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% Title Page
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\title{Devoir maison: Loi binomiale}
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\author{}
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\date{3 juin 2013}
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\fancyhead[L]{$1^{\mbox{ère}}$ES 1 : \Thetitle}
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\begin{document}
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\maketitle
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\thispagestyle{fancy}
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\begin{Exo}
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\exo{39 p 213}
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\begin{enumerate}[a)]
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||||
\item Le fait que chaque internaute arrive sur la page et clique sur l'encart publicitaire correspond à une expérience de Bernouilli de paramètre $\dfrac{1}{50}$. Car il y a deux possibilités : il clique ou il ne clique pas et qu'en moyenne, un internaute sur 50 clique sur l'encart.
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||||
On répète cette expérience 20 fois de manière identique et indépendante. Nous avons donc un schéma de Bernouilli de paramètres 20 et $\dfrac{1}{50}$. Soit $X$ la variable aléatoire comptant le nombre d'internautes ayant cliqué sur l'encart, $X$ suit alors une loi binomiale de paramètres 20 et $\dfrac{1}{50}$.
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||||
\item Calculons la probabilité pour qu'au moins deux internautes cliquent sur l'encart:
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||||
\begin{eqnarray*}
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P(X\geq 2) &=& 1 - P(X<2) \\
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||||
&=& 1 - \left( P(X=0) + P(X=1) \right) \\
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||||
&=& 1 - \left( \vectCoord{20}{0} \times \frac{1}{50}^0 \times \left( 1-\frac{1}{50} \right)^{50-0} + \vectCoord{20}{1} \times \frac{1}{50}^1 \times \left( 1-\frac{1}{50} \right)^{50-1}\right) \\
|
||||
&=& 1 - \left( \frac{49}{50}^{50} + 20 \times \frac{1}{50} \times \left( \frac{49}{50} \right)^{49}\right) \\
|
||||
&=& 1 - (0.67 + 0.27) \\
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||||
&=& 1 - 0.94\\
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||||
&=& 0.06
|
||||
\end{eqnarray*}
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{Exo}
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||||
\begin{Exo}
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||||
\exo{72 p 221}
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||||
\begin{enumerate}[1.]
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||||
\item Le fait que qu'un client soit ou non intéressé par l'offre correspond à une expérience de Bernoulli de paramètre 0.1 car il y a une probabilité de 0.1 d'être intéressé.
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||||
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||||
On répète cette expérience sur 3 clients de façon indépendante et identique. Nous avons donc un schéma de Bernoulli de paramètres 3 et 0.1. Or comme $X$ compte le nombre de clients intéressés, on en déduit que $X$ suit une loi binomiale de paramètres 3 et 0.1.
|
||||
\item On en déduit les probabilités suivantes
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\begin{enumerate}[a)]
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||||
\item ``Aucun client intéressé'' correspond à ``$X = 0$'' et
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\begin{eqnarray*}
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||||
P(X=0) &=& \vectCoord{3}{0} \times 0.1^0 \times (1 - 0.1)^3 \\
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||||
&=& 1 \times 1 \times 0.9^3 \\
|
||||
&=& 0.73
|
||||
\end{eqnarray*}
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||||
\item ``Au moins un client est intéressé'' correspond à ``$X \geq 1$'' et
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
P(X \geq 1) &=& 1 - P(X = 0) \\
|
||||
&=& 1 - 0.73 \\
|
||||
&=& 0.27
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\end{enumerate}
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||||
\end{enumerate}
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||||
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||||
\end{Exo}
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||||
\pagebreak
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||||
\begin{Exo}
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\exo{37 p 213}
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\begin{enumerate}[a)]
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||||
\item Les binomiales 1 et 4 ne peuvent correspondre qu'aux graphiques B ou C car ce sont des binomiales avec 8 répétitions et donc il ne peut pas y avoir plus de 8 succès. On remarque que les valeurs du graphiques B sont concentrées autour de 6 tandis que celles du C sont concentrées autour de 3. Ainsi l'espérance de la binomiale correspondant au graphique B devra être plus grande que celle correspondant au graphique C. Or l'espérance de la loi binomiale 1 est de $8\times 0.7 = 5.6$ et celle de la loi binomiale 2 est de $8\times 0.2 = 3.2$. On déduit donc la \textbf{loi binomiale 1 correspond au graphique B et la 4 au graphique C}.
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||||
On procède de la même manière pour les lois binomiale 2 et 3. On sait qu'elles correspondent aux graphiques A ou D et que la moyenne des valeurs du graphique A est plus faible que celle du graphique D. De plus l'espérance de la loi binomiale 2 est de $10 \times 0.5 = 5$ et celle de la loi binomiale 3 est de $10 \times 0.2 = 2$. Donc \textbf{la loi binomiale 2 correspond au graphique D et la 3 correspond au graphique A}.
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||||
\item Pour $\mathcal{B}(8;0.7)$, $P(X = 3) = 0.047$(valeur inscrite au dessus de la barre au dessus de 3). \\
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||||
Pour $\mathcal{B}(10;0.5)$, $P(X = 3) = 0.117$.\\
|
||||
Pour $\mathcal{B}(10;0.2)$, $P(X = 3) = 0.201$.\\
|
||||
Pour $\mathcal{B}(8;0.4)$, $P(X = 3) = 0.279$.\\
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||||
\item On retrouve ces résultats par le calcul.
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||||
Pour $\mathcal{B}(8;0.7)$,
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
P(X = 3) &=& \vectCoord{8}{3} \times 0.7^3 \times (1-0.7)^{8-3} \\
|
||||
&=& 56 \times 0.7^3 \times 0.3^5 \\
|
||||
&=& 0.047
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Pour $\mathcal{B}(10;0.5)$,
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
P(X = 3) &=& \vectCoord{10}{3} \times 0.5^3 \times (1-0.5)^{10-3} \\
|
||||
&=& 120 \times 0.5^3 \times 0.5^7 \\
|
||||
&=& 0.117
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Pour $\mathcal{B}(10;0.2)$,
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
P(X = 3) &=& \vectCoord{10}{3} \times 0.2^3 \times (1-0.2)^{10-3} \\
|
||||
&=& 120 \times 0.2^3 \times 0.8^7 \\
|
||||
&=& 0.201
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Pour $\mathcal{B}(8;0.4)$,
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
P(X = 3) &=& \vectCoord{8}{3} \times 0.4^3 \times (1-0.4)^{8-3} \\
|
||||
&=& 56 \times 0.4^3 \times 0.6^5 \\
|
||||
&=& 0.279
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
\end{enumerate}
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||||
\end{Exo}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}
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% Title Page
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\title{Devoir Maison: Probabilité (Correction)}
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\author{}
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\date{13 Avril 2013}
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\fancyhead[L]{$1^{\mbox{ère}}ES 1$ : \Thetitle}
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\begin{document}
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||||
\maketitle
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\thispagestyle{fancy}
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\begin{Exo}\exo{20p187}
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\begin{enumerate}[a)]
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||||
\item On note $X$ la variable aléatoire qui donne le tarif payé par un spectateur.
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||||
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||||
On sait que $\left\{ X = 4 \right\} = \left\{ \mbox{le spectateur est un enfant de moins de 15ans} \right\}$ donc
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
P(X=4) = \dfrac{3}{100} = 0.03
|
||||
\end{eqnarray*}
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||||
On peut faire la même chose pour les tarifs 8\euro{} et 10\euro{}.
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||||
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||||
On sait que $\left\{ X = 7 \right\} = \left\{ \mbox{le spectateur est soit un étudiant soit un groupe} \right\}$ donc
|
||||
\begin{eqnarray*}
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||||
P(X=7) = \dfrac{22}{100} + \dfrac{5}{100} = \dfrac{27}{100} = 0.27
|
||||
\end{eqnarray*}
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||||
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||||
On obtient alors la loi de probabilité de $X$
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||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}[h]{|c|*{5}{c|}}
|
||||
\hline
|
||||
$x_i$ & 4 & 7 & 8 & 10 \\ \hline
|
||||
$P(X = x_i)$ & 0.03 & 0.27 & 0.14 & 0.56 \\ \hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
\item Calculons l'espérance de $X$.
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
E[X] &=& x_1 \times n_1 + x_2 \times n_2 + ... + x_p \times n_p \\
|
||||
&=& 4 \times 0.03 + 7 \times 0.27 + 8 \times 0.14 + 10 \times 0.56\\
|
||||
&=& 8.73
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Le théâtre peut donc en moyenne espérer vendre chaque place à 8.73\euro{}.
|
||||
\item Calculons les recettes du théâtre:
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
\mbox{Recettes} = 2000 \times E[X] = 2000 \times 8.73 = 17460
|
||||
\end{eqnarray*}
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||||
Or comme le théâtre a dépensé 20 000\euro{}, ils ont fait un bénéfice de $17460 - 20000 = -2540$\euro{}, ils ont donc perdu de l'argent. Ce théâtre n'est pas rentable pour la municipalité.
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{Exo}
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||||
\begin{Exo}
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||||
Pour savoir si l'on a intérêt ou pas de jouer à un jeu, il faut calculer l'espérance des gains. On note $X$ la variable aléatoire comptant les gains.
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||||
Comme la partie coûte 5\euro{}, voici le tableau des gains en fonction des numéros tirés
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\begin{center}
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||||
\begin{tabular}[h]{|c|*{6}{c|}}
|
||||
\hline
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||||
Numéros & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline
|
||||
Gains & -5 & -5 & 5 & 15 & 15 & 45 \\ \hline
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||||
\end{tabular}
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||||
\end{center}
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||||
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||||
Ainsi $X$ peut prendre les valeurs: -5, 5, 15 et 45.
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||||
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||||
\begin{itemize}
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||||
\item $\left\{ X = -5 \right\} = \left\{\mbox{On a tiré 1 ou 2}\right\}$ donc $P(X = -5) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6}$. On peut faire de même pour 15.
|
||||
\item $\left\{ X = 5 \right\} = \left\{ \mbox{On a tiré 3} \right\}$ donc $P(X=5) = \dfrac{1}{12}$. On peut faire de même pour 45.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
On en déduit la loi de probabilité de $X$
|
||||
\begin{center}
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||||
\begin{tabular}{|c|*{4}{c|}}
|
||||
\hline
|
||||
$x_i$ & -5 & 5 & 15 & 45 \\ \hline
|
||||
$P(X=x_i)$ & $\dfrac{5}{6} = 0.83$ & $\dfrac{1}{12} = 0.08$ & $\dfrac{3}{48} = 0.06$ & $\dfrac{1}{48}=0.02$ \\ \hline
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||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
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||||
|
||||
On peut maintenant calculer l'espérance de $X$
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
E[X] &=& x_1 \times n_1 + x_2 \times n_2 + ... + x_p \times n_p \\
|
||||
&=& -5 \times \frac{5}{6} + 5 \times \frac{1}{12} + 15 \times \frac{3}{48} + 45 \times \frac{1}{48} \\
|
||||
&=& -1.88
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
On remarque que l'espérance est négative. Donc en moyenne nous allons perdre 1.88\euro{} par partie. Nous n'avons donc pas intérêt à jouer à ce jeu.
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||||
\end{Exo}
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||||
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||||
\begin{Exo}
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item Dans l'arbre suivant, on note $P$ l'évènement où l'on laisse la priorité et $\bar{P}$ celui où l'on ne la laisse pas.
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\begin{center}
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||||
\includegraphics{fig/arbre31}
|
||||
\end{center}
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||||
Comme le fait de laisser la priorité à un croisement est indépendant de ce qui c'est passé sur les autres croisements, la probabilité d'une feuille d'un arbre est égale au produit des probabilités des branches. On a donc
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||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Un temps d'attente de 20 secondes, correspond à laisser la priorité exactement deux fois donc aux issues entourées. On a donc
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
P(\mbox{Attendre 20sec}) = 6 \times 0.2\times 0.2 \times 0.8 \times 0.8 = 0.15
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item Un temps d'attente de 30 secondes, correspond à laisser la priorité exactement 3 fois donc aux issues entourées d'un losange.
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
P(\mbox{Attendre 30sec}) = 4 \times 0.2\times 0.2 \times 0.2 \times 0.8 = 0.04
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
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||||
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||||
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||||
\begin{Exo}
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item À chaque appel, le client peut soit attendre ($R$ avec probabilité 0.25) soit ne pas attendre ($\bar{R}$ avec probabilité 1-0.25 = 0.75). Le fait d'être mis en attente ou non est indépendant de ce qui s'est passé lors des autres appels. On peut donc faire un arbre pondéré et pour calculer la probabilité d'une feuille on calculera le produit des branches.
|
||||
|
||||
Le nombre indiqué sous les branches est le nombre d'appels où il y a eu attente.
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||||
\begin{center}
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||||
\includegraphics{fig/arbre46}
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||||
\end{center}
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||||
On en déduit que $X$ peut prendre les valeurs suivantes: 0, 1, 2, 3 ou 4. Et on a
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||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
P(X=0) &=& 0.75\times 0.75 \times 0.75 \times 0.75 = 0.316\\
|
||||
P(X=1) &=& 4 \times 0.75 \times 0.75 \times O.75 \times 0.25 = 0.422 \\
|
||||
P(X=2) &=& 6 \times 0.75 \times 0.75 \times O.25 \times 0.25 = 0.211 \\
|
||||
P(X=3) &=& 4 \times 0.75 \times 0.25 \times O.25 \times 0.25 = 0.047 \\
|
||||
P(X=4) &=& 0.25 \times 0.25 \times O.25 \times 0.25 = 0.004 \\
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
D'où la loi de probabilité de $X$
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}[h]{|c|*{5}{c|}}
|
||||
\hline
|
||||
$x_i$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline
|
||||
$P(x_i)$ & 0.316 & 0.422 & 0.211 & 0.047 & 0.004 \\ \hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
\item Calcul de l'espérance
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
E[X] &=& x_1 \times n_1 + x_2 \times n_2 + ... + x_p \times n_p \\
|
||||
&=& 0 \times 0.316 + 1 \times 0.422 + 2 \times 0.211 + 3 \times 0.047 + 4 \times 0.004\\
|
||||
&=& 1.001
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Le client peut donc espérer attendre en moyenne une fois lors de ses 4 appels.
|
||||
\item L'évènement $A$ est constitué des évènements $\left\{ X = 1 \right\}$, $\left\{ X = 2 \right\}$, $\left\{ X = 3 \right\}$, $\left\{ X = 4 \right\}$ donc
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
P(A) = P(X=1) +P(X=2) +P(X=3) +P(X=4) = 0.422 + 0.211 + 0.047 + 0.004 = 0.684
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
La probabilité qu'un client attende au moins une fois est de 0.684.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
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||||
\end{document}
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||||
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\psset{nodesep=1mm,levelsep=1.5cm,treesep=7mm}
|
||||
\pstree[treemode=D]{\TC}{%
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||||
\pstree{\TR{$R$} \tlput{\tiny 0.25}}{%
|
||||
\pstree{\TR{$R$} \tlput{\tiny 0.25}}{%
|
||||
\pstree{\TR{$R$} \tlput{\tiny 0.25}}{%
|
||||
\pstree[arrows=->, levelsep=1cm]{\TR{$R$} \tlput{\tiny 0.25}}{%
|
||||
\TR{4}
|
||||
}
|
||||
\pstree[arrows=->, levelsep=1cm]{\TR{$\bar{R}$} \trput{\tiny 0.75}}{%
|
||||
\TR{3}
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||||
}
|
||||
}
|
||||
\pstree{\TR{$\bar{R}$} \trput{\tiny 0.75}}{%
|
||||
\pstree[arrows=->, levelsep=1cm]{\TR{$R$} \tlput{\tiny 0.25}}{%
|
||||
\TR{3}
|
||||
}
|
||||
\pstree[arrows=->, levelsep=1cm]{\TR{$\bar{R}$} \trput{\tiny 0.75}}{%
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||||
\TR{2}
|
||||
}
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||||
}
|
||||
}
|
||||
\pstree{\TR{$\bar{R}$} \trput{\tiny 0.75}}{%
|
||||
\pstree{\TR{$R$} \tlput{\tiny 0.25}}{%
|
||||
\pstree[arrows=->, levelsep=1cm]{\TR{$R$} \tlput{\tiny 0.25}}{%
|
||||
\TR{3}
|
||||
}
|
||||
\pstree[arrows=->, levelsep=1cm]{\TR{$\bar{R}$} \trput{\tiny 0.75}}{%
|
||||
\TR{2}
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
\pstree{\TR{$\bar{R}$} \trput{\tiny 0.75}}{%
|
||||
\pstree[arrows=->, levelsep=1cm]{\TR{$R$} \tlput{\tiny 0.25}}{%
|
||||
\TR{2}
|
||||
}
|
||||
\pstree[arrows=->, levelsep=1cm]{\TR{$\bar{R}$} \trput{\tiny 0.75}}{%
|
||||
\TR{1}
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
\pstree{\TR{$\bar{R}$} \trput{\tiny 0.75}}{%
|
||||
\pstree{\TR{$R$} \tlput{\tiny 0.25}}{%
|
||||
\pstree{\TR{$R$} \tlput{\tiny 0.25}}{%
|
||||
\pstree[arrows=->, levelsep=1cm]{\TR{$R$} \tlput{\tiny 0.25}}{%
|
||||
\TR{3}
|
||||
}
|
||||
\pstree[arrows=->, levelsep=1cm]{\TR{$\bar{R}$} \trput{\tiny 0.75}}{%
|
||||
\TR{2}
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
\pstree{\TR{$\bar{R}$} \trput{\tiny 0.75}}{%
|
||||
\pstree[arrows=->, levelsep=1cm]{\TR{$R$} \tlput{\tiny 0.25}}{%
|
||||
\TR{2}
|
||||
}
|
||||
\pstree[arrows=->, levelsep=1cm]{\TR{$\bar{R}$} \trput{\tiny 0.75}}{%
|
||||
\TR{1}
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
\pstree{\TR{$\bar{R}$} \trput{\tiny 0.75}}{%
|
||||
\pstree{\TR{$R$} \tlput{\tiny 0.25}}{%
|
||||
\pstree[arrows=->, levelsep=1cm]{\TR{$R$} \tlput{\tiny 0.25}}{%
|
||||
\TR{2}
|
||||
}
|
||||
\pstree[arrows=->, levelsep=1cm]{\TR{$\bar{R}$} \trput{\tiny 0.75}}{%
|
||||
\TR{1}
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
\pstree{\TR{$\bar{R}$} \trput{\tiny 0.75}}{%
|
||||
\pstree[arrows=->, levelsep=1cm]{\TR{$R$} \tlput{\tiny 0.25}}{%
|
||||
\TR{1}
|
||||
}
|
||||
\pstree[arrows=->, levelsep=1cm]{\TR{$\bar{R}$} \trput{\tiny 0.75}}{%
|
||||
\TR{0}
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
26
1ES/DM/DM_130603/fig/pstricks.sh
Normal file
26
1ES/DM/DM_130603/fig/pstricks.sh
Normal file
@@ -0,0 +1,26 @@
|
||||
#!/bin/sh
|
||||
# on enlève l’extension du 1er argument
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||||
FILE=${1%.*}
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||||
TMPFILE=pstemp
|
||||
# création d’un fichier temporaire psttemp.tex
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||||
cat > $TMPFILE.tex <<EOF
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||||
\documentclass{article}
|
||||
\usepackage{pstricks}
|
||||
\usepackage{pstricks-add}
|
||||
\usepackage{pst-eps}
|
||||
\usepackage{pst-tree}
|
||||
\thispagestyle{empty}
|
||||
\begin{document}
|
||||
\begin{TeXtoEPS}
|
||||
\input{$FILE}
|
||||
\end{TeXtoEPS}
|
||||
\end{document}
|
||||
EOF
|
||||
# Création du fichier dvi
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||||
latex $TMPFILE
|
||||
# Création du fichier eps
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||||
dvips -E $TMPFILE.dvi -o $TMPFILE.eps
|
||||
# Création du fichier pdf
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||||
epstopdf $TMPFILE.eps --debug --outfile=$FILE.pdf
|
||||
# effacement des fichiers temporaires
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||||
rm -f $TMPFILE.*
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||||
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