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\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}
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% Title Page
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\title{Devoir surveillé: Loi binomiale}
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\author{}
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\date{13 Avril 2013}
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\fancyhead[L]{$1^{\mbox{ère}}ES 1$ : \Thetitle}
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\begin{document}
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\maketitle
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\thispagestyle{fancy}
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Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
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\begin{Exo}(4 points)\\
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% QCM
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L'exercice suivant est un QCM. La notation est la suivante:
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\begin{itemize}
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\item +1 si la réponse est juste.
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\item 0 s'il n'y a pas de réponse.
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||||
\item -1 si la réponse est fausse.
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\end{itemize}
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||||
On ne demande pas de justifier votre réponse. Il y a un seule réponse possible. Si à la fin de l'exercice vous avec une note négative, elle sera mise à zéro dans la note finale du devoir.
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\begin{enumerate}
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||||
\item Sur un arbre correspondant à un schéma de Bernoulli de paramètres 5 et $0.7$, il y a autant de chemins avec 3 succès que de chemins avec 1 succès?
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\begin{center}
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||||
a) Vrai \hspace{5cm} b) Faux
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||||
\end{center}
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||||
\item On considère $X$ une variable aléatoire qui suit une loi binomiale $\mathcal{B}\left( 5; \frac{1}{3} \right)$. Elle peut alors prendre les valeurs entières comprises entre 1 et 5.
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||||
\begin{center}
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||||
a) Vrai \hspace{5cm} b) Faux
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||||
\end{center}
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||||
\item Un panier contient 20 fraises et 30 framboises. On prend simultanément 5 fruits. On note $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de fraise. $X$ suit alors une loi binomiale de paramètres 5 et $\frac{20}{50}$.
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||||
\begin{center}
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||||
a) Vrai \hspace{5cm} b) Faux
|
||||
\end{center}
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||||
\item Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres 10 et $p$. Alors $P(X=4) = 4p^4(1-p)^6$.
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||||
\begin{center}
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||||
a) Vrai \hspace{5cm} b) Faux
|
||||
\end{center}
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{Exo}
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\begin{Exo}(6 points) \\
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% exercice 47p309 du bouquin des S
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Corentin fabrique, en amateur, des appareils électroniques. Il achète pour cela, dans un magasin, des composants en apparence tous identiques mais dont certains présentent un défaut.On estime que la probabilité qu'un composant vendu dans le magasin soit défectueux est égale à 0,02. \\
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||||
Corentin achète 50 composants. On admet que le nombre de composants présentés dans le magasin est suffisamment grand pour que l'achat de 50 composants soit assimilié à 50 tirages indépendants avec remise. On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de composant défectueux achetés.
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item Quelle est la loi de $X$? Quelles sont les paramètres?
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||||
\item Calculer, au centième près, la probabilité qu'exactement deux composants achetés soient défectueux.
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||||
\item Calculer, au centième près, la probabilité qu'au moins deux composants achetés soient défectueux.
|
||||
\item Quel est,par lot de 50 composants achetés, le nombre moyen de composants défectueux?
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{Exo}
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\begin{Exo} (10 points) \\
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||||
$X$ est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale $\mathcal{B}\left( 15; 0,4 \right)$. On donne les valeurs suivantes
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\begin{center}
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||||
\begin{tabular}[h]{|c|*{16}{c|}}
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||||
\hline
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||||
$k$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\ \hline
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||||
$P(X=k)$ & 0.0 & 0.005 & 0.022 & $\cdots$ & 0.127 & 0.186 & $\ldots$ & 0.177 & 0.118 & $\ldots$ & 0.024 & 0.007 & 0.002 & 0.0 & 0.0 & 0.0 \\ \hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item Compléter le tableau en expliquant vos calculs.
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||||
\item Déterminez le plus petit entier $a$ tel que $P(X\leq a) \geq 0.025$.
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||||
\item Déterminez le plus petit entier $b$ tel que $P(X\leq b) \geq 0.975$.
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||||
\item Calculer l'espérance de $X$.
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||||
\item Représenter graphiquement la loi de $X$. Placer sur le graphique $a$, $b$ et $E[X]$.
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{Exo}
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||||
\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}
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% Title Page
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||||
\title{Devoir surveillé: Loi binomiale Correction}
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\author{}
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\date{13 Avril 2013}
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\fancyhead[L]{$1^{\mbox{ère}}ES 1$ : \Thetitle}
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\begin{document}
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\maketitle
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\thispagestyle{fancy}
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\begin{Exo}(4 points)\\
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item Sur un arbre correspondant à un schéma de Bernoulli de paramètres 5 et $0.7$, il y a autant de chemins avec 3 succès que de chemins avec 1 succès?
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||||
\begin{center}
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||||
a) Vrai \hspace{5cm} b) \colorbox{green}{Faux}
|
||||
\end{center}
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||||
En effet, on compte le nombre de chemins grâce aux coefficients binomiaux. Ainsi le nombre de chemins avec 3 succès est le nombre $\coefBino{5}{3} = 10$. Et le nombre de chemin avec 1 succès est le nombre $\coefBino{5}{1} = 5$. Donc la proposition est fausse.
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||||
\item On considère $X$ une variable aléatoire qui suit une loi binomiale $\mathcal{B}\left( 5; \frac{1}{3} \right)$. Elle peut alors prendre les valeurs entières comprises entre 1 et 5.
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||||
\begin{center}
|
||||
a) Vrai \hspace{5cm} b) \colorbox{green}{Faux}
|
||||
\end{center}
|
||||
En effet, si on répète 5 fois une expérience de Bernoulli, on peut avoir effectivement de 1 à 5 succès mais on peut aussi avoir aucun succès.
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||||
\item Un panier contient 20 fraises et 30 framboises. On prend simultanément 5 fruits. On note $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de fraise. $X$ suit alors une loi binomiale de paramètres 5 et $\frac{20}{50}$.
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||||
\begin{center}
|
||||
a) Vrai \hspace{5cm} b) \colorbox{green}{Faux}
|
||||
\end{center}
|
||||
En effet, comme on prend \textbf{simultanément} 5 fruits, le tirage est sans remise. On ne peut donc pas décomposer cette expérience en la répétition identique et indépendante de 5 expériences de Bernoulli. $X$ ne suit donc pas une loi binomiale.
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||||
\item Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres 10 et $p$. Alors $P(X=4) = 4p^4(1-p)^6$.
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\begin{center}
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||||
a) Vrai \hspace{5cm} b) \colorbox{green}{Faux}
|
||||
\end{center}
|
||||
Comme $X$ suit une loi binomiale de paramètres 10 et $p$, on a $P(X=4) = \coefBino{10}{4} p^4 (1-p)^{10-4}$. Or $\coefBino{10}{4} = 210 \neq 4$, la proposition est donc fausse.
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{Exo}
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||||
\begin{Exo}
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item À chaque composant correspond une expérience de Bernoulli de paramètre 0.02. Car il y a deux possibilités:
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||||
\begin{itemize}
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||||
\item Le composant est défectueux (avec probabilité 0.02)
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||||
\item Le composant est correct (avec probabilité $1-0.02 = 0.98$)
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||||
\end{itemize}
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||||
D'après l'énoncé ces expériences sont identiques et indépendantes et on les répète 50 fois. On a donc un schéma de Bernoulli de paramètres 50 et 0.02.
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||||
|
||||
Comme $X$ compte de le nombre de composants défectueux, $X$ suit donc une loi binomiale de paramètres 50 et 0.02.
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||||
\item Calculons la probabilité qu'exactement deux composants soient défectueux
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
P(X=2) &=& \coefBino{50}{2} \times 0.02^{2} \times 0.98^{48} \\
|
||||
&=& 0.18
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item Calculons la probabilité d'avoir au moins deux composants défectueux
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
P(X\geq 2) &=& 1 - P(X \leq 1) \\
|
||||
&=& 1 - \left( P(X=0) + P(X=1) \right) \\
|
||||
&=& 1 - \left( \coefBino{50}{0}\times0.02^{0}\times 0.98^{50} + \coefBino{50}{1}\times0.02^{1}\times 0.98^{49}\right) \\
|
||||
&=& 1 - (0.36 - 0.37) \\
|
||||
&=& 0.27
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item Pour calculer le nombre moyen de composants défectueux, il faut calculer l'espérance de $X$.
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
E[X] = n \times p = 50 \times 0.02 = 1
|
||||
\end{eqnarray*}
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||||
Il y aura en moyenne un objet défectueux.
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{Exo}
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||||
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||||
\begin{Exo}
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item Calculons les probabilités manquantes
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
P(X=3) &=& \coefBino{15}{3} \times 0.4^{3} \times 0.6^{12} = 0.063 \\
|
||||
P(X=6) &=& \coefBino{15}{6} \times 0.4^{6} \times 0.6^{9} = 0.207 \\
|
||||
P(X=9) &=& \coefBino{15}{9} \times 0.4^{9} \times 0.6^{6} = 0.061
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item Pour trouver $a$, on constate que
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
P(X \leq 0) &=& 0.0 \\
|
||||
P(X \leq 1) &=& 0.0 +0.005 = 0.005 \leq 0.025\\
|
||||
P(X \leq 2) &=& 0.005 + 0.022 = 0.027 \geq 0.025
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Donc $a$ est égal à 2.
|
||||
\item Pour trouver $b$, on peut ajouter la ligne $P(X\leq k)$ pour trouver quand cette probabilité. On peut aussi constater que
|
||||
\begin{eqnarray*}
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||||
P(X\leq k) = 1 - P(X > k) = 1 - P(X \geq k+1)
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Donc on est ramené à chercher $b$ tel que $P(X \geq k+1) \leq 0.025$.
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
P(X \geq 11) = 0.002 + 0.007 = 0.009 \leq 0.025 \\
|
||||
P(X \geq 10) = 0.009 + 0.024 = 0.033 \geq 0.025
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Donc $b + 1 = 11$ et ainsi $b = 10$
|
||||
|
||||
\item Espérance de X
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
E[X] &=& n\times p = 15 \times 0.4 = 6
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item Représentation graphique de $X$
|
||||
\note{TODO}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
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||||
\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}
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% Title Page
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||||
\title{Devoir surveillé: Probabilité}
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||||
\author{}
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||||
\date{13 Avril 2013}
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||||
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||||
\fancyhead[L]{$1^{\mbox{ère}}ES 1$ : \Thetitle}
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||||
|
||||
\begin{document}
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||||
\maketitle
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||||
\thispagestyle{fancy}
|
||||
|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
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||||
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||||
\begin{Exo} (5 points) \\
|
||||
% Loi de Probabilité et espérance (inspi de 45p280 livre S)
|
||||
À force de confisquer les téléphones portables de ses élèves, un professeur a pu établir le tableau suivant
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}[h]{|c|*{5}{c|}}
|
||||
\hline
|
||||
Type de portable & Vieux & À clapet & Coulissant & Smartphone & Téléphone satellite \\ \hline
|
||||
Fréquence (en \%)& 20 & 10 & 15 & 50 & 5 \\ \hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
Il décide alors de ne plus les rendre en fin de cours mais de les vendre au marché noir. Il se renseigne alors sur les prix de vente:
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}[h]{|c| *{6}{c|}}
|
||||
\hline
|
||||
Type de portable & Vieux & À clapet & Coulissant & Smartphone & Téléphone satellite & Tablette \\ \hline
|
||||
Prix de revente (en \euro) & 10 & 40 & 70 & 150 & 200 & 250 \\ \hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
On note $X$ la variable aléatoire désignant le prix de revente d'un téléphone confisqué.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Donner le loi de probabilité de $X$
|
||||
\item Calculer l'espérance de $X$. Que signifie cette valeur?
|
||||
\item S'il confisque 10 téléphones par jour, combien gagnera-t-il en une semaine?
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\begin{Exo} (11 points) \\
|
||||
% Arbre de proba
|
||||
On place dans une urne 3 boules bleues, 5 boules vertes et 2 boules jaunes.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item \textbf{Premier jeu:} La partie coûte 5\euro{}. On tire une boule que l'on replace ensuite dans l'urne. Une boule bleue rapporte 1 \euro{}, une boule verte rapporte 2 \euro{} et une boule jaune rapporte 6 \euro{}. On note $X$ les gains à ce jeu.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Déterminer la loi de probabilité de $X$.
|
||||
\item A-t-on intérêt à jouer à ce jeu?
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item \textbf{Deuxième jeu:} La partie coûte 5\euro{}. On tire successivement 2 boules en les replaçant à chaque fois dans l'urne. Et chaque boule rapporte autant que dans le jeu précédent.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Justifier que l'on peut faire un arbre pondéré pour modéliser ce jeu.
|
||||
\item Réaliser l'arbre modélisant ce jeu.
|
||||
\item Quelle est la probabilité de tirer au moins une boule bleue?
|
||||
\item Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge et une boule verte?
|
||||
\item On note $Y$ les gains à ce jeu. Déterminer la loi de probabilité de $Y$.
|
||||
\item Ce jeu est-il équitable?
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\begin{Exo} (4 points)\\
|
||||
% Arbre et loi de proba
|
||||
On lance un dé équilibré cinq fois de suite. Quelle est la probabilité d'obtenir 4 nombres pairs?
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "master"
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||||
%%% End:
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@@ -0,0 +1,135 @@
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||||
\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}
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||||
|
||||
% Title Page
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||||
\title{Devoir surveillé: Probabilité}
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||||
\author{}
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||||
\date{13 Avril 2013}
|
||||
|
||||
\fancyhead[L]{$1^{\mbox{ère}}ES 1$ : \Thetitle}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
\thispagestyle{fancy}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}
|
||||
% Loi de Probabilité et espérance (inspi de 45p280 livre S)
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculons $P(X=10)$. L'évènement $\left\{ X=10 \right\}$ correspond aux vieux téléphones. On sait qu'il ramasse 20\% de vieux téléphones donc
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
P(X=10) = \frac{20}{100} = 0.2
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Le loi de probabilité de $X$
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}[h]{|c|*{5}{c|}}
|
||||
\hline
|
||||
$x_i$ & 10 & 40 & 70 & 150 & 200 \\ \hline
|
||||
$P(X=x_i)$ & 0.2 & 0.1 & 0.15 & 0.5 & 0.05 \\ \hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
\item Espérance de $X$.
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
E[X] &=& x_1 \times n_1 + x_2 \times n_2 + ... + x_p \times n_p \\
|
||||
&=& 10 \times 0.20 + 40 \times 0.10 + 70 \times 0.15 + 150 \times 0.50 + 200 \times 0.05 \\
|
||||
&=& 101.5
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
On peut donc dire qu'il peut espérer vendre en moyenne 124.09 \euro{} chaque téléphone.
|
||||
\item S'il confisque 10 téléphones par jour, au bout d'une semaine (5 jours travaillés) il aura confisqué 50 téléphones. Or on a vu dans la question précédente qu'il vendait en moyenne un téléphone à 101.5\euro{},il gagne donc par semaine
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
50\times E[X] = 50 \times 101.5 = 5075
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\begin{Exo} (11 points) \\
|
||||
% Arbre de proba
|
||||
On place dans une urne 3 boules bleues, 5 boules vertes et 2 boules jaunes.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item \textbf{Premier jeu:} La partie coûte 5\euro{}. On tire une boule que l'on replace ensuite dans l'urne. Une boule bleue rapporte 1 \euro{}, une boule verte rapporte 2 \euro{} et une boule jaune rapporte 6 \euro{}. On note $X$ les gains à ce jeu.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Comme la partie coûte 5\euro{}, $X$ peut prendre les valeurs: -4, -3, 1. Il y a en tout 10 boules qui ont toute la même chance d'être tirée. Donc l'expérience est équiprobable. On a donc
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
P(X=-4) = P(\mbox{Tirer une boule bleue}) = \frac{3}{10} = 0.3 \\
|
||||
P(X=-3) = P(\mbox{Tirer une boule verte}) = \frac{5}{10} = 0.5 \\
|
||||
P(X=1) = P(\mbox{Tirer une boule jaune}) = \frac{2}{10} = 0.2
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
On en déduit la loi de probabilité de $X$:
|
||||
\begin{tabular}{|c|*{3}{c|}}
|
||||
\hline
|
||||
$x_i$ & -4 & -2 & 1 \\ \hline
|
||||
$P(X = x_i)$ & 0.3 & 0.5 & 0.2 \\ \hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
|
||||
\item Pour savoir si l'on a ou non intérêt à jouer à ce jeu, il faut calculer l'espérance de $X$.
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
E[X] &=& x_1 \times n_1 + x_2 \times n_2 + ... + x_p \times n_p \\
|
||||
&=& -4 \times 0.30 + -3 \times 0.50 + 1 \times 0.20\\
|
||||
&=& -2.50
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
On remarque que l'espérance est négative donc en moyenne, on perd de l'argent à chaque partie. Nous n'avons donc pas intérêt à jouer à ce jeu.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item \textbf{Deuxième jeu:} La partie coûte 5\euro{}. On tire successivement 2 boules en les replaçant à chaque fois dans l'urne. Et chaque boule rapporte autant que dans le jeu précédent.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Comme on replace la boule dans l'urne, les deux tirages sont identiques et indépendants. On est donc dans la situation où un arbre pondéré est adapté pour modéliser ce jeu.
|
||||
\item Arbre modélisant ce jeu
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[scale=0.8]{fig/arbreExo2}
|
||||
\end{center}
|
||||
\item On a entouré sur l'arbre les issues avec au moins une boule bleue. La probabilité des feuille est égale au produit des probabilités des branches. On a alors
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
P(\mbox{Boule bleue}) = 0.3\times0.3 \; + \; 0.3\times 0.5 \;+\; 0.3\times 0.2 \;+\; 0.5\times O.3 \;+\; 0.2\times 0.3 = 0.51
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item On a entouré d'un losange les issues avec un boule jaune et une boule verte. On a alors
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
P(\mbox{Jaune et vert}) = 0.5\times 0.2 \;+\; 0.2 \times 0.5 = 0.2
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item On note $Y$ les gains à ce jeu. On refait l'arbre en indiquant les gains dans chaque cas:
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[scale=0.9]{fig/arbreExo2_val}
|
||||
\end{center}
|
||||
On en déduit la loi de probabilité de $Y$:
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{|c|*{6}{c|}}
|
||||
\hline
|
||||
$x_i$ & -3 & -2 & -1 & 2 & 3 & 7 \\ \hline
|
||||
$P(X=x_i)$ & 0.09 & 0.3 & 0.25 & 0.12 & 0.2 & 0.04 \\ \hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
\item Pour savoir si le jeu est équitable, on calcul l'espérance
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
E[X] &=& x_1 \times n_1 + x_2 \times n_2 + ... + x_p \times n_p\\
|
||||
&=& -3 \times 0.09 + -2 \times 0.30 + -1 \times 0.25 + 2 \times 0.12 + 3 \times 0.20 + 7 \times 0.04\\
|
||||
&=& 0
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Comme l'espérance est nulle, donc le jeu est équitable.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\begin{Exo} (4 points)\\
|
||||
% Arbre et loi de proba
|
||||
Comme les dés sont équilibrés on a:
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
P(\mbox{Nombre pair}) = \frac{3}{6} = 0.5 \\
|
||||
P(\mbox{Nombre impair}) = \frac{3}{6} = 0.5
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Comme chaque lancer est indépendant des autres, on peut faire un arbre pondéré suivant et la probabilité des feuilles sera égale au produit des probabilités des branches. On note $P$ quand le résultat est paire et $I$ quand il est impaire.
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[scale=0.9]{fig/arbreExo3}
|
||||
\end{center}
|
||||
Les feuilles entourées sont celles qui nous interressent. Chacune de ces branches a pour probabilité
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
P(\mbox{Une branche avec 4 paires}) = 0.5 \times 0.5 \times 0.5 \times 0.5 \times 0.5 = 0.03125
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
On compte 5 branches de ce type donc finalement
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
P(\mbox{Avoir 4 pairs}) = 5 \times 0.03125 = 0.15625
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "master"
|
||||
%%% End:
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1ES/DS/DS_130413/fig/.pdf
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18
1ES/DS/DS_130413/fig/arbreExo2.tex
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18
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@@ -0,0 +1,18 @@
|
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|
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|
||||
\pstree{\TR{$B$} \tlput{0.3}}{%
|
||||
\Tcircle{$B$} \tlput{0.3}
|
||||
\Tcircle{$V$} \tlput{0.5}
|
||||
\Tcircle{$J$} \trput{0.2}
|
||||
}
|
||||
\pstree{\TR{$V$} \tlput{0.5}}{%
|
||||
\Tcircle{$B$} \tlput{0.3}
|
||||
\TR{$V$} \tlput{0.5}
|
||||
\Tdia{$J$} \trput{0.2}
|
||||
}
|
||||
\pstree{\TR{$J$} \tlput{0.2}}{%
|
||||
\Tcircle{$B$} \tlput{0.3}
|
||||
\Tdia{$V$} \tlput{0.5}
|
||||
\TR{$J$} \trput{0.2}
|
||||
}
|
||||
}
|
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1ES/DS/DS_130413/fig/arbreExo2_val.pdf
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1ES/DS/DS_130413/fig/arbreExo2_val.tex
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18
1ES/DS/DS_130413/fig/arbreExo2_val.tex
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@@ -0,0 +1,18 @@
|
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\psset{nodesep=1mm,levelsep=3cm,treesep=1.5cm}
|
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\pstree[treemode=D]{\TC}{%
|
||||
\pstree{\TR{$B$} \tlput{0.3}}{%
|
||||
\pstree[arrows=->, levelsep=1cm]{\TR{$B$} \tlput{0.3}}{\TR{-3}}
|
||||
\pstree[arrows=->, levelsep=1cm]{\TR{$V$} \tlput{0.5}}{\TR{-2}}
|
||||
\pstree[arrows=->, levelsep=1cm]{\TR{$J$} \trput{0.2}}{\TR{2}}
|
||||
}
|
||||
\pstree{\TR{$V$} \tlput{0.5}}{%
|
||||
\pstree[arrows=->, levelsep=1cm]{\TR{$B$} \tlput{0.3}}{\TR{-2}}
|
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\pstree[arrows=->, levelsep=1cm]{\TR{$V$} \tlput{0.5}}{\TR{-1}}
|
||||
\pstree[arrows=->, levelsep=1cm]{\TR{$J$} \trput{0.2}}{\TR{3}}
|
||||
}
|
||||
\pstree{\TR{$V$} \tlput{0.2}}{%
|
||||
\pstree[arrows=->, levelsep=1cm]{\TR{$B$} \tlput{0.3}}{\TR{2}}
|
||||
\pstree[arrows=->, levelsep=1cm]{\TR{$V$} \tlput{0.5}}{\TR{3}}
|
||||
\pstree[arrows=->, levelsep=1cm]{\TR{$J$} \trput{0.2}}{\TR{7}}
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
BIN
1ES/DS/DS_130413/fig/arbreExo3.pdf
Normal file
BIN
1ES/DS/DS_130413/fig/arbreExo3.pdf
Normal file
Binary file not shown.
95
1ES/DS/DS_130413/fig/arbreExo3.tex
Normal file
95
1ES/DS/DS_130413/fig/arbreExo3.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,95 @@
|
||||
\psset{nodesep=1mm,levelsep=4cm,treesep=0.7cm}
|
||||
\pstree[treemode=R]{\TC}{%
|
||||
\pstree{\TR{$P$} \naput{0.5}}{%
|
||||
\pstree{\TR{$P$} \naput{0.5}}{%
|
||||
\pstree{\TR{$P$} \naput{0.5}}{%
|
||||
\pstree{\TR{$P$} \naput{0.5}}{%
|
||||
\TR{$P$} \naput{0.5}
|
||||
\Tcircle{$I$} \nbput{0.5}
|
||||
}
|
||||
\pstree{\TR{$I$} \naput{0.5}}{%
|
||||
\Tcircle{$P$} \naput{0.5}
|
||||
\TR{$I$} \nbput{0.5}
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
\pstree{\TR{$I$} \naput{0.5}}{%
|
||||
\pstree{\TR{$P$} \naput{0.5}}{%
|
||||
\Tcircle{$P$} \naput{0.5}
|
||||
\TR{$I$} \nbput{0.5}
|
||||
}
|
||||
\pstree{\TR{$I$} \naput{0.5}}{%
|
||||
\TR{$P$} \naput{0.5}
|
||||
\TR{$I$} \nbput{0.5}
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
\pstree{\TR{$I$} \naput{0.5}}{%
|
||||
\pstree{\TR{$P$} \naput{0.5}}{%
|
||||
\pstree{\TR{$P$} \naput{0.5}}{%
|
||||
\Tcircle{$P$} \naput{0.5}
|
||||
\TR{$I$} \nbput{0.5}
|
||||
}
|
||||
\pstree{\TR{$I$} \naput{0.5}}{%
|
||||
\TR{$P$} \naput{0.5}
|
||||
\TR{$I$} \nbput{0.5}
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
\pstree{\TR{$I$} \naput{0.5}}{%
|
||||
\pstree{\TR{$P$} \naput{0.5}}{%
|
||||
\TR{$P$} \naput{0.5}
|
||||
\TR{$I$} \nbput{0.5}
|
||||
}
|
||||
\pstree{\TR{$I$} \naput{0.5}}{%
|
||||
\TR{$P$} \naput{0.5}
|
||||
\TR{$I$} \nbput{0.5}
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
\pstree{\TR{$I$} \naput{0.5}}{%
|
||||
\pstree{\TR{$P$} \naput{0.5}}{%
|
||||
\pstree{\TR{$P$} \naput{0.5}}{%
|
||||
\pstree{\TR{$P$} \naput{0.5}}{%
|
||||
\Tcircle{$P$} \naput{0.5}
|
||||
\TR{$I$} \nbput{0.5}
|
||||
}
|
||||
\pstree{\TR{$I$} \naput{0.5}}{%
|
||||
\TR{$P$} \naput{0.5}
|
||||
\TR{$I$} \nbput{0.5}
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
\pstree{\TR{$I$} \naput{0.5}}{%
|
||||
\pstree{\TR{$P$} \naput{0.5}}{%
|
||||
\TR{$P$} \naput{0.5}
|
||||
\TR{$I$} \nbput{0.5}
|
||||
}
|
||||
\pstree{\TR{$I$} \naput{0.5}}{%
|
||||
\TR{$P$} \naput{0.5}
|
||||
\TR{$I$} \nbput{0.5}
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
\pstree{\TR{$I$} \naput{0.5}}{%
|
||||
\pstree{\TR{$P$} \naput{0.5}}{%
|
||||
\pstree{\TR{$P$} \naput{0.5}}{%
|
||||
\TR{$P$} \naput{0.5}
|
||||
\TR{$I$} \nbput{0.5}
|
||||
}
|
||||
\pstree{\TR{$I$} \naput{0.5}}{%
|
||||
\TR{$P$} \naput{0.5}
|
||||
\TR{$I$} \nbput{0.5}
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
\pstree{\TR{$I$} \naput{0.5}}{%
|
||||
\pstree{\TR{$P$} \naput{0.5}}{%
|
||||
\TR{$P$} \naput{0.5}
|
||||
\TR{$I$} \nbput{0.5}
|
||||
}
|
||||
\pstree{\TR{$I$} \naput{0.5}}{%
|
||||
\TR{$P$} \naput{0.5}
|
||||
\TR{$I$} \nbput{0.5}
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
26
1ES/DS/DS_130413/fig/pstricks.sh
Normal file
26
1ES/DS/DS_130413/fig/pstricks.sh
Normal file
@@ -0,0 +1,26 @@
|
||||
#!/bin/sh
|
||||
# on enlève l’extension du 1er argument
|
||||
FILE=${1%.*}
|
||||
TMPFILE=pstemp
|
||||
# création d’un fichier temporaire psttemp.tex
|
||||
cat > $TMPFILE.tex <<EOF
|
||||
\documentclass{article}
|
||||
\usepackage{pstricks}
|
||||
\usepackage{pstricks-add}
|
||||
\usepackage{pst-eps}
|
||||
\usepackage{pst-tree}
|
||||
\thispagestyle{empty}
|
||||
\begin{document}
|
||||
\begin{TeXtoEPS}
|
||||
\input{$FILE}
|
||||
\end{TeXtoEPS}
|
||||
\end{document}
|
||||
EOF
|
||||
# Création du fichier dvi
|
||||
latex $TMPFILE
|
||||
# Création du fichier eps
|
||||
dvips -E $TMPFILE.dvi -o $TMPFILE.eps
|
||||
# Création du fichier pdf
|
||||
epstopdf $TMPFILE.eps --debug --outfile=$FILE.pdf
|
||||
# effacement des fichiers temporaires
|
||||
rm -f $TMPFILE.*
|
||||
39
1ES/DS/DS_130413/index.rst
Normal file
39
1ES/DS/DS_130413/index.rst
Normal file
@@ -0,0 +1,39 @@
|
||||
Notes sur DS 130413
|
||||
###################
|
||||
|
||||
:date: 2013-07-01
|
||||
:modified: 2013-07-01
|
||||
:tags: DS, Proba
|
||||
:category: 1ES
|
||||
:authors: Benjamin Bertrand
|
||||
:summary: Pas de résumé, note créée automatiquement parce que je ne l'avais pas bien fait...
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||||
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`Lien vers DS_proba.tex <DS_proba.tex>`_
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`Lien vers DS_bino_corr.pdf <DS_bino_corr.pdf>`_
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`Lien vers DS_proba_corr.tex <DS_proba_corr.tex>`_
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`Lien vers DS_bino_corr.tex <DS_bino_corr.tex>`_
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`Lien vers DS_proba.pdf <DS_proba.pdf>`_
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`Lien vers DS_bino.tex <DS_bino.tex>`_
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`Lien vers DS_bino.pdf <DS_bino.pdf>`_
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||||
`Lien vers DS_proba_corr.pdf <DS_proba_corr.pdf>`_
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||||
`Lien vers fig/arbreExo2_val.pdf <fig/arbreExo2_val.pdf>`_
|
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|
||||
`Lien vers fig/arbreExo2.tex <fig/arbreExo2.tex>`_
|
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|
||||
`Lien vers fig/arbreExo3.pdf <fig/arbreExo3.pdf>`_
|
||||
|
||||
`Lien vers fig/arbreExo2_val.tex <fig/arbreExo2_val.tex>`_
|
||||
|
||||
`Lien vers fig/arbreExo2.pdf <fig/arbreExo2.pdf>`_
|
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`Lien vers fig/arbreExo3.tex <fig/arbreExo3.tex>`_
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