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\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}
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% Title Page
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\title{Devoir surveillé: Suites}
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\author{}
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\date{3 Avril 2013}
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\fancyhead[L]{$1^{\mbox{ère}}ES 1$ : \Thetitle}
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\begin{document}
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\maketitle
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\thispagestyle{fancy}
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Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
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\begin{Exo}(9 points)\\
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% QCM
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L'exercice suivant est un QCM. La notation est la suivante:
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\begin{itemize}
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||||
\item +1.5 si la réponse est juste.
|
||||
\item 0 s'il n'y a pas de réponse.
|
||||
\item -0.5 si la réponse est fausse.
|
||||
\end{itemize}
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||||
On ne demande pas de justifier votre réponse. Il y a un seule réponse possible. Si à la fin de l'exercice vous avec une note négative, elle sera mise à zéro dans la note finale du devoir.
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\begin{enumerate}
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||||
\item Soit $u$ la suite définie de la manière suivante: pour tout $n\in \N$, $u_n = -4n + 2$. La suite $u$ est
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\medskip
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\begin{center}
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a) croissante \hspace{2cm} b) constante \hspace{2cm} c) décroissante
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\end{center}
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\bigskip
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\item Soit $v$ la suite définie de la manière suivante: $v_0 = -2$ et $v_n = 2 v_{n+1}$. La suite $v$ est
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\medskip
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\begin{center}
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a) croissante \hspace{2cm} b) constante \hspace{2cm} c) décroissante
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\end{center}
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\bigskip
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\item Soit $u$ la suite définie par de la manière suivante: pour tout $n \in \N, \quad u_n = 10 (\frac{1}{2})^{n-2}$. La suite $u$ est
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\medskip
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\begin{center}
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a) géométrique \hspace{2cm} b) arithmétique \hspace{2cm} c) ni géométrique ni arithmétique
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\end{center}
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\bigskip
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\item Soit $u$ la suite définie par de la manière suivante: $u_0 = 2$ pour tout $n \in \N, \quad u_{n+1} = \frac{u_n - 3}{2} $. La suite $u$ est
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\medskip
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\begin{center}
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a) arithmétique de raison $\frac{1}{2}$ \hspace{2cm} b) arithmétique de raison $\frac{-3}{2}$ \hspace{2cm} c) pas arithmétique
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\end{center}
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\bigskip
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\item Soit $u$ la suite définie de la manière suivante: $u_n = \frac{n}{n+1} - \frac{1}{n+2}$. On peut alors réécrire $u_{n+1}$ de la manière
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\medskip
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\begin{center}
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a) $u_{n+1} = \dfrac{n^2 + 3n + 5}{(n+2)(n+3)}$ \hspace{1cm} b) $u_{n+1} = \dfrac{2n^2 + 4n + 1}{(n+1)(n+2)}$ \hspace{1cm} c) $u_{n+1} = \dfrac{n^2 + 3n + 1}{n^2 + 5n + 6}$
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\end{center}
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\bigskip
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\item Soit $u$ une suite géométrique dont on connait deux valeurs $u_3 = 20$ et $u_{10} = 30$. On note $q$ la raison de cette suite. On a alors
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\medskip
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\begin{center}
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a) $q \approx 1.06$ \hspace{2cm} b) $q \approx -1,06$ \hspace{2cm} c) $q = \sqrt{\dfrac{3}{2}} $
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\end{center}
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\bigskip
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\end{enumerate}
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\end{Exo}
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\pagebreak
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\begin{Exo}(11 points) \\
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% Problème sur les suites
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Un immeuble est infesté de cafards. Les habitants en ont marre et décident de mettre fin à la prolifération. Ils contactent une entreprise qui leurs propose deux solutions:
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\begin{itemize}
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||||
\item La première est à base de pièges. Elle permet de tuer régulièrement 30 cafards par mois.
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||||
\item La deuxième est à base de produits chimique. Elle permet de tuer 30\% des cafards tous les mois.
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||||
\end{itemize}
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||||
Nous allons comparer ces deux solutions.
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||||
En Janvier 2010, on comptait 100 cafards. Et on estime qu'il n'y a plus de cafards quand il en reste moins de 10.
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\begin{enumerate}
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||||
\item \textbf{Étude de la solution avec piège}
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\begin{enumerate}
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||||
\item Modéliser par une suite (notée $u$) l'évolution de la population de cafards si la première solution est retenue (on ne demande pas de calculer le premier terme ni la raison). Justifier.
|
||||
\item Calculer le premier terme de la suite et la raison.
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||||
\item Donner la formule explicite de la suite.
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||||
\item Combien de cafards restera-t-il en avril?
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||||
\item À partir de quel mois, pourra-t-on considérer qu'il n'y a plus de cafards?
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\end{enumerate}
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\item \textbf{Étude de la solution avec des produits chimiques}
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\begin{enumerate}
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||||
\item Modéliser par une suite (notée $v$) l'évolution de la population de cafards si la première solution est retenue (on ne demande pas de calculer le premier terme ni la raison). Justifier.
|
||||
\item Calculer le premier terme de la suite et la raison.
|
||||
\item Donner la formule explicite de la suite.
|
||||
\item Combien de cafards restera-t-il en avril?
|
||||
\item À partir de quel mois, pourra-t-on considérer qu'il n'y a plus de cafards?
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\item \textbf{Comparaison des deux solutions}
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item Tracer sur le même graphique l'évolution sur 6 mois de la population de cafard si les pièges sont choisis ou si les produits chimiques sont choisis.
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||||
\item Quelle est la solution la plus rapide pour cet immeuble?
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\end{enumerate}
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||||
\end{enumerate}
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\end{Exo}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}
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\usepackage{eurosym}
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% Title Page
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\title{Devoir surveillé: Suites}
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\author{}
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\date{13 Avril 2013}
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\fancyhead[L]{$1^{\mbox{ère}}ES 1$ : \Thetitle}
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\begin{document}
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\maketitle
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\thispagestyle{fancy}
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Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
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\begin{Exo}(6 points)\\
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% QCM
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L'exercice suivant est un QCM. La notation est la suivante:
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\begin{itemize}
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\item +1.5 si la réponse est juste.
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||||
\item 0 s'il n'y a pas de réponse.
|
||||
\item -0.5 si la réponse est fausse.
|
||||
\end{itemize}
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||||
On ne demande pas de justifier votre réponse. Il y a un seule réponse possible. Si à la fin de l'exercice vous avec une note négative, elle sera mise à zéro dans la note finale du devoir.
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item Soit $v$ la suite définie de la manière suivante: $v_0 = 2$ et $v_n = (-2) v_{n+1}$. La suite $v$ est
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\medskip
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\begin{center}
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a) croissante \hspace{2cm} b) ni croissante ni décroissante \hspace{2cm} c) décroissante
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\end{center}
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\bigskip
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||||
\item Soit $u$ la suite définie par de la manière suivante: pour tout $n \in \N, \quad u_n = (-\frac{1}{2})^{n-2}$. La suite $u$ est
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||||
\medskip
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||||
\begin{center}
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||||
a) géométrique \hspace{2cm} b) arithmétique \hspace{2cm} c) ni géométrique ni arithmétique
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\end{center}
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\bigskip
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\item Soit $u$ la suite définie par de la manière suivante: $u_0 = 2$ pour tout $n \in \N, \quad u_{n+1} = \frac{u_n - 3}{2} + \frac{3}{2} $. La suite $u$ est
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\medskip
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||||
\begin{center}
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||||
a) arithmétique de raison $\frac{1}{2}$ \hspace{1cm} b) arithmétique de raison $\frac{-3}{2}$ \hspace{1cm} c) géométrique de raison $\frac{1}{2}$
|
||||
\end{center}
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||||
\bigskip
|
||||
\item Soit $u$ une suite géométrique dont on connait deux valeurs $u_3 = 10$ et $u_{10} = -40$. On note $q$ la raison de cette suite. On a alors
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||||
\medskip
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||||
\begin{center}
|
||||
a) $q \approx 1.22$ \hspace{2cm} b) $q \approx -1,22$ \hspace{2cm} c) $q = 2 $
|
||||
\end{center}
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\bigskip
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\end{enumerate}
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\end{Exo}
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\begin{Exo}(9 points)\\
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On chercher à modéliser la croissance de la taille d'une fourmilière par une suite. On appelle cette suite $u$. Elle décrit le nombre de fourmis (en milliers) en fonction du mois. On dispose de 2 chiffres correspondant aux mois de Mars et de Juin:
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\begin{eqnarray*}
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||||
u_3 = 2 \qquad u_5 = 8
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\end{eqnarray*}
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||||
On cherche à savoir si la suite est plutôt arithmétique ou plutôt géométrique.
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||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item \textbf{Si la suite est arithmétique}
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item On suppose que la suite est arithmétique. Calculer, à partir de $u_2$ et $u_5$, le premier terme de la suite et la raison $r$.
|
||||
\item Donner la relation de récurrence et la formule explicite de la suite.
|
||||
\item À partir de la question précédente calculer le nombre de fourmis au mois d'Août.
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||||
\end{enumerate}
|
||||
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||||
\item \textbf{Si la suite est géométrique}
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\begin{enumerate}
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||||
\item On suppose maintenant que la suite est géométrique. Calculer, à partir de $u_2$ et $u_5$, le premier terme de la suite et la raison $q$.
|
||||
\item Donner la relation de récurrence et la formule explicite de la suite.
|
||||
\item À partir de la question précédente calculer le nombre de fourmis au mois d'Août.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item \textbf{Comparaison des deux modèles}. Au mois d'Août, on dénombre 31 milles fourmis. À votre avis quel modèle colle le plus à la réalité?
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{Exo}
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\begin{Exo}(5 points)\\
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Une personne veut louer une maison à partir du $1^{\mbox{er}}$ janvier 2010. On lui propose le contrat suivant:
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Le loyer initial est de 2000 \euro . Et il augmentera de 5\% tous les ans.
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||||
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||||
On note $u$ la suite décrivant l'évolution du loyer. Ainsi, $u_n$ sera le loyer à l'année $n+2010$.
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\begin{enumerate}
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||||
\item Quelle est la nature de $u$? Donner la relation de récurrence et préciser la raison et le premier terme.
|
||||
\item Tracer l'évolution du loyer jusqu'en 2020.
|
||||
\item Cette personne ne peut pas se permettre de payer plus de 3000\euro de loyer. Quand devra-t-elle trouver une nouvelle maison?
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||||
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||||
\end{enumerate}
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\end{Exo}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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@@ -0,0 +1,161 @@
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\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}
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% Title Page
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\title{Devoir surveillé: Suites}
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\author{}
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\date{3 Avril 2013}
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\fancyhead[L]{$1^{\mbox{ère}}ES 1$ : \Thetitle}
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\begin{document}
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\maketitle
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\thispagestyle{fancy}
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\begin{Exo}(9 points)\\
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||||
% QCM
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Soit $u$ la suite définie de la manière suivante: pour tout $n\in \N$, $u_n = -4n + 2$. La suite $u$ est \textbf{décroissante}.
|
||||
\medskip
|
||||
\begin{center}
|
||||
a) croissante \hspace{2cm} b) constante \hspace{2cm} c) \colorbox{green}{décroissante}
|
||||
\end{center}
|
||||
En effet,
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u_{n+1} = -4(n+1) + 2 = -4n + 2 - 4 = u_n - 4
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Donc $u_{n+1} \leq u_n$. Donc la suite est décroissante.
|
||||
|
||||
\item Soit $v$ la suite définie de la manière suivante: $v_0 = -2$ et $v_n = 2 v_{n+1}$. La suite $v$ est \textbf{décroissante}.
|
||||
\medskip
|
||||
\begin{center}
|
||||
a) croissante \hspace{2cm} b) constante \hspace{2cm} c) \colorbox{green}{décroissante}
|
||||
\end{center}
|
||||
En effet, on reconnait un suite géométrique de raison $q=2$ (donc supérieur à 1) et de premier terme négatif.
|
||||
|
||||
\item Soit $u$ la suite définie par de la manière suivante: pour tout $n \in \N, \quad u_n = 10 (\frac{1}{2})^{n-2}$. La suite $u$ est
|
||||
\medskip
|
||||
\begin{center}
|
||||
a) \colorbox{green}{géométrique} \hspace{2cm} b) arithmétique \hspace{2cm} c) ni géométrique ni arithmétique
|
||||
\end{center}
|
||||
En effet, on reconnait la forme d'une d'une relation explicite d'une suite géométrique commençant en $u_2$: $u_n = u_2 q^{n-2}$ avec $u_2 = 10$ et $q=\dfrac{1}{2}$ donc décroissante.
|
||||
|
||||
\item Soit $u$ la suite définie par de la manière suivante: $u_0 = 2$ pour tout $n \in \N, \quad u_{n+1} = \frac{u_n - 3}{2} $. La suite $u$ est
|
||||
\medskip
|
||||
\begin{center}
|
||||
a) arithmétique de raison $\frac{1}{2}$ \hspace{1cm} b) arithmétique de raison $\frac{-3}{2}$ \hspace{1cm} c) \colorbox{green}{pas arithmétique}
|
||||
\end{center}
|
||||
En effet, on peut réécrire $u_{n+1}$ de la forme $u_{n+1} = \dfrac{1}{2} u_n - \dfrac{3}{2}$ qui n'est ni une relation de récurrence d'une suite arithmétique ni celle d'une suite géométrique.
|
||||
|
||||
\item Soit $u$ la suite définie de la manière suivante: $u_n = \frac{n}{n+1} - \frac{1}{n+2}$. On peut alors réécrire $u_{n+1}$ de la manière
|
||||
\medskip
|
||||
\begin{center}
|
||||
a) $u_{n+1} = \dfrac{n^2 + 3n + 5}{(n+2)(n+3)}$ \hspace{1cm} b) $u_{n+1} = \dfrac{2n^2 + 4n + 1}{(n+1)(n+2)}$ \hspace{1cm} c) \colorbox{green}{$u_{n+1} = \dfrac{n^2 + 3n + 1}{n^2 + 5n + 6}$}
|
||||
\end{center}
|
||||
En effet,
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u_{n+1} &=& \frac{n+1}{n+1+1} - \frac{1}{n+1+2} \\
|
||||
&=& \frac{(n+1)(n+3) - (n+2)}{(n+2)(n+3)} \\
|
||||
&=& \frac{n^2 + 3n + n +3 - n - 2}{n^2 + 3n + 2n + 6} \\
|
||||
&=& \frac{n^2 + 3n + 1}{n^2 + 5n + 6}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
\item Soit $u$ une suite géométrique dont on connait deux valeurs $u_3 = 20$ et $u_{10} = 30$. On note $q$ la raison de cette suite. On a alors
|
||||
\medskip
|
||||
\begin{center}
|
||||
a) \colorbox{green}{$q \approx 1.06$} \hspace{2cm} b) $q \approx -1,06$ \hspace{2cm} c) $q = \sqrt{\dfrac{3}{2}} $
|
||||
\end{center}
|
||||
En effet, calculons en partant de $u_3$, $u_{10}$ en utilisant la relation explicite
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u_n = u_3 q^{n-3}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Dans le premier cas on a alors
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u_{10} = 20 \times 1.06^{10-3} = 20 \times 1.06^7 = 30.1
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Donc le deuxième
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u_{10} = 20 \times (-1.06)^{10-3} = 20 \times (-1.06)^7 = -30.1
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Et dans le troisième
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u_{10} = 20 \times \sqrt{\frac{3}{2}}^{10-3} = 20 \times \sqrt{\frac{3}{2}}^7 = 82.6
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
C'est donc la première qui s'en rapproche le plus.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{Exo}(11 points) \\
|
||||
% Problème sur les suites
|
||||
Un immeuble est infesté de cafards. Les habitants en ont marre et décident de mettre fin à la prolifération. Ils contactent une entreprise qui leurs propose deux solutions:
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item La première est à base de pièges. Elle permet de tuer régulièrement 30 cafards par mois.
|
||||
\item La deuxième est à base de produits chimique. Elle permet de tuer 30\% des cafards tous les mois.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Nous allons comparer ces deux solutions.
|
||||
|
||||
En Janvier 2010, on comptait 100 cafards. Et on estime qu'il n'y a plus de cafards quand il en reste moins de 10.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item \textbf{Étude de la solution avec piège}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item D'après l'énoncé, la première solution tue les cafards de façon régulière à un rythme de 30 cafards par mois. Si on note $u$ la suite décrivant le nombre de cafards au fil des mois, cette suite est alors arithmétique. Et elle s'écrit sous la forme:
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u_{n+1} = u_n + r
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Ou encore
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u_n = u_0 + nr
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item D'après l'énoncé, il y a 30 cafards qui sont tués par mois. La raison est donc $r=-30$. En janvier 2010, on compte 100 cafards. Le premier terme de la suite est alors $u_0 = 100$.
|
||||
\item La suite est arithmétique on en déduit la relation explicite:
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u_n = u_0 + nr = 100 - 30n
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item Au mois d'avril, il se sera passé 4 mois. Le nombre de cafards est alors donné par $u_3$
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u_3 = 100 - 30\times 3 = 10
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item On a vu dans l'exercice précédent, on a vu qu'en avril, avec cette solution, il resterai 10 cafards. On peut alors considérer qu'il n'y aura plus de cafards en avril.
|
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\end{enumerate}
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\item \textbf{Étude de la solution avec des produits chimiques}
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\begin{enumerate}
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\item D'après l'énoncé, cette solution tue 30\% des cafards tous les mois. Donc en notant $v$ la suite représentant l'évolution du nombre de cafards, on peut considérer que $v$ est géométrique. Elle est alors de la forme
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\begin{eqnarray*}
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u_{n+1} = qu_n
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\end{eqnarray*}
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ou encore
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\begin{eqnarray*}
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u_n = u_0 \;q^n
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\end{eqnarray*}
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\item D'après l'énoncé, la solution chimiques tue 30\% des cafards donc le nombre de cafards est multiplier par $\left( 1 - \dfrac{30}{100} \right) = 0.7$. La raison de la suite est alors $q=0.7$. Le premier terme est le nombre de cafards en janvier 2010 soit $u_0 = 100$.
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\item La formule explicite de $v$ est alors
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\begin{eqnarray*}
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v_n = 100 \times 0.7^n
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\end{eqnarray*}
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\item On a déjà vu que pour avoir le nombre de cafards au mois d'avoir, il fallait calculer $v_3$
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\begin{eqnarray*}
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v_3 = 100 \times 0.7^3 = 34.3
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\end{eqnarray*}
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\item Pour cela on calcule les valeurs de $v$ et on obtient
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\begin{eqnarray*}
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u_6 = 11.8 \quad u_7 = 8.2
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\end{eqnarray*}
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Donc à partir du mois d'août on pourra considérer qu'il n'y a plus de cafards.
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\end{enumerate}
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\item \textbf{Comparaison des deux solutions}
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\begin{enumerate}
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\item \note{Todo}
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\item On remarque que la première solution élimine les cafards à partir du mois d'avril alors qu'il faut attendre le mois d'août pour la deuxième, la première solution est donc plus rapide.
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{Exo}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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1ES/DS/DS_130403/index.rst
Normal file
23
1ES/DS/DS_130403/index.rst
Normal file
@@ -0,0 +1,23 @@
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Notes sur DS 130403
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:date: 2013-07-01
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:modified: 2013-07-01
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:tags: DS, Suites
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:category: 1ES
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:authors: Benjamin Bertrand
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:summary: Pas de résumé, note créée automatiquement parce que je ne l'avais pas bien fait...
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`Lien vers DS_suites_corr.tex <DS_suites_corr.tex>`_
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`Lien vers DS_suites2.tex <DS_suites2.tex>`_
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