 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\item Calculons l'espérance de $X$.
\begin{eqnarray*}
E[X] &=& x_1 \times n_1 + x_2 \times n_2 + ... + x_p \times n_p \\
&=& 4 \times 0.03 + 7 \times 0.27 + 8 \times 0.14 + 10 \times 0.56\\
&=& 8.73
\end{eqnarray*}
Le théâtre peut donc en moyenne espérer vendre chaque place à 8.73\euro{}.
\item Calculons les recettes du théâtre:
\begin{eqnarray*}
\mbox{Recettes} = 2000 \times E[X] = 2000 \times 8.73 = 17460
\end{eqnarray*}
Or comme le théâtre a dépensé 20 000\euro{}, ils ont fait un bénéfice de $17460 - 20000 = -2540$\euro{}, ils ont donc perdu de l'argent. Ce théâtre n'est pas rentable pour la municipalité.
\end{enumerate}
\end{Exo}
\begin{Exo}
Pour savoir si l'on a intérêt ou pas de jouer à un jeu, il faut calculer l'espérance des gains. On note $X$ la variable aléatoire comptant les gains.
Comme la partie coûte 5\euro{}, voici le tableau des gains en fonction des numéros tirés
\begin{center}
\begin{tabular}[h]{|c|*{6}{c|}}
\hline
Numéros & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline
Gains & -5 & -5 & 5 & 15 & 15 & 45 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
Ainsi $X$ peut prendre les valeurs: -5, 5, 15 et 45.
\begin{itemize}
\item $\left\{ X = -5 \right\} = \left\{\mbox{On a tiré 1 ou 2}\right\}$ donc $P(X = -5) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6}$. On peut faire de même pour 15.
\item $\left\{ X = 5 \right\} = \left\{ \mbox{On a tiré 3} \right\}$ donc $P(X=5) = \dfrac{1}{12}$. On peut faire de même pour 45.
\end{itemize}
On en déduit la loi de probabilité de $X$
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|*{4}{c|}}
\hline
$x_i$ & -5 & 5 & 15 & 45 \\ \hline
$P(X=x_i)$ & $\dfrac{5}{6} = 0.83$ & $\dfrac{1}{12} = 0.08$ & $\dfrac{3}{48} = 0.06$ & $\dfrac{1}{48}=0.02$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
On peut maintenant calculer l'espérance de $X$
\begin{eqnarray*}
E[X] &=& x_1 \times n_1 + x_2 \times n_2 + ... + x_p \times n_p \\
&=& -5 \times \frac{5}{6} + 5 \times \frac{1}{12} + 15 \times \frac{3}{48} + 45 \times \frac{1}{48} \\
&=& -1.88
\end{eqnarray*}
On remarque que l'espérance est négative. Donc en moyenne nous allons perdre 1.88\euro{} par partie. Nous n'avons donc pas intérêt à jouer à ce jeu.
\end{Exo}
\begin{Exo}
\begin{enumerate}
\item Dans l'arbre suivant, on note $P$ l'évènement où l'on laisse la priorité et $\bar{P}$ celui où l'on ne la laisse pas.
\begin{center}
\includegraphics{fig/arbre31}
\end{center}
Comme le fait de laisser la priorité à un croisement est indépendant de ce qui c'est passé sur les autres croisements, la probabilité d'une feuille d'un arbre est égale au produit des probabilités des branches. On a donc
\begin{itemize}
\item Un temps d'attente de 20 secondes, correspond à laisser la priorité exactement deux fois donc aux issues entourées. On a donc
\begin{eqnarray*}
P(\mbox{Attendre 20sec}) = 6 \times 0.2\times 0.2 \times 0.8 \times 0.8 = 0.15
\end{eqnarray*}
\item Un temps d'attente de 30 secondes, correspond à laisser la priorité exactement 3 fois donc aux issues entourées d'un losange.
\begin{eqnarray*}
P(\mbox{Attendre 30sec}) = 4 \times 0.2\times 0.2 \times 0.2 \times 0.8 = 0.04
\end{eqnarray*}
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{Exo}
\begin{Exo}
\begin{enumerate}
\item À chaque appel, le client peut soit attendre ($R$ avec probabilité 0.25) soit ne pas attendre ($\bar{R}$ avec probabilité 1-0.25 = 0.75). Le fait d'être mis en attente ou non est indépendant de ce qui s'est passé lors des autres appels. On peut donc faire un arbre pondéré et pour calculer la probabilité d'une feuille on calculera le produit des branches.
Le nombre indiqué sous les branches est le nombre d'appels où il y a eu attente.
\begin{center}
\includegraphics{fig/arbre46}
\end{center}
On en déduit que $X$ peut prendre les valeurs suivantes: 0, 1, 2, 3 ou 4. Et on a
\begin{eqnarray*}
P(X=0) &=& 0.75\times 0.75 \times 0.75 \times 0.75 = 0.316\\
P(X=1) &=& 4 \times 0.75 \times 0.75 \times O.75 \times 0.25 = 0.422 \\
P(X=2) &=& 6 \times 0.75 \times 0.75 \times O.25 \times 0.25 = 0.211 \\
P(X=3) &=& 4 \times 0.75 \times 0.25 \times O.25 \times 0.25 = 0.047 \\
P(X=4) &=& 0.25 \times 0.25 \times O.25 \times 0.25 = 0.004 \\
\end{eqnarray*}
D'où la loi de probabilité de $X$
\begin{center}
\begin{tabular}[h]{|c|*{5}{c|}}
\hline
$x_i$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline
$P(x_i)$ & 0.316 & 0.422 & 0.211 & 0.047 & 0.004 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\item Calcul de l'espérance
\begin{eqnarray*}
E[X] &=& x_1 \times n_1 + x_2 \times n_2 + ... + x_p \times n_p \\
&=& 0 \times 0.316 + 1 \times 0.422 + 2 \times 0.211 + 3 \times 0.047 + 4 \times 0.004\\
&=& 1.001
\end{eqnarray*}
Le client peut donc espérer attendre en moyenne une fois lors de ses 4 appels.
\item L'évènement $A$ est constitué des évènements $\left\{ X = 1 \right\}$, $\left\{ X = 2 \right\}$, $\left\{ X = 3 \right\}$, $\left\{ X = 4 \right\}$ donc
\begin{eqnarray*}
P(A) = P(X=1) +P(X=2) +P(X=3) +P(X=4) = 0.422 + 0.211 + 0.047 + 0.004 = 0.684
\end{eqnarray*}
La probabilité qu'un client attende au moins une fois est de 0.684.
\end{enumerate}
\end{Exo}
\end{document}
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26
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# on enlève l’extension du 1er argument
FILE=${1%.*}
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# création d’un fichier temporaire psttemp.tex
cat > $TMPFILE.tex <<EOF
\documentclass{article}
\usepackage{pstricks}
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{pst-eps}
\usepackage{pst-tree}
\thispagestyle{empty}
\begin{document}
\begin{TeXtoEPS}
\input{$FILE}
\end{TeXtoEPS}
\end{document}
EOF
# Création du fichier dvi
latex $TMPFILE
# Création du fichier eps
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# Création du fichier pdf
epstopdf $TMPFILE.eps --debug --outfile=$FILE.pdf
# effacement des fichiers temporaires
rm -f $TMPFILE.*