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% Title Page
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\title{Devoir Maison: Produit scalaire}
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\author{}
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\date{}
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\fancyhead[L]{$1^{\mbox{ère}}$S 7 : \Thetitle}
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\begin{document}
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\maketitle
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\thispagestyle{fancy}
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\begin{Exo}(58 p 202)
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\begin{enumerate}
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\item Montrons que $||\vec{u} + \vec{v}||^2 + ||\vec{u} - \vec{v}||^2 = 2\left( ||\vec{u}||^2 + ||\vec{v}||^2 \right)$.
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||||
\begin{eqnarray*}
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||\vec{u} + \vec{v}||^2 + ||\vec{u} - \vec{v}||^2 &=& ||\vec{u}||^2 + 2\vec{u}.\vec{v} + ||\vec{v}||^2 \\
|
||||
&& \quad ||\vec{u}||^2 - 2\vec{u}.\vec{v} + ||\vec{v}||^2 \\
|
||||
&=& 2||\vec{u}||^2 + 2||\vec{v}||^2 + 2\vec{u}.\vec{v} - 2\vec{u}.\vec{v}\\
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||||
&=& 2\left( ||\vec{u}||^2 + ||\vec{v}||^2 \right)
|
||||
\end{eqnarray*}
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||||
\item Montrons l'identité d'Apollonius. Pour cela on va appliquer le résultat de la question précédente à $\vec{u} = \vec{AB}$ et $\vec{v} = \vec{BC}$.
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Comme on a $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$ par la relation de Chasles.
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Et que $\vec{AB} - \vec{BC} = \vec{AB} + \vec{CB} = \vec{AB} + \vec{DA} = \vec{DB}$ par la relation de Chasles et en utilisant le fait que $ABCD$ soit un parallélogramme et donc que $\vec{CB} = \vec{DA}$.
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La relation montrée à la question précédente donne
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\begin{eqnarray*}
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||\vec{AC}||^2 + ||\vec{BD}||^2 = 2\left( ||\vec{AB}||^2 + ||\vec{BC}||^2 \right)\\
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AC^2 + BD^2 = 2\left( AB^2 + BC^2 \right)
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\end{eqnarray*}
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\item Calculons la longueur de la diagonale $[BD]$. Par la question précédente, on a
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\begin{eqnarray*}
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BD^2 &=& 2(AB^2 + BC^2) - AC^2 \\
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&=& 2(6^2 + 4^2) - 8^2 \\
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BD^2 &=& 40 \\
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||||
BD &=& \sqrt{40} = 2\sqrt{10}
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||||
\end{eqnarray*}
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\end{enumerate}
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\end{Exo}
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\begin{Exo}(70 p 203)
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\begin{enumerate}
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\item $ABF$ est un triangle inscrit dans le cercle $\mathcal{C}$ dont le coté $[AF]$ est une diagonale de ce cercle. On en déduit donc que $ABF$ est un triangle rectangle en $B$. Ainsi $B$ est le projeté orthogonal de $F$ sur $(AB)$. On peut donc simplifier le produit scalaire
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\begin{eqnarray*}
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||||
\vec{AB}.\vec{AF} = \vec{AB}.\vec{AB} = AB^2
|
||||
\end{eqnarray*}
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||||
De la même façon, $C$ est le projeté orthogonal de $F$ sur $(AC)$ et donc le produit scalaire se simplifie
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\begin{eqnarray*}
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||||
\vec{AC}.\vec{AF} = \vec{AC}.\vec{AC} = AC^2
|
||||
\end{eqnarray*}o
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||||
\item Montrons que $AB^2 + AC^2 = 2 \vec{AI}.\vec{AF}$.
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\begin{eqnarray*}
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||||
AB^2 + AC^2 &=& \vec{AB}.\vec{AF} + \vec{AC}.\vec{AF} \\
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||||
&=& \left( \vec{AI} + \vec{IB}\right).\vec{AF} + \left( \vec{AI} + \vec{IC} \right).\vec{AF} \\
|
||||
&=& \vec{AI}.\vec{AF} + \vec{IB}.\vec{AF} + \vec{AI}.\vec{AF} + \vec{IC}.\vec{AF} \\
|
||||
&=& 2\vec{AI}.\vec{AF} + \vec{IB}.\vec{AF} + \vec{IC}.\vec{AF} \\
|
||||
\mbox{or } \vec{IB} = -\vec{IC} &=& 2\vec{AI}.\vec{AF}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\end{enumerate}
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||||
\end{Exo}
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||||
\begin{Exo}(95 p 205)
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item Calculons les produits scalaires.
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
\vec{BA}.\vec{AC} &=& \frac{1}{2}\left( ||\vec{BA} + \vec{AC}||^2 - ||\vec{BA}||^2 - ||\vec{AC}||^2 \right) \\
|
||||
&=& \frac{1}{2}\left( BC^2 - BA^2 - AC^2 \right)\\
|
||||
&=& \frac{1}{2} \left( 4^2 - 7^2 - 5^2 \right) \\
|
||||
&=& -29 \\
|
||||
\vec{AB}.\vec{BC} = -20 \\
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||||
\vec{CA}.\vec{BC} = 4
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||||
\end{eqnarray*}
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||||
\item
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
\vec{AB}.\vec{AC} &=& -\vec{BA}.\vec{AC} = 29 \\
|
||||
\vec{BA}.\vec{BC} &=& -\vec{AB}.\vec{BC} = 20
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item Calculons la mesure de l'angle $\widehat{ABC}$. On sait que $\vec{BA}.\vec{BC} = ||\vec{BA}||\; ||\vec{BC}|| \cos(\vec{BA},\vec{BC})$ donc
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\cos(\vec{BA},\vec{BC}) &=& \frac{\vec{BA}.\vec{BC}}{||\vec{BA}||\;||\vec{BC}||} \\
|
||||
&=& \frac{-20}{7 \times 4}\\
|
||||
\widehat{ABC} &=& \cos^{-1} \left( \frac{20}{28} \right)\\
|
||||
&=& 44.4
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
On fait de la même manière pour l'angle $\widehat{BAC}$
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
\widehat{BAC} = \cos^{-1} (\frac{29}{35}) = 34.0
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Et on déduit le dernier angle
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||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\widehat{ACB} = 180 - \widehat{ABC} - \widehat{BAC} = 180 - 44 - 34 = 101.6
|
||||
\end{eqnarray*}
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{Exo}
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||||
\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}
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% Title Page
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\title{Devoir Maison: Probabilité}
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\author{}
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\date{20 mai 2013}
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||||
\fancyhead[L]{$1^{\mbox{ère}}S 7$ : \Thetitle}
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||||
\begin{document}
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||||
\maketitle
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||||
\thispagestyle{fancy}
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\begin{Exo}
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||||
67 p 283
|
||||
\end{Exo}
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||||
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||||
\begin{Exo}
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||||
55 p 281
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||||
\end{Exo}
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\begin{Exo}
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% Arbre de proba
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||||
On place dans une urne 3 boules bleues, 5 boules vertes et 2 boules jaunes.
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\begin{enumerate}
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||||
\item \textbf{Premier jeu:} La partie coûte 5\euro{}. On tire une boule que l'on replace ensuite dans l'urne. Une boule bleue rapporte 1 \euro{}, une boule verte rapporte 2 \euro{} et une boule jaune rapporte 6 \euro{}. On note $X$ les gains à ce jeu.
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||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Déterminer la loi de probabilité de $X$.
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||||
\item A-t-on intérêt à jouer à ce jeu?
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||||
\end{enumerate}
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||||
\item \textbf{Deuxième jeu:} La partie coûte 5\euro{}. On tire successivement 2 boules en les replaçant à chaque fois dans l'urne. Et chaque boule rapporte autant que dans le jeu précédent.
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||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Justifier que l'on peut faire un arbre pondéré pour modéliser ce jeu.
|
||||
\item Réaliser l'arbre modélisant ce jeu.
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||||
\item Quelle est la probabilité de tirer au moins une boule bleue?
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||||
\item Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge et une boule verte?
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||||
\item On note $Y$ les gains à ce jeu. Déterminer la loi de probabilité de $Y$.
|
||||
\item Ce jeu est-il équitable?
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
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||||
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||||
\begin{Exo}
|
||||
% Arbre et loi de proba
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||||
On lance un dé équilibré cinq fois de suite. Quelle est la probabilité d'obtenir 4 nombres pairs?
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||||
\end{Exo}
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||||
\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}
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% Title Page
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||||
\title{Devoir Maison: Probabilité - Correction }
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||||
\author{}
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||||
\date{19 Avril 2013}
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||||
\fancyhead[L]{$1^{\mbox{ère}}S 7$ : \Thetitle}
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||||
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||||
\begin{document}
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||||
\maketitle
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||||
\thispagestyle{fancy}
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||||
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||||
\begin{Exo}(63 p 282) \\
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||||
L'expérience consiste à lancer 5 fois de suite un dé équilibré. Cette expérience correspond à la répétition de 5 expériences identiques et indépendantes. Nous allons donc pouvoir faire un arbre pondéré.
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||||
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||||
Lors de chaque ``petite'' expérience, on s'intéresse à l'évènement $P = \left\{ \mbox{le chiffre est paire} \right\}$ et à son évènement contraire $\bar{P} = \left\{ \mbox{le chiffre est impaire} \right\}$. Comme le dé est équilibré, les résultats sont équiprobables donc à chaque lancer on a
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
P(P) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \qquad P(\bar{P}) = \frac{1}{2}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
On obtient alors l'arbre suivant.
|
||||
\begin{center}
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||||
\includegraphics{fig/63p282}
|
||||
\end{center}
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||||
|
||||
Donc la probabilité d'obtenir que des nombres paires est de
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
P(PPPPP)= 0.5 \times0.5 \times0.5 \times0.5 \times0.5 = 0.03125
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\end{Exo}
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||||
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||||
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||||
\begin{Exo}(92 p 289)\\
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||||
Ce n'est pas dit dans l'énoncé mais comme on ne nous donne aucune information sur l'équilibrage de la pièce, on peut supposer qu'elle est équilibrée. Et donc qu'à chaque lancer, les évènements $P = \left\{ \mbox{pile} \right\}$ et $\bar{P} = \left\{ \mbox{face} \right\}$ sont équiprobables.
|
||||
|
||||
Le fait de répéter cette expérience jusqu'à obtenir un pile, permet de dire que l'on fait au plus 5 expériences identiques et indépendantes. Nous pouvons donc faire l'arbre de probabilité suivant.
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||||
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||||
\begin{center}
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||||
\includegraphics{fig/92p289}
|
||||
\end{center}
|
||||
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||||
La probabilité de lancer moins de 5 fois la pièce correspond à la somme des probabilité des feuilles en bleu, ce qui donne
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
P(\mbox{lancer la pièce moins de 5 fois}) &=& \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \\
|
||||
&=& \frac{15}{16}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{Exo}(79 p 286)\\
|
||||
\begin{enumerate}[1.]
|
||||
\item Loi de probabilité de $X$
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|}
|
||||
\hline
|
||||
Défauts & 0 & A & B & A et B \\
|
||||
\hline
|
||||
$x_i$ & 950 & 1050 & 1100 & 1200 \\
|
||||
\hline
|
||||
$P(X=x_i)$ & 0.9 & 0.04 & 0.02 & 0.04\\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
\item Espérance de $X$:
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
E[X] &=& p_1 x_1 + p_2 x_2 + \cdots + p_n x_n \\
|
||||
&=& 0.9 \times 950 + 0.04 \times 1050 + 0.02 \times 1100 + 0.04 \times 0.04\\
|
||||
&=& 967
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Donc $E[X]$ est de 967 \euro. Cette valeur correspond au coût moyen de production d'un objet.
|
||||
|
||||
Variance de $X$:
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
V(X) &=& p_1 \left( x_1 - E[X] \right)^2 + p_2 \left( x_2 - E[X] \right)^2 + \cdots + p_n \left( x_n - E[X] \right)^2\\
|
||||
&=& 0.9 (950 - 967)^2 + 0.04 (1050 - 967)^2 + 0.02 (1100 - 967)^2 + 0.04 (1200 - 967)^2\\
|
||||
&=& 3061
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
Écart-type de $X$:
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\sigma(X) &=& \sqrt{V(X)} = \sqrt{3061} = 55
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item
|
||||
\begin{enumerate}[a.]
|
||||
\item D'après la valeur de $E[X]$, l'usine peut "espérer" que chaque objet lui coûte 967 \euro. Donc en les vendant à 960 \euro elle ne peut pas réaliser de bénéfices.
|
||||
\item Si elle veut un bénéfice moyen de 100 \euro, il faut qu'elle les objets 100 \euro plus cher que l'espérance de coût soit 1060 \euro.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}(84 p 286)\\
|
||||
\begin{enumerate}[1.]
|
||||
\item $B$ est la variable aléatoire comptant le nombre d'ordinateurs loués. Comme cette société ne dispose que de 5 ordinateurs, si on lui en demande 5, 6 ou 7, elle ne pourra en louer que 5. On en déduit donc la loi de probabilité de $B$.
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}[h]{|l|c|c|c|c|c|c|}
|
||||
\hline
|
||||
Ordinateurs loués & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
|
||||
\hline
|
||||
Bénéfices & -250 & -160 & -70 & 20 & 110 & 200 \\
|
||||
\hline
|
||||
probabilité & 0.05 & 0.1 & 0.1 & 0.15 & 0.25 & 0.35\\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
\item Espérance de $B$:
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
E[B] &=& p_1 x_1 + p_2 x_2 + \cdots + p_n x_n \\
|
||||
&=& 0.05 \times (-250) + 0.1 \times (-160) + 0.2 \times (-70) + 0.15 \times 20 + 0.25 \times 110 + 0.35 \times 200 \\
|
||||
&=& 65
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
La société peut donc espérer gagner 65 \euro par jour.
|
||||
\item On en déduit l'espérance des bénéfices sur une année
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
E[365\times B] = 365 \times E[B] = 23 725
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
La société peut donc espérer gagner 23 725 \euro par an.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
|
||||
\end{document}
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|
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\psset{nodesep=3mm,levelsep=3cm,treesep=2mm}
|
||||
\pstree[treemode=D]{\TC}{%
|
||||
\pstree{\TR{$R$} \tlput{$R$}}{%
|
||||
\pstree{\TR{$RD$} \tlput{$D$}}{%
|
||||
\Tcircle{$RDA$} \tlput{$A$}
|
||||
\Tcircle{\blue$RDD$} \tlput{$D$}
|
||||
\Tcircle{\red$RDV$} \trput{$V$}
|
||||
}
|
||||
\pstree{\TR{$RV$} \trput{$V$}}{%
|
||||
\TR{$RVA$} \tlput{$A$}
|
||||
\Tcircle{$RVD$} \tlput{$D$}
|
||||
\TR{\blue$RVV$} \trput{$V$}
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
\pstree{\TR{$D$} \tlput{$D$}}
|
||||
{
|
||||
\pstree{\TR{$DR$} \tlput{$R$}}
|
||||
{
|
||||
\Tcircle{$DRA$} \tlput{$A$}
|
||||
\Tcircle{\blue$DRD$} \tlput{$D$}
|
||||
\Tcircle{$DRV$} \trput{$V$}
|
||||
}
|
||||
\pstree{\TR{$DV$} \trput{$V$}}
|
||||
{
|
||||
\Tcircle{$DVA$} \tlput{$A$}
|
||||
\Tcircle{\blue$DVD$} \tlput{$D$}
|
||||
\Tcircle{\blue$DVV$} \trput{$V$}
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
|
||||
\pstree{\TR{$V$} \tlput{$V$}}
|
||||
{
|
||||
\pstree{\TR{$VD$} \tlput{$D$}}
|
||||
{
|
||||
\Tcircle{$VDA$} \tlput{$A$}
|
||||
\Tcircle{\blue$VDD$} \tlput{$D$}
|
||||
\Tcircle{\blue$VDV$} \trput{$V$}
|
||||
}
|
||||
\pstree{\TR{$VR$} \trput{$R$}}
|
||||
{
|
||||
\TR{$VRA$} \tlput{$A$}
|
||||
\Tcircle{$VRD$} \tlput{$D$}
|
||||
\TR{\blue$VRV$} \trput{$V$}
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
26
1S/DM/DM_130520/fig/pstricks.sh
Normal file
26
1S/DM/DM_130520/fig/pstricks.sh
Normal file
@@ -0,0 +1,26 @@
|
||||
#!/bin/sh
|
||||
# on enlève l’extension du 1er argument
|
||||
FILE=${1%.*}
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||||
TMPFILE=pstemp
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||||
# création d’un fichier temporaire psttemp.tex
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||||
cat > $TMPFILE.tex <<EOF
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||||
\documentclass{article}
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||||
\usepackage{pstricks}
|
||||
\usepackage{pstricks-add}
|
||||
\usepackage{pst-eps}
|
||||
\usepackage{pst-tree}
|
||||
\thispagestyle{empty}
|
||||
\begin{document}
|
||||
\begin{TeXtoEPS}
|
||||
\input{$FILE}
|
||||
\end{TeXtoEPS}
|
||||
\end{document}
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||||
EOF
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||||
# Création du fichier dvi
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||||
latex $TMPFILE
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||||
# Création du fichier eps
|
||||
dvips -E $TMPFILE.dvi -o $TMPFILE.eps
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||||
# Création du fichier pdf
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||||
epstopdf $TMPFILE.eps --debug --outfile=$FILE.pdf
|
||||
# effacement des fichiers temporaires
|
||||
rm -f $TMPFILE.*
|
||||
BIN
1S/DM/DM_130531/DM_corr.pdf
Normal file
BIN
1S/DM/DM_130531/DM_corr.pdf
Normal file
Binary file not shown.
124
1S/DM/DM_130531/DM_corr.tex
Normal file
124
1S/DM/DM_130531/DM_corr.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,124 @@
|
||||
\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}
|
||||
|
||||
% Title Page
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||||
\title{Devoir surveillé: Suites}
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||||
\author{}
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||||
\date{31 mai 2013}
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||||
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||||
\fancyhead[L]{$1^{\mbox{ère}}$S 7 : \Thetitle}
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||||
|
||||
\begin{document}
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||||
\maketitle
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||||
\thispagestyle{fancy}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}
|
||||
\exo{45 p 122}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Programme permettant de calculer les termes de la suite $u$:
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item En langage humain
|
||||
\begin{verbatim}
|
||||
Saisir A
|
||||
Saisir N
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||||
Pour I variant de 1 à N faire
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||||
mettre dans A la valeur 2xA + 5
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||||
fin de faire
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||||
afficher A
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||||
\end{verbatim}
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||||
\item En Texas
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||||
\begin{verbatim}
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||||
Prompt A
|
||||
Prompt N
|
||||
For(I,1,N)
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||||
2*A+5->A
|
||||
End
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||||
Disp A
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||||
\end{verbatim}
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||||
\item En Casio
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||||
\begin{verbatim}
|
||||
? -> A
|
||||
? -> N
|
||||
For 1 -> I to N
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||||
2*A + 5 -> 1
|
||||
Next
|
||||
A
|
||||
\end{verbatim}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item On calcul alors le terme d'indice 11 de $u$ pour $u_0 = 1$ soit $u_11 = 12283$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}
|
||||
\exo{83p125}
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||||
\begin{enumerate}[1.]
|
||||
\item On calcul les premiers termes des suites $u$ et $v$
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u_1 &=& \frac{u_0}{2u_0+1} = \frac{6}{2\times 6 + 1} = \frac{6}{13}\\
|
||||
u_2 &=& \frac{u_1}{2u_1+1} = \frac{\frac{6}{13}}{2\times \frac{6}{13} + 1} = \frac{6}{25}\\
|
||||
u_3 &=& \frac{u_3}{2u_3+1} = \frac{\frac{6}{25}}{2\times \frac{6}{25} + 1} = \frac{6}{37}\\
|
||||
v_0 &=& \frac{1}{u_0} = \frac{1}{6} \quad \mbox{Non demandé mais on en aura besoin plus tard}\\
|
||||
v_1 &=& \frac{1}{u_1} = \frac{13}{6} \\
|
||||
v_2 &=& \frac{1}{u_3} = \frac{25}{6} \\
|
||||
v_3 &=& \frac{1}{u_3} = \frac{37}{6}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item Démontrons que la suite $v$ est arithmétique. Pour cela, il faut calculer
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
v_{n+1} - v_{n} &=& \frac{1}{u_{n+1}} - \frac{1}{u_n} \\
|
||||
&=& \frac{1}{\frac{u_n}{2u_n + 1}} - \frac{1}{u_n} \\
|
||||
&=& \frac{2u_n + 1}{u_n} - \frac{1}{u_n} \\
|
||||
&=& \frac{2u_n + 1 - 1}{u_n} \\
|
||||
&=& \frac{2u_n}{u_n} \\
|
||||
&=& 2
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
On a donc $v_{n+1} = v_n + 2$ donc la suite est arithmétique de raison 2 et de premier terme $v_0 = \dfrac{1}{6}$.
|
||||
\item Comme $v$ est une suite est arithmétique de raison 2 et de premier terme $v_0 = \dfrac{1}{6}$ on en déduit son expression explicite
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
v_n = u_0 + n\times r = \frac{1}{6} + 2n
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
On en déduit l'expression de $u$
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u_n = \frac{1}{v_n} = \frac{1}{2n + \frac{1}{6}}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\begin{Exo}
|
||||
\exo{109p126}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Population en centre ville et en banlieue en 2011
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
b_1 = 30000 (1 + \frac{7}{100}) = 32100 \\
|
||||
c_1 = 30000 (1 - \frac{4}{100}) = 28800
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Population en centre ville et en banlieue en 2012
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
b_2 = 32100 (1 + \frac{7}{100}) = 34347 \\
|
||||
c_2 = 28800 (1 - \frac{4}{100}) = 27648
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item On remarque que chaque année, on gagne ou on perd un certain pourcentage de la population. Cette situation est donc modélisable par une suite géométrique.
|
||||
|
||||
Pour la population de banlieue, on gagne 7\% chaque année donc $b$ est une suite géométrique de raison $(1 + \dfrac{7}{100} = 1.07$. On en déduit la relation de récurrence suivante
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
b_{n+1} = 1.07\times b_n
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Pour la population de centre ville, on perd 4\% chaque année donc $c$ est une suite géométrique de raison $(1 - \dfrac{4}{100} = 0.96$. On en déduit la relation de récurrence suivante
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
c_{n+1} = 0.96\times c_n
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item Dans les deux cas la population initiale est de 30000 habitants. On a donc $b_0 = c_0 = 30000$. On en déduit les expressions explicites de $b$ et $c$
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
b_n = 30000\times 1.07^n \\
|
||||
c_n = 30000\times 0.96^n
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
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||||
|
||||
\end{document}
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||||
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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Reference in New Issue
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