Import Work from 2012/2013

1S/DM/DM_130531/DM_corr.tex

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+\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}
+
+% Title Page
+\title{Devoir surveillé: Suites}
+\author{}
+\date{31 mai 2013}
+
+\fancyhead[L]{$1^{\mbox{ère}}$S 7 : \Thetitle}
+
+\begin{document}
+\maketitle
+\thispagestyle{fancy}
+
+\begin{Exo}
+		\exo{45 p 122}
+		\begin{enumerate}
+				\item Programme permettant de calculer les termes de la suite $u$:
+						\begin{itemize}
+								\item En langage humain
+\begin{verbatim}
+Saisir A
+Saisir N
+Pour I variant de 1 à N faire
+	mettre dans A la valeur 2xA + 5
+fin de faire
+afficher A
+\end{verbatim}
+								\item En Texas 
+\begin{verbatim}
+Prompt A
+Prompt N
+For(I,1,N)
+	2*A+5->A
+End
+Disp A
+\end{verbatim}
+								\item En Casio
+\begin{verbatim}
+? -> A
+? -> N
+For 1 -> I to N
+	2*A + 5 -> 1
+Next
+A
+\end{verbatim}
+						\end{itemize}
+				\item On calcul alors le terme d'indice 11 de $u$ pour $u_0 = 1$ soit $u_11 = 12283$.
+		\end{enumerate}
+\end{Exo}
+
+\begin{Exo}
+		\exo{83p125}
+		\begin{enumerate}[1.]
+				\item On calcul les premiers termes des suites $u$ et $v$
+						\begin{eqnarray*}
+								u_1 &=& \frac{u_0}{2u_0+1} = \frac{6}{2\times 6 + 1} = \frac{6}{13}\\
+								u_2 &=& \frac{u_1}{2u_1+1} = \frac{\frac{6}{13}}{2\times \frac{6}{13} + 1} = \frac{6}{25}\\
+								u_3 &=& \frac{u_3}{2u_3+1} = \frac{\frac{6}{25}}{2\times \frac{6}{25} + 1} = \frac{6}{37}\\
+								v_0 &=& \frac{1}{u_0} = \frac{1}{6} \quad \mbox{Non demandé mais on en aura besoin plus tard}\\
+								v_1 &=& \frac{1}{u_1} = \frac{13}{6} \\
+								v_2 &=& \frac{1}{u_3} = \frac{25}{6} \\
+								v_3 &=& \frac{1}{u_3} = \frac{37}{6} 
+						\end{eqnarray*}
+				\item Démontrons que la suite $v$ est arithmétique. Pour cela, il faut calculer 
+						\begin{eqnarray*}
+								v_{n+1} - v_{n} &=& \frac{1}{u_{n+1}} - \frac{1}{u_n} \\
+											&=& \frac{1}{\frac{u_n}{2u_n + 1}} - \frac{1}{u_n} \\
+											&=& \frac{2u_n + 1}{u_n} - \frac{1}{u_n} \\
+											&=& \frac{2u_n + 1 - 1}{u_n} \\
+											&=& \frac{2u_n}{u_n} \\
+											&=& 2
+						\end{eqnarray*}
+						On a donc $v_{n+1} = v_n + 2$ donc la suite est arithmétique de raison 2 et de premier terme $v_0 = \dfrac{1}{6}$.
+				\item Comme $v$ est une suite est arithmétique de raison 2 et de premier terme $v_0 = \dfrac{1}{6}$ on en déduit son expression explicite
+						\begin{eqnarray*}
+								v_n = u_0 + n\times r = \frac{1}{6} + 2n
+						\end{eqnarray*}
+						On en déduit l'expression de $u$
+						\begin{eqnarray*}
+								u_n = \frac{1}{v_n} = \frac{1}{2n + \frac{1}{6}}
+						\end{eqnarray*}
+		\end{enumerate}
+\end{Exo}
+
+\begin{Exo}
+		\exo{109p126}
+		\begin{enumerate}
+				\item Population en centre ville et en banlieue en 2011
+						\begin{eqnarray*}
+								b_1 = 30000 (1 + \frac{7}{100}) = 32100 \\
+								c_1 = 30000 (1 - \frac{4}{100}) = 28800
+						\end{eqnarray*}
+						Population en centre ville et en banlieue en 2012
+						\begin{eqnarray*}
+								b_2 = 32100 (1 + \frac{7}{100}) = 34347 \\
+								c_2 = 28800 (1 - \frac{4}{100}) = 27648
+						\end{eqnarray*}
+				\item  On remarque que chaque année, on gagne ou on perd un certain pourcentage de la population. Cette situation est donc modélisable par une suite géométrique. 
+						
+						Pour la population de banlieue, on gagne 7\% chaque année donc $b$ est une suite géométrique de raison $(1 + \dfrac{7}{100} = 1.07$. On en déduit la relation de récurrence suivante
+						\begin{eqnarray*}
+								b_{n+1} = 1.07\times b_n
+						\end{eqnarray*}
+						Pour la population de centre ville, on perd 4\% chaque année donc $c$ est une suite géométrique de raison $(1 - \dfrac{4}{100} = 0.96$. On en déduit la relation de récurrence suivante
+						\begin{eqnarray*}
+								c_{n+1} = 0.96\times c_n
+						\end{eqnarray*}
+				\item Dans les deux cas la population initiale est de 30000 habitants. On a donc $b_0 = c_0 = 30000$. On en déduit les expressions explicites de $b$ et $c$
+						\begin{eqnarray*}
+								b_n = 30000\times 1.07^n \\
+								c_n = 30000\times 0.96^n 
+						\end{eqnarray*}
+		\end{enumerate}
+\end{Exo}
+
+
+\end{document}
+
+
+%%% Local Variables: 
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "master"
+%%% End:
+