Import Work from 2012/2013

1S/DS/DS_130506/DS_Proba.tex

@@ -0,0 +1,90 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}
+\usepackage{eurosym}
+
+% Title Page
+\title{Devoir surveillé: Probabilité}
+\author{}
+\date{6 mai 2013}
+
+\fancyhead[L]{$1^{\mbox{ére}}S7$ : \Thetitle}
+
+\begin{document}
+\maketitle
+\thispagestyle{fancy}
+
+Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
+
+\begin{Exo}
+		% Loi de proba, calcul de E et V et décalage des éléments
+		À force de confisquer les téléphones portables de ses élèves, un professeur a pu établir le tableau suivant
+		\begin{center}
+		\begin{tabular}[h]{|c|*{5}{c|}}
+						\hline
+				Type de portable & Vieux & À clapet &  Coulissant & Smartphone & Téléphone satellite \\ \hline
+				Fréquence (en \%)& 20 	 & 10 	   & 15 		 & 50 		  & 5 					\\ \hline
+		\end{tabular}
+		\end{center}
+		Il décide alors de ne plus les rendre en fin de cours mais de les vendre au marché noir. Il se renseigne alors sur les prix de vente:
+		\begin{center}
+		\begin{tabular}[h]{|c| *{6}{c|}}
+				\hline
+				Type de portable & Vieux & À clapet &  Coulissant & Smartphone & Téléphone satellite & Tablette \\ \hline
+				Prix de revente (en \euro) & 10 & 40 & 70 & 150 & 200 & 250 \\ \hline
+		\end{tabular}
+		\end{center}
+		On note $X$ la variable aléatoire désignant le prix de revente d'un téléphone confisqué.
+		\begin{enumerate}
+				\item Donner le loi de probabilité de $X$
+				\item Calculer l'espérance de $X$. Que signifie cette valeur?
+				\item Calculer l'écart-type de $X$.
+				\item Il estime qu'il confisque en moyenne 10 téléphones par jour. Malheureusement, son revendeur lui prend une commission de 100 \euro{} par jour. On note $Y$ la variable aléatoire désignant le bénéfice du professeur par jour.
+						\begin{enumerate}
+								\item Exprimer $Y$ en fonction de $X$.
+								\item Calculer l'espérance de $Y$.
+								\item S'il travaille 200 jours par an, combien aura-t-il gagné à la fin de l'année? Peut-il devenir riche de cette manière?
+						\end{enumerate}
+		\end{enumerate}
+\end{Exo}
+
+\begin{Exo}
+		% Des arbres pondérés et jeux
+		Soient 4 dés à 6 faces équilibrés (dit d'Efron) avec sur les faces les chiffres suivants:
+		\begin{itemize}
+				\item Dé $A$: \; 0 \; ; \; 0 \; ; \; 4  \; ; \; 4  \; ; \; 4  \; ; \; 4
+				\item Dé $B$: \; 3 \; ; \; 3 \; ; \; 3  \; ; \; 3  \; ; \; 3  \; ; \; 3
+				\item Dé $C$: \; 2 \; ; \; 2 \; ; \; 2  \; ; \; 2  \; ; \; 6  \; ; \; 6
+				\item Dé $D$: \; 1 \; ; \; 1 \; ; \; 1  \; ; \; 5  \; ; \; 5  \; ; \; 5
+		\end{itemize}
+		\begin{enumerate}
+				\item On lance le dé $A$ puis le dé $B$. Quelle est la probabilité pour que le résultat du dé $A$ soit plus fort que celui du dé $B$?
+				\item Même question avec les dés $B$ et $C$.
+				\item On veut maintenant faire la même chose avec les dés $C$ et $D$.
+						\begin{enumerate}
+								\item On lance le dé $C$ puis le dé $D$. Reproduire et compléter l'arbre suivant.
+										\begin{center}
+												\includegraphics{fig/arbre}
+										\end{center}
+								\item Quelle est la probabilité pour que le résultat du dé $C$ soit plus grand que le résultat du dé $D$?
+								\item Même questionpour le dé $D$ contre le dé $A$.
+						\end{enumerate}
+
+				\item Fort de ces connaissance, vous proposez à un ami de jouer au jeu suivant: 
+						\begin{quote}
+								``Vous misez 55 \euro{} et lui proposez de miser 45 \euro{}. Il pourra alors choisir un dé parmi les 4 dés ($A$, $B$, $C$ et $D$). Une fois son choix fait vous choisissez à votre tour un dé. Puis vous lancez simultanément vos dés. Celui qui a le plus haut score gagne la mise (100\euro).''
+						\end{quote}
+						\begin{enumerate}
+								\item S'il choisit le dé $A$, quel dé allez vous choisir? Et s'il choisit le $B$? Et le $C$? Et le $D$?
+								\item Dans tous les cas quelle est votre chance de gagner?
+								\item Vous lui proposez de jouer 3 fois. Quelle est la probabilité que vous gagnez au moins 2 fois?
+								\item Ce jeux est-il équilibré?
+						\end{enumerate}
+		\end{enumerate}
+\end{Exo}
+
+\end{document}
+
+%%% Local Variables: 
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "master"
+%%% End:
+

1S/DS/DS_130506/DS_Proba_corr.tex

@@ -0,0 +1,149 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}
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+
+% Title Page
+\title{Devoir surveillé: Probabilité}
+\author{}
+\date{6 mai 2013}
+
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+
+\begin{document}
+\maketitle
+\thispagestyle{fancy}
+
+
+\begin{Exo}
+		\begin{enumerate}
+				\item Calculons $P(X=10)$. L'évènement $\left\{ X=10 \right\}$ correspond aux vieux téléphones. On sait qu'il ramasse 20\% de vieux téléphones donc 
+						\begin{eqnarray*}
+								P(X=10) = \frac{20}{100} = 0.2
+						\end{eqnarray*}
+				Le loi de probabilité de $X$
+						\begin{center}
+		\begin{tabular}[h]{|c|*{5}{c|}}
+						\hline
+				$x_i$ & 10 & 40 & 70 & 150 & 200  \\ \hline
+				$P(X=x_i)$ & 0.2 	 & 0.1 	   & 0.15 		 & 0.5 		  & 0.05 					\\ \hline
+		\end{tabular}
+						\end{center}
+				\item Espérance de $X$. Que signifie cette valeur?
+						\begin{eqnarray*}
+						E[X] &=& x_1 \times n_1 + x_2 \times n_2 + ... + x_p \times n_p \\ 
+							&=& 10 \times 0.20 + 40 \times 0.10 + 70 \times 0.15 + 150 \times 0.50 + 200 \times 0.05 \\ 
+							&=& 101.5
+						\end{eqnarray*}
+						On peut donc dire qu'il peut espérer vendre en moyenne 124.09 \euro{} chaque téléphone.
+				\item Variance de X
+					\begin{eqnarray*}
+							V[X] &=& n_1 (x_1 - E[X])^2 + n_2 (x_2 - E[X])^2 + ... + n_p (x_p - E[X])^2 \\ 
+	 &=& 0.20 (10 - 101.5)^2 + 0.10 (40 - 101.5)^2 + 0.15 (70 - 101.5)^2 + 0.50 (150 - 101.5)^2 + 0.50 (200 - 101.5)^2 \\ 
+	 &=& 3862.75
+					\end{eqnarray*}
+				Ecart type:
+				\begin{eqnarray*}
+						\sigma(X) &=& \sqrt{V(X)} \\ 
+								&\approx& 62.15
+						\end{eqnarray*}
+				\item 
+						\begin{enumerate}
+								\item $Y$, en fonction de $X$: 
+										\begin{eqnarray*}
+												Y = 10X - 100
+										\end{eqnarray*}
+								\item On en déduit l'espérance de $Y$
+										\begin{eqnarray*}
+												E[Y] = E[10X - 100] = 10 E[X] - 100 = 10 \times 101.5 - 100 = 915
+										\end{eqnarray*}
+										Il peut donc espérer gagner 915\euro{} par jours.
+								\item Gains à la fin de l'année:
+										\begin{eqnarray*}
+										200 \times E[Y] = 183 000
+										\end{eqnarray*}
+										Il peut donc espérer ganger 183 000 \euro{} par ans. C'est un beau pactole mais comme les élèves deviendront rapidement sages, ils ne sortiront plus leurs téléphones en cours. Et le professeur pourra arrêter son commerce illicite!
+						\end{enumerate}
+		\end{enumerate}
+\end{Exo}
+
+\pagebreak
+\begin{Exo}
+		% Des arbres pondérés et jeux
+		\begin{enumerate}
+				\item On remarque que le dé $B$ n'a que des 3 sur ses faces. Ainsi pour que le dé $A$ batte le dé $B$ il faut qu'il fasse 4. Or il y a 4 faces avec des 4 sur le Dé $A$ donc comme les dés sont équilibrés (on est en situation d'équiprobabilité) on a 
+						\begin{eqnarray*}
+								P(\mbox{4 sur le dé $A$}) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}
+						\end{eqnarray*}
+						Donc la probabilité pour que le résultat du dé $A$ soit plus grand que celui du dé $B$ est de $\dfrac{2}{3}$.
+				\item De la même façon, pour que dé $B$ fasse un plus gros score que le dé $C$, il faut que le dé $C$ fasse un 2. Or il a 4 faces avec un 2 et il est équilibré. Donc
+						\begin{eqnarray*}
+								P(\mbox{2 sur le dé $C$}) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}
+						\end{eqnarray*}
+						Donc la probabilité pour que le résultat du dé $B$ soit plus grand que celui du dé $C$ est de $\dfrac{2}{3}$.
+
+
+				\item On veut maintenant faire la même chose avec les dés $C$ et $D$.
+						\begin{enumerate}
+								\item Quand on lance le dé $C$, il y a 2 chance sur 3 de faire un 2 et une chance sur 3 de faire un 4. Puis quand on lance le dé $D$, on a une chance sur 2 de faire un 1 et une chance sur 2 de faire un 5. On complète alors l'arbre:
+										\begin{center}
+												\includegraphics{fig/arbre_corr}
+										\end{center}
+								\item Les issues entourés correspondent aux issues où le dé $C$ gagne contre le dé $D$. Or on sait que la probabilité d'une feuille d'un graphe est égale au produit des probabilités des branches. Donc
+										\begin{eqnarray*}
+												P(C\mbox{ plus grand que }D) &=& \frac{2}{3}\times \frac{1}{2} \ + \; \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \; + \; \frac{1}{3}\times \frac{1}{2} \\
+												&=& \frac{2}{3}
+										\end{eqnarray*}
+								\item De la même façon on a l'arbre suivant pour le dé $D$ puis le dé $A$.
+										\begin{center}
+												\includegraphics{fig/arbre_corr2}
+										\end{center}
+										On en déduit que le probabilité que le dé $D$ fasse un plus grand score que le dé $A$ est de
+										\begin{eqnarray*}
+												P(D \mbox{ plus grand que } A) &=& \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \; + \; \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \; + \; \frac{2}{3} \\
+												&=& \frac{2}{3}
+										\end{eqnarray*}
+						\end{enumerate}
+				\item 
+						\begin{enumerate}
+								\item D'après les calculs que l'on vient d'effectuer, si notre adversaire choisit le dé $A$, nous avons intérêt à choisir le dé $D$ car on sait qu'il a un probabilité de $\dfrac{2}{3}$ de faire un score plus élevé.
+										De la même façon on déduit que
+										\begin{itemize}
+												\item S'il choisit $B$, nous choisissons le dé $C$.
+												\item S'il choisit $C$, nous choisissons le dé $D$.
+												\item S'il choisit $D$, nous choisissons le dé $A$.
+										\end{itemize}
+								\item Dans tous les cas nous avons une probabilité de $\frac{2}{3}$ de gagner.
+
+								\item Nous venons de voir que nous avons une probabilité égale à $\frac{2}{3}$ de gagner une partie. Chaque partie est indépendante des autres. Nous pouvons donc modéliser la succession de ces trois parties par l'arbre suivant ($G$ pour gagner, $P$ pour perdu):
+										\begin{center}
+												\includegraphics{fig/parties}
+										\end{center}
+										L'évènement ``gagner au moins deux parties'' est caractérisée par les feuilles entourées. D'où
+										\begin{eqnarray*}
+												P(\mbox{gagner au moins deux parties}) &=& \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \; + \; 3 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \\
+												&=& \frac{20}{27}
+										\end{eqnarray*}
+								\item Pour déterminer si le jeux est équitable, il faut calculer l'espérance mathématique. Définissons $X$ la variable aléatoire calculant nos gains. Nous avons vu que nous gagnons 45\euro{} avec une probabilité de $\dfrac{2}{3}$ et nous perdons 55 \euro{} avec un probabilité de $\dfrac{1}{3}$. On en déduit le loi de probabilité de $X$
+										\begin{center}
+												\begin{tabular}[h]{|c|c|c|}
+														\hline
+														$x_i$ & -55 & 45 \\ \hline
+														$P(X=x_i)$ & $\dfrac{1}{3}$ & $\dfrac{2}{3}$ \\ \hline
+												\end{tabular}
+										\end{center}
+										On en déduit l'espérance de $X$
+										\begin{eqnarray*}
+												E[X] &=& -55 \times \frac{1}{3} \; + \; 45 \times \frac{2}{3} \\
+												&=& 11.7
+										\end{eqnarray*}
+										L'espérance n'est pas nulle, donc le jeu n'est pas équitable. On gagne en moyenne 11.7 \euro.
+						\end{enumerate}
+		\end{enumerate}
+\end{Exo}
+
+\end{document}
+
+%%% Local Variables: 
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "master"
+%%% End:
+

1S/DS/DS_130506/fig/arbre.tex

@@ -0,0 +1,11 @@
+\psset{nodesep=3mm,levelsep=3cm,treesep=1.5cm}
+\pstree[treemode=R]{\TC}{%
+		\pstree{\TR{...} \naput{...}}{% 
+                \TR{...} \naput{...}
+                \TR{...} \nbput{...}
+            }
+		 \pstree{\TR{...} \nbput{...}}{% 
+                \TR{...} \naput{...}
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+            }
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1S/DS/DS_130506/fig/arbre_corr.tex

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+\psset{nodesep=3mm,levelsep=3cm,treesep=1.5cm}
+\pstree[treemode=R]{\TC}{%
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+				\Tcircle{5} \naput{$\frac{1}{2}$}
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1S/DS/DS_130506/fig/arbre_corr2.tex

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+\psset{nodesep=3mm,levelsep=3cm,treesep=1.5cm}
+\pstree[treemode=R]{\TC}{%
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+				\Tcircle{4} \nbput{$\frac{2}{3}$}
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1S/DS/DS_130506/fig/parties.tex

@@ -0,0 +1,23 @@
+\psset{nodesep=3mm,levelsep=3cm,treesep=1.5cm}
+\pstree[treemode=R]{\TC}{%
+		\pstree{\TR{G} \naput{$\frac{2}{3}$}}{% 
+				\pstree{\TR{G} \naput{$\frac{2}{3}$}}{% 
+						\Tcircle{G} \naput{$\frac{2}{3}$}
+						\Tcircle{P} \nbput{$\frac{1}{3}$}
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+				\pstree{\TR{P} \naput{$\frac{1}{3}$}}{% 
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+						\TR{P} \nbput{$\frac{1}{3}$}
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+	 }
+		\pstree{\TR{P} \nbput{$\frac{1}{3}$}}{% 
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+						\TR{G} \naput{$\frac{2}{3}$}
+						\TR{P} \nbput{$\frac{1}{3}$}
+				}
+		}
+	 }

1S/DS/DS_130506/fig/pstricks.sh

@@ -0,0 +1,26 @@
+#!/bin/sh
+# on enlève l’extension du 1er argument
+FILE=${1%.*}
+TMPFILE=pstemp
+# création d’un fichier temporaire psttemp.tex
+cat > $TMPFILE.tex <<EOF
+    \documentclass{article}
+    \usepackage{pstricks}
+    \usepackage{pstricks-add}
+    \usepackage{pst-eps}
+    \usepackage{pst-tree}
+    \thispagestyle{empty}
+    \begin{document}
+    \begin{TeXtoEPS}
+    \input{$FILE}
+    \end{TeXtoEPS}
+    \end{document}
+EOF
+# Création du fichier dvi
+latex $TMPFILE
+# Création du fichier eps
+dvips -E $TMPFILE.dvi -o $TMPFILE.eps
+# Création du fichier pdf
+epstopdf $TMPFILE.eps --debug --outfile=$FILE.pdf
+# effacement des fichiers temporaires
+rm -f $TMPFILE.*

1S/DS/DS_130506/index.rst

@@ -0,0 +1,35 @@
+Notes sur DS 130506
+###################
+
+:date: 2013-07-01
+:modified: 2013-07-01
+:tags: DS, Proba
+:category: 1S
+:authors: Benjamin Bertrand
+:summary: Pas de résumé, note créée automatiquement parce que je ne l'avais pas bien fait...
+
+
+
+    `Lien vers DS_Proba_corr.pdf <DS_Proba_corr.pdf>`_
+
+    `Lien vers DS_Proba.pdf <DS_Proba.pdf>`_
+
+    `Lien vers DS_Proba_corr.tex <DS_Proba_corr.tex>`_
+
+    `Lien vers DS_Proba.tex <DS_Proba.tex>`_
+
+    `Lien vers fig/arbre.pdf <fig/arbre.pdf>`_
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+    `Lien vers fig/parties.pdf <fig/parties.pdf>`_
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+    `Lien vers fig/arbre_corr.tex <fig/arbre_corr.tex>`_
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+
+    `Lien vers fig/arbre_corr.pdf <fig/arbre_corr.pdf>`_
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+    `Lien vers fig/arbre_corr2.tex <fig/arbre_corr2.tex>`_
+
+    `Lien vers fig/arbre.tex <fig/arbre.tex>`_
+
+    `Lien vers fig/parties.tex <fig/parties.tex>`_