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@@ -0,0 +1,83 @@
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\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}
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% Title Page
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\title{Devoir surveillé: Produit scalaire}
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\author{}
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\date{2 Avril 2013}
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\fancyhead[L]{$1^{\mbox{ère}}S 7$ : \Thetitle}
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\begin{document}
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\maketitle
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\thispagestyle{fancy}
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Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. On prendra soin de bien justifier chaque réponse.
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Les questions avec (*) ne sont pas à faire pour les élèves ayant le droit à un tiers temps.
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\begin{Exo}(10 points) \\
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On se donne la figure suivante (l'échelle n'est pas respectée)
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\begin{center}
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\includegraphics{fig/trapeze}
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\end{center}
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$ABCD$ est un trapèze de base $DC$.
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$E$ est le projeté orthogonal de $A$ sur $(DC)$.
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$F$ est le projeté orthogonal de $B$ sur $(DC)$.
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$O$ est le point d'intersection des diagonales de $ABEF$.
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$ACGF$ est un parallélogramme. $J$ est l'intersection de ses diagonales.
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Les questions suivantes sont indépendantes.
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\begin{enumerate}
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\item Calculer $\vec{AE} \cdot \vec{FC}$. % angle droit
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\item (*) Calculer $\vec{AE} \cdot \vec{AF}$. % Proj orthogonale
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\item Calculer $\vec{EF} \cdot \vec{FG}$. % Proj orthogonale ++
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\item (*) Calculer $\vec{BO} \cdot \vec{EF}$. % Proj orthogonale ++
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\item On veux calculer la mesure d'angle $\widehat{IBC}$.
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\begin{enumerate}
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\item Sans utiliser de produit scalaire, calculer $BI^2$ et $BC^2$. % Pythagore
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\item En déduire $\vec{BI}\cdot \vec{BC}$. % Définition prod scal
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\item En déduire la mesure en degré de l'angle $\widehat{IBC}$. % Det angle
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\end{enumerate}
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% \item On veut calculer la mesure de l'angle $\widehat{CIH}$
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% \begin{enumerate}
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% \item Calculer $\vec{IF}\cdot \vec{FH}$ et $\vec{FC} \cdot \vec{FH}$. % Calculer prod scal angle
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||||
% \item En déduire $\vec{IC} \cdot \vec{IH}$. % Relation de Chasles
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% \item Calculer la distance $IH$. % Calculer un distance
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% \item Conclure sur la mesure de l'angle $\widehat{CIH}$ en degré. % Determ angle
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% \end{enumerate}
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||||
\item Calculer $\vec{BC} \cdot \vec{DA}$. % Relation de Chasles
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||||
\end{enumerate}
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\end{Exo}
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\begin{Exo} (6 points) \\
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Soient $A$, $B$ et $C$ trois points formant un triangle équilatéral de coté 3.
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Trouver l'ensemble des points $M$ tel que (faire un dessin dans chaque cas)
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item $\vec{AM}\cdot \vec{AC} = -6$
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||||
\item $\vec{BM} \cdot \vec{AM} = 0$
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||||
\item (*) $\vec{CM} \cdot \vec{AB} = 3$
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{Exo}
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\begin{Exo}(4 points)\\
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$ABC$ un triangle tel que $AB = 6$, $AC = 8$ et $\widehat{BAC} = 60^o$.
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||||
On définit les points $M$ et $P$ tels que $\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AB} $ et $\vec{CP} = \frac{1}{4} \vec{CA}$
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||||
Calculer la distant $MP$.
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\begin{center}
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||||
\includegraphics{fig/exo3}
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||||
\end{center}
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||||
\paragraph{Indication:} $MP^2 = (\vec{MA} + \vec{AP})^2$
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\end{Exo}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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1S/DS/DS_130402/DS_prod_scal_corr.pdf
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1S/DS/DS_130402/DS_prod_scal_corr.pdf
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1S/DS/DS_130402/DS_prod_scal_corr.tex
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@@ -0,0 +1,159 @@
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\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}
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% Title Page
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\title{Devoir surveillé: Produit scalaire}
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\author{}
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\date{2 Avril 2013}
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\fancyhead[L]{$1^{\mbox{ère}}S 7$ : \Thetitle}
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\begin{document}
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||||
\maketitle
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\thispagestyle{fancy}
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\begin{Exo}(10 points) \\
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item On sait que $E$ est le projeté orthogonal de $A$ sur $(DC)$ donc $(AE)$ est perpendiculaire à $(DC)$. Or $F$ est un point de $(DC)$ donc $(AE)$ et $(FC)$ sont perpendiculaires. On a donc
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
\vec{AE} \cdot \vec{FC} = 0
|
||||
\end{eqnarray*}
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||||
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||||
\item On a vu que $\left( AE \right)$ et $(EF)$ étaient parallèles. Donc $E$ est le projeté orthogonal de $F$ sur $(AE)$ donc
|
||||
\begin{eqnarray*}
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||||
\vec{AE}\cdot \vec{AF} = \vec{AE}\cdot\vec{AE} = AE^2 = 36
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item Comme $BCGF$ est un parallèlogramme, $(BF)$ et $(CG)$ sont parallèles donc $(CG)$ est perpendiculaire à $(EF)$. Donc $C$ est le projeté orthogonal de $G$ sur $(EF)$. On a donc
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||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\vec{EF} \cdot \vec{FG} = \vec{EF} \cdot \vec{FC}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Or comme $BCGF$ est un parallèlogramme, ses diagonles se coupent en leurs milieu, donc $FC = 7cm$. D'où comme $\vec{EF}$ et $\vec{FC}$ sont colinéaires et dans le même sens,
|
||||
\begin{eqnarray*}
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||||
\vec{EF} \cdot \vec{FG} = 4 \times 7 = 28
|
||||
\end{eqnarray*}
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||||
|
||||
\item On note $J$ le projeté orthogonal de $O$ sur $(EF)$. Comme les diagonales d'un parallèlogramme se coupent en leurs milieux, la projection de $O$ se trouve au milieu de $[EF]$ donc $JF = 2cm$. On sait aussi que $F$ est le projeté de $B$ sur $(EF)$ on a donc
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
\vec{EF} \cdot \vec{OB} = \vec{EF} \cdot \vec{JF} = 4 \times 2 = 8
|
||||
\vec{BO} \cdot \vec{EF} = \vec{BJ} \cdot \vec{EF}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
or $\vec{BJ}$ et $\vec{EF}$ sont colinéaires et de sens opposé donc
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\vec{BO} \cdot \vec{EF} = \vec{BJ} \cdot \vec{EF} = -||\vec{BJ}|| \; ||\vec{EF}|| = -2\times 4 = -8 \end{eqnarray*}
|
||||
\item
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item On sait que $BFC$ est un triangle rectangle en $F$ donc par la théorème de Pythagore,
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
BC^2 = BF^2 + FC^2 = 6^2 + 7^2 = 36 + 49 = 85
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||||
\end{eqnarray*}
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||||
De même on déduit $BI^2$
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
BI^2 = BF^2 + FI^2 = 36 + 12.25 = 48.25
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||||
\end{eqnarray*}
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||||
\item Calculons $\vec{CB} \cdot \vec{IC}$.
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
\vec{CB} \cdot \vec{IC} &=& \frac{1}{2}\left( ||\vec{CB} + \vec{IC}||^2 - ||\vec{CB}||^2 - ||\vec{IC}||^2 \right) \\
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||||
&=& \frac{1}{2} \left( ||\vec{IB}||^2 - ||\vec{CB}||^2 - ||\vec{IC}||^2\right) \\
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||||
&=& \frac{1}{2} \left( 48.25 - 85 - 3.5^2 \right) \\
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||||
&=& \frac{1}{2} \left( 49 \right) \\
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||||
&=& -24.5
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||||
\end{eqnarray*}
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||||
\item On sait que $\vec{CB} \cdot \vec{IC} = -\vec{CB} \cdot \vec{CI} = -||\vec{CB}|| \; ||\vec{CI}|| \cos\left( \widehat{ICB} \right)$. Donc
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
\cos (\widehat{ICB}) &=& -\frac{\vec{CB} \cdot \vec{IC}}{||\vec{CB}|| \; ||\vec{CI}||} \\
|
||||
&=& \frac{24.5}{\sqrt{85} \times 3.5}\\
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||||
&=& 0.76
|
||||
\end{eqnarray*}
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||||
Donc
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
\widehat{ICB} &=& \cos^{-1} \left( \frac{24.5}{3.5 \sqrt{85}} \right) \\
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||||
&=& 40.5
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Donc l'angle $\widehat{40.5} = 40.5^o$.
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||||
\end{enumerate}
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||||
\item Calculons $\vec{BC} \cdot \vec{DA}$. Pour cela nous allons utiliser la relation de Chasles
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
\vec{BC} \cdot \vec{DA} &=& \left( \vec{BF} + \vec{FC} \right) \cdot \left( \vec{DE} + \vec{EA} \right) \\
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||||
&=& \vec{BF} \cdot \vec{DE} + \vec{BF} \cdot \vec{EA} + \vec{FC} \cdot \vec{DE} + \vec{FC} \cdot \vec{EA} \\
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||||
&=& 0 - ||\vec{BF}|| \; ||\vec{EA} || + ||\vec{FC}|| \; ||\vec{DE}|| + 0 \\
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||||
&=& -6 \times 6 + 4 \times 7 \\
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||||
&=& -8
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||||
\end{eqnarray*}
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{Exo}
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\begin{Exo} (6 points) \\
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||||
Soient $A$, $B$ et $C$ trois points formant un triangle équilatéral de coté 3.
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||||
Trouver l'ensemble des points $M$ tel que (faire un dessin dans chaque cas)
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\begin{enumerate}
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||||
\item On note $H$ le projeté orthogonal de $M$ sur la droite $(AC)$. On a donc
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\begin{eqnarray*}
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||||
\vec{AH} \cdot \vec{AC} = \vec{AM}\cdot \vec{AC} = -6
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||||
\end{eqnarray*}
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||||
Comme $\vec{AC}$ et $\vec{AH}$ sont colinéaires et que leurs produit scalaire est négatif alors $\vec{AH}$ et $\vec{AC}$ sont de sens opposés. On a donc
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\begin{eqnarray*}
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||||
||\vec{AH}|| \; ||\vec{AC}|| = 6 \\
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||||
||\vec{AH}|| = \frac{6}{||\vec{AC}||} = \vec{6}{3} = 2
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||||
\end{eqnarray*}
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||||
On place alors le points $H$ sur la droite $(AC)$ à une distance 2 de $A$, du coté opposé à $C$ par rapport à $A$.
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||||
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||||
L'ensemble des points $M$ tel que $\vec{AM}\cdot \vec{AC} = -6$ est alors la droite passant par $H$ et perpendiculaire à $(AC)$.
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\begin{center}
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||||
\includegraphics{fig/exo2_1}
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||||
\end{center}
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||||
\item Comme $\vec{BM} \cdot \vec{AM} = 0$, les vecteurs $\vec{BM}$ et $\vec{AM}$ sont orthogonaux. Donc le triangle $AMB$ est rectangle en $M$ pour tous les points $M$. Donc $M$ se trouve sur le cercle de diamètre $[AB]$
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\begin{center}
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||||
\includegraphics[scale=0.2]{fig/exo2_2}
|
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\end{center}
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||||
\item (*) On note $H$ le projeté de $M$ sur la droite $(AB)$ et $C'$ celui de $C$. On a alors
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\begin{eqnarray*}
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||||
\vec{C'H} \cdot \vec{AB} = \vec{CM} \cdot \vec{AB} = 3
|
||||
\end{eqnarray*}
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||||
Or comme $\vec{C'H}$ et $\vec{AB}$ sont colinéaires et ont un produit scalaire positif, ils sont dans le même sens. On a donc
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
||\vec{C'H}|| \; ||\vec{AB}|| = 3 \\
|
||||
||\vec{C'H}|| = \frac{3}{||\vec{AB}||} = \frac{3}{3} = 1
|
||||
\end{eqnarray*}
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||||
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||||
On peut donc placer $H$ à une distance de 1 de $C'$ tel que $\vec{C'H}$ et $\vec{AB}$ ai le même sens.
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||||
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||||
Ainsi l'ensemble des points $M$ tel que $\vec{CM} \cdot \vec{AB} = 3$ est la droite passant par $H$ et perpendiculaire à $(AB)$.
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||||
\begin{center}
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||||
\includegraphics[scale=0.2]{fig/exo2_3}
|
||||
\end{center}
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\end{enumerate}
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||||
\end{Exo}
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||||
\begin{Exo}(4 points)\\
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||||
Comme indiqué par l'énoncé, on commence par calculer $MP^2$
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
MP^2 &=& \left( \vec{MA} + \vec{AP} \right)^2 \\
|
||||
&=& MA^2 + 2 \vec{MA}\cdot \vec{AP} + AP^2
|
||||
\end{eqnarray*}
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||||
Comme $\vec{AM} = \frac{1}{2} \vec{AB}$, on
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||||
\begin{eqnarray*}
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MA^2 = \frac{1}{4} AB^2 = 9 \\
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||||
2 \vec{MA} \cdot \vec{AP} = \vec{AB} \cdot \vec{AP}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Et comme $\vec{CP} = \frac{1}{4} \vec{CA}$, on a $\vec{AP} = \frac{3}{4} \vec{AC}$ et donc
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
AP^2 &=& \frac{9}{16} AC^2 = 36\\
|
||||
\vec{AB} \cdot \vec{AP} &=& \frac{3}{4} \vec{AB} \cdot \vec{AC} \\
|
||||
&=& \frac{3}{4} AB \times AC \cos\left( \widehat{BAC} \right) \\
|
||||
&=& \frac{3}{4} 6 \times 8 \times \frac{1}{2} \\
|
||||
&=& 18
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Donc finalement
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
MP^2 = 9 + 36 + 18 = 63 \\
|
||||
MP = \sqrt{63} = 7.9
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "master"
|
||||
%%% End:
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||||
|
||||
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After Width: | Height: | Size: 281 KiB |
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|
After Width: | Height: | Size: 204 KiB |
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24
1S/DS/DS_130402/fig/exo3.tex
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24
1S/DS/DS_130402/fig/exo3.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,24 @@
|
||||
\begin{pspicture}*(-2.5,-2.5)(5,0.5)
|
||||
\psset{algebraic=true}
|
||||
%\psgrid[subgriddiv=2, gridcolor = lightgray](-6.5,-9.5)(9.5,3.5)
|
||||
|
||||
\psdot(0,0)
|
||||
\uput[u](0,0){$A$}
|
||||
|
||||
\psdot(-2,-2)
|
||||
\uput[l](-2,-2){$B$}
|
||||
|
||||
\psdot(4,-2)
|
||||
\uput[r](4,-2){$C$}
|
||||
|
||||
\psdot(-1,-1)
|
||||
\uput[ul](-1,-1){$M$}
|
||||
|
||||
\psdot(3,-1.5)
|
||||
\uput[ur](3,-1.5){$P$}
|
||||
|
||||
\pspolygon(0,0)(-2,-2)(4,-2)
|
||||
\psline(-1,-1)(3,-1.5)
|
||||
|
||||
|
||||
\end{pspicture}
|
||||
26
1S/DS/DS_130402/fig/pstricks.sh
Executable file
26
1S/DS/DS_130402/fig/pstricks.sh
Executable file
@@ -0,0 +1,26 @@
|
||||
#!/bin/sh
|
||||
# on enlève l’extension du 1er argument
|
||||
FILE=${1%.*}
|
||||
TMPFILE=pstemp
|
||||
# création d’un fichier temporaire psttemp.tex
|
||||
cat > $TMPFILE.tex <<EOF
|
||||
\documentclass{article}
|
||||
\usepackage{pstricks}
|
||||
\usepackage{pstricks-add}
|
||||
\usepackage{pst-eps}
|
||||
\usepackage{pst-plot}
|
||||
\thispagestyle{empty}
|
||||
\begin{document}
|
||||
\begin{TeXtoEPS}
|
||||
\input{$FILE}
|
||||
\end{TeXtoEPS}
|
||||
\end{document}
|
||||
EOF
|
||||
# Création du fichier dvi
|
||||
latex $TMPFILE
|
||||
# Création du fichier eps
|
||||
dvips -E $TMPFILE.dvi -o $TMPFILE.eps
|
||||
# Création du fichier pdf
|
||||
epstopdf $TMPFILE.eps --debug --outfile=$FILE.pdf
|
||||
# effacement des fichiers temporaires
|
||||
rm -f $TMPFILE.*
|
||||
BIN
1S/DS/DS_130402/fig/trapeze.pdf
Normal file
BIN
1S/DS/DS_130402/fig/trapeze.pdf
Normal file
Binary file not shown.
55
1S/DS/DS_130402/fig/trapeze.tex
Normal file
55
1S/DS/DS_130402/fig/trapeze.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,55 @@
|
||||
\begin{pspicture}*(-6.5,-9.5)(9.5,3.5)
|
||||
\psset{algebraic=true}
|
||||
%\psgrid[subgriddiv=2, gridcolor = lightgray](-6.5,-9.5)(9.5,3.5)
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\psdot(0,0)
|
||||
\uput[u](0,0){$O$}
|
||||
|
||||
\uput[u](-2,3){$A$}
|
||||
\uput[u](2,3){$B$}
|
||||
\uput[r](9,-3){$C$}
|
||||
\uput[d](-6,-3){$D$}
|
||||
\uput[d](-2,-3){$E$}
|
||||
\uput[d](2,-3){$F$}
|
||||
\uput[r](9,-9){$G$}
|
||||
\uput[u](5.5,-3){$I$}
|
||||
%\uput[d](0,-3){$J$}
|
||||
\uput[r](7,-5.5){$H$}
|
||||
|
||||
% AE
|
||||
\psline(-2,3)(-2,-3)
|
||||
% BF
|
||||
\psline(2,3)(2,-3)
|
||||
% AF
|
||||
\psline(-2,3)(2,-3)
|
||||
% BE
|
||||
\psline(2,3)(-2,-3)
|
||||
% % OJ
|
||||
% \psline(0,0)(0,-3)
|
||||
% FG
|
||||
\psline(2,-3)(9,-9)
|
||||
% BG
|
||||
\psline(2,3)(9,-9)
|
||||
% GC
|
||||
\psline(9,-3)(9,-9)
|
||||
% FH
|
||||
\psline(2,-3)(6.95,-5.5)
|
||||
% HC
|
||||
\psline(6.95,-5.5)(9,-3)
|
||||
|
||||
% L'angle IFH
|
||||
\psarc{<->}(2,-3){2}{-26}{0}
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\uput[r](4,-3.5){$30^o$}
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\pspolygon(-2,-3)(-2.2,-3)(-2.2,-2.8)(-2,-2.8)
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\pspolygon(2,-3)(2.2,-3)(2.2,-2.8)(2,-2.8)
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\pspolygon(-2,3)(2,3)(9,-3)(-6,-3)
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\uput[u](0,3){4cm}
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\uput[u](7,-3){3,5cm}
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\uput[u](-4,-3){4cm}
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\uput[r](2,0){6cm}
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\end{pspicture}
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33
1S/DS/DS_130402/index.rst
Normal file
33
1S/DS/DS_130402/index.rst
Normal file
@@ -0,0 +1,33 @@
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Notes sur DS 130402
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:date: 2013-07-01
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||||
:modified: 2013-07-01
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:tags: DS, Géométrie, Vecteurs
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:category: 1S
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:authors: Benjamin Bertrand
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:summary: Pas de résumé, note créée automatiquement parce que je ne l'avais pas bien fait...
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`Lien vers DS_prod_scal_corr.tex <DS_prod_scal_corr.tex>`_
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`Lien vers DS_prod_scal_corr.pdf <DS_prod_scal_corr.pdf>`_
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`Lien vers DS_prod_scal.pdf <DS_prod_scal.pdf>`_
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`Lien vers DS_prod_scal.tex <DS_prod_scal.tex>`_
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`Lien vers fig/exo2_2.png <fig/exo2_2.png>`_
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`Lien vers fig/exo2_1.png <fig/exo2_1.png>`_
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`Lien vers fig/exo2_3.png <fig/exo2_3.png>`_
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`Lien vers fig/trapeze.pdf <fig/trapeze.pdf>`_
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`Lien vers fig/exo3.tex <fig/exo3.tex>`_
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`Lien vers fig/trapeze.tex <fig/trapeze.tex>`_
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`Lien vers fig/exo3.pdf <fig/exo3.pdf>`_
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