Import Work from 2012/2013

2nd/DS/DS_130207/DS_fct_homog.tex

@@ -0,0 +1,93 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}
+\usepackage{variations}
+
+% Title Page
+\title{Devoir surveillé: fonctions homographiques}
+\author{}
+\date{6 fervrier 2013}
+
+\fancyhead[L]{$2^{nd}12$ Nom - Prénom}
+
+
+\begin{document}
+\maketitle
+\thispagestyle{fancy}
+
+Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
+
+\begin{Exo}(5points)\\
+    Les fonctions suivantes sont-elles des fonctions homographiques? Justifier. Donner le domaine de définition quand ce sont des fonctions homographiques.
+    \begin{enumerate}[a.]
+        \item $$f:x\mapsto \frac{5x+2}{10x+4}$$
+        \item $$g:x\mapsto \frac{3x-3}{x}$$
+        \item $$h:x\mapsto \frac{3}{7x-2}$$
+    \end{enumerate}
+\end{Exo}
+
+\begin{Exo}(4points)\\
+    Résoudre graphiquement les inéquations suivantes
+    \begin{enumerate}[a.]
+        \item $\dfrac{1}{x} > 2$
+            \begin{center}
+                \includegraphics{fig/inverse}
+            \end{center}
+            \clearpage
+        \item $\dfrac{1}{x} \leq 1$
+            \begin{center}
+            \includegraphics{fig/inverse}
+            \end{center}
+    \end{enumerate}
+\end{Exo}
+
+\begin{Exo}(4points)\\
+    Résoudre l'équation suivante
+    \begin{eqnarray*}
+        \frac{5x-3}{x+2} =  -2
+    \end{eqnarray*}
+\end{Exo}
+
+\begin{Exo}(7points)\\
+    On veut résoudre l'inéquation suivante
+    \begin{eqnarray*}
+        \frac{3x+2}{7-2x} - 3 > 0
+    \end{eqnarray*}
+    \begin{enumerate}[a.]
+        \item Mettre la fonction $ f:x \mapsto \dfrac{3x+2}{7-2x} - 3 $ sous la forme d'une fonction homographique.
+        \item Chercher le domaine de définition de la fonction$f$.
+        \item Chercher les $x$ tel que le numérateur soit positif.
+        \item Chercher les $x$ tel que le dénominateur soit positif.
+        \item Faire le tableau de signe de $f$.
+        \item Résoudre l'inéquation suivante
+            \begin{eqnarray*}
+                \frac{3x+2}{7-2x} - 3 > 0
+            \end{eqnarray*}
+    \end{enumerate}
+    
+\end{Exo}
+
+\clearpage
+
+\begin{Exo}(Bonus)
+    Pour ça pièce de théâtre, le metteur en scène a besoin d'un grand arbre de 4m de haut en ombre chinoise. Pour cela, il possède un un patron miniature de cet arbre mesurant 1m qu'il va éclairé avec une lampe. Cet arbre miniature est fixé à 5m de la toile. Voila le schéma de l'installation.
+
+    \begin{center}
+    \includegraphics[scale=0.7]{fig/sapinbis}
+    \end{center}
+
+    Aidons le à placer la lampe à la bonne distance de l'arbre miniature (on note cette distance $x$) pour avoir la taille de l'ombre souhaitée (4m).
+    \begin{enumerate}
+        \item Montrer, en utilisant le théorème de Thales(on supposera que l'arbre miniature et la toile sont parallèles), que la taille de l'ombre (notée $CD$) vérifie cette égalité
+            \begin{eqnarray*}
+                CD = \frac{x+5}{x}
+            \end{eqnarray*}
+        \item À quelle distance le metteur en scène doit-il placer la lampe pour que l'ombre fasse 4m?
+    \end{enumerate}
+\end{Exo}
+
+\end{document}
+
+%%% Local Variables: 
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "master"
+%%% End:
+

2nd/DS/DS_130207/DS_fct_homog_corr.tex

@@ -0,0 +1,181 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}
+\usepackage{variations}
+
+% Title Page
+\title{Devoir surveillé: fonctions homographiques\\ Correction}
+\author{}
+\date{6 fervrier 2013}
+
+
+
+\fancyhead[L]{$2^{nd}12$ Correction}
+
+
+\begin{document}
+\maketitle
+\thispagestyle{fancy}
+
+\begin{Exo}
+    \begin{enumerate}[a.]
+        \item Vérifions si $f:x\mapsto \dfrac{5x+2}{10x+4}$ est une fonction homographique.
+            \begin{eqnarray*}
+                &c = 10 \neq 0 \\
+                &ad-bc = 5\times4 - 2\times10 = 20 - 20 = 0
+            \end{eqnarray*}
+            Donc $f$ n'est pas une fonction homographique.
+        \item Vérifions si $g:x\mapsto \dfrac{3x-3}{x}$ est une fonction homographique.
+            \begin{eqnarray*}
+                &c = 1 \neq 0 \\
+                &ad-bc = 3\times0 - (-3) \times 1 = 0 + 3 = 3 \neq 0
+            \end{eqnarray*}
+            Donc $g$ est une fonction homographique.
+
+            On cherche la valeur interdite
+            \begin{eqnarray*}
+                x = 0
+            \end{eqnarray*}
+            0 est une valeur interdite, donc le domaine de définition est
+            \begin{eqnarray*}
+            D_g = ]\; -\infty \; ;\; 0[\cup]\; 0 \; ; \; +\infty [
+            \end{eqnarray*}
+        \item Vérifions si $h:x\mapsto \dfrac{3}{7x-4}$ est une fonction homographique.
+            \begin{eqnarray*}
+                &c = 7 \neq 0 \\
+                &ad-bc = 0\times(-4) - 3 \times 7 = 0 - 21 = -21 \neq 0
+            \end{eqnarray*}
+            Donc $h$ est une fonction homographique.
+
+            On cherche la valeur interdite
+            \begin{eqnarray*}
+                7x-4 = 0 &\equiv& 7x = 4\\
+                &\equiv& x = \frac{4}{7}
+            \end{eqnarray*}
+            $\dfrac{4}{7}$ est une valeur interdite, donc le domaine de définition est
+            \begin{eqnarray*}
+            D_h = ]\; -\infty \; ;\; \frac{4}{7}[\cup]\; \frac{4}{7} \; ; \; +\infty [
+            \end{eqnarray*}
+
+
+    \end{enumerate}
+\end{Exo}
+
+\begin{Exo}
+    \begin{enumerate}[a.]
+        \item On veut résoudre graphiquement $\dfrac{1}{x} > 2$.
+            \begin{center}
+                \includegraphics{fig/inverse_sup2}
+            \end{center}
+            L'antécédent de $2$ par la fonction inverse est $\dfrac{1}{2}$.
+
+            Donc les solutions de cette inéquation sont
+            \begin{eqnarray*}
+                x \in ] \; 0 \; ; \; \frac{1}{2} \; [
+            \end{eqnarray*}
+        \item $\dfrac{1}{x} \leq 1$
+            \begin{center}
+            \includegraphics{fig/inverse_inf1}
+            \end{center}
+            L'antécédent de $1$ par la fonction inverse est $1$.
+
+            Donc les solutions de cette inéquation sont
+            \begin{eqnarray*}
+                x \in ] \; -\infty \; ; \; 0 \; [ \cup [\;1\; ; \; +\infty\;[
+            \end{eqnarray*}
+    \end{enumerate}
+\end{Exo}
+
+\begin{Exo}
+    Résolution de l'équation.
+
+    On commence par mettre au même dénominateur.
+    \begin{eqnarray*}
+        \frac{5x-3}{x+2} = -2 &\equiv& (x+2) \times \frac{5x-3}{x+2} = -2 \times (x+2) \\
+        \mbox{On simplifie} &\equiv& 5x-3 = -2(2+x) \\
+        \mbox{On développe}&\equiv& 5x-3 = -4 - 2x \\
+        \mbox{On range les éléments} &\equiv& 5x + 2x = -4 + 3 \\
+        &\equiv& 7x = -1\\
+        &\equiv& x = \frac{-1}{7}
+    \end{eqnarray*}
+
+    On vérifie que $\dfrac{-1}{7}$ n'est pas une valeur interdite.
+    \begin{eqnarray*}
+        \frac{-1}{7} + 2 &=& \frac{-1}{7} + \frac{2\times 7}{7}\\
+        &=& \frac{-1 + 14}{7} \\
+        &=& \frac{13}{7} \neq 0
+    \end{eqnarray*}
+    Donc la solution de l'équation est $\dfrac{-1}{7}$.
+\end{Exo}
+
+\begin{Exo}
+    \begin{enumerate}[a.]
+        \item On met la fonction $ f:x \mapsto \dfrac{3x+2}{7-2x} - 3 $ sous la forme d'une fonction homographique.
+            
+            On commence par mettre au même dénominateur.
+            \begin{eqnarray*}
+                f(x) = \dfrac{3x+2}{7-2x} - 3 &=& \dfrac{3x+2}{7-2x} - 3 \times \dfrac{7-2x}{7-2x}\\
+                \mbox{On met sur la même barre de fraction}&=& \frac{3x+2 - 3(7-2x)}{7-2x} \\
+                \mbox{On développe} &=& \frac{3x - 3\times(-2x) + 2 - 3\times 7}{7-2x} \\
+                &=& \frac{9x -19}{7-2x}
+            \end{eqnarray*}
+            On vérifie que c'est une fonction homographique:
+            \begin{eqnarray*}
+                &c = -2 \neq 0 \\
+                & ad-bc = 9 \times 7 - (-19) \times (-2) = 63 - 38 = 35 \neq 0
+            \end{eqnarray*}
+            $f$ est donc une fonction homographique.
+
+        \item Domaine de définition de la fonction $f$.
+
+            On cherche quand le dénominateur s'annule.
+            \begin{eqnarray*}
+                7-2x = 0 &\equiv& 7 = 2x \\
+                &\equiv& x = \frac{7}{2}
+            \end{eqnarray*}
+            Donc le domaine de définition de $f$ est
+            \begin{eqnarray*}
+            D_f = ]\;-\infty\; ; \;\frac{7}{2}\;[ \cup ]\frac{7}{2}\; ; \; +\infty \;[
+            \end{eqnarray*}
+        \item On cherche les $x$ tel que le numérateur soit positif.
+            \begin{eqnarray*}
+            9x - 19 > 0 &\equiv& 9x > 19 \\
+            \mbox{9 est positif}&\equiv& x > \frac{19}{9}
+            \end{eqnarray*}
+            Donc le numérateur est positif quand $x$ est plus grand que $\dfrac{19}{9}$.
+
+        \item On chercher les $x$ tel que le dénominateur soit positif.
+            \begin{eqnarray*}
+               7-2x > 0 &\equiv& -2x > -7 \\
+               \mbox{-2 est négatif} &\equiv& x < \frac{-7}{-2} = \frac{7}{2}
+            \end{eqnarray*}
+            Donc le dénominateur est positif quand $x$ est plus petit que $\dfrac{7}{2}$.
+        \item Tableau de signe de $f$.
+        
+            On complète le tableau de signe avec les résultats que l'on vient de trouver.
+
+                \begin{center}
+                \begin{variations}
+                    x               &   \mI &   &   \frac{19}{9} &\quad&  &\quad& \frac{7}{2}    &   &   \pI \\
+                    \filet
+                    9x-19            &    \ga-   &        \z      &\quad&+ &\quad&   \bb  &\dr+  &       \\
+                    \filet
+                    7-2x             &    \ga+   &       \l       &\quad& + &\quad&   \bb  &\dr-  &       \\
+                    \filet
+                    f(x)            &    \ga- &       \z       &\quad&+ &\quad&   \bb  &\dr-  &\\
+                \end{variations}
+                \end{center}
+        \item Résoudre l'équation $\dfrac{3x+2}{7-2x} - 3 > 0$, par la question a. revient à résoudre $f(x) > 0$. Donc on regarde où il y a des '+' dans le tableau de signe. Et on déduit les solutions de cette équation
+            \begin{eqnarray*}
+                x \in ]\:\frac{19}{9} \; ; \; \frac{7}{2} \; [
+            \end{eqnarray*}
+                
+    \end{enumerate}
+    
+\end{Exo}
+
+\end{document}
+
+%%% Local Variables: 
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "master"
+%%% End:
+

2nd/DS/DS_130207/fig/inverse.tex

@@ -0,0 +1,6 @@
+\begin{pspicture}(-5,-5)(5,5)
+\psset{xunit=1 cm, algebraic=true}
+\psaxes{->}(0,0)(-5,-5)(5,5)
+\psplot[linecolor=black,linewidth=1.5pt]{-5}{-0.2}{1/x}
+\psplot[linecolor=black,linewidth=1.5pt]{0.2}{5}{1/x}
+\end{pspicture}

2nd/DS/DS_130207/fig/inverse_inf1.tex

@@ -0,0 +1,31 @@
+\begin{pspicture}(-5,-5)(5,5)
+\psset{xunit=1 cm, algebraic=true}
+\psaxes{->}(0,0)(-5,-5)(5,5)
+
+% Trouver antécédents
+\psline[linecolor=green,linewidth=1pt]{-}(0,1)(1,1)
+\psline[linecolor=green,linewidth=1pt]{-}(1,1)(1,0)
+\psline[linecolor=green,linewidth=1pt]{-}(0,0.5)(2,0.5)
+\psline[linecolor=green,linewidth=1pt]{-}(2,0.5)(2,0)
+\psline[linecolor=green,linewidth=1pt]{-}(0,0.25)(4,0.25)
+\psline[linecolor=green,linewidth=1pt]{-}(4,0.25)(4,0)
+
+\psline[linecolor=green,linewidth=1pt]{-}(0,-1)(-1,-1)
+\psline[linecolor=green,linewidth=1pt]{-}(-1,-1)(-1,0)
+\psline[linecolor=green,linewidth=1pt]{-}(0,-0.5)(-2,-0.5)
+\psline[linecolor=green,linewidth=1pt]{-}(-2,-0.5)(-2,0)
+\psline[linecolor=green,linewidth=1pt]{-}(0,-4)(-0.24,-4)
+\psline[linecolor=green,linewidth=1pt]{-}(-0.25,-4)(-0.25,0)
+
+% Images
+\psline[linecolor=red,linewidth=1.5pt]{-}(0,1)(0,-4.8)
+
+%antécédents
+\psline[linecolor=red,linewidth=2pt]{-}(1,0)(4.8,0)
+\psline[linecolor=red,linewidth=2pt]{-}(0,0)(-4.8,0)
+
+% la fonction inverse
+\psplot[linecolor=black,linewidth=1.5pt]{-5}{-0.2}{1/x}
+\psplot[linecolor=black,linewidth=1.5pt]{0.2}{5}{1/x}
+
+\end{pspicture}

2nd/DS/DS_130207/fig/inverse_sup2.tex

@@ -0,0 +1,23 @@
+\begin{pspicture}(-2,-2)(5,5)
+\psset{xunit=1 cm, algebraic=true}
+\psaxes{->}(0,0)(-2,-2)(5,5)
+
+% Trouver antécédents
+\psline[linecolor=green,linewidth=1pt]{-}(0,2)(0.5,2)
+\psline[linecolor=green,linewidth=1pt]{-}(0.5,2)(0.5,0)
+\psline[linecolor=green,linewidth=1pt]{-}(0,3)(0.3,3)
+\psline[linecolor=green,linewidth=1pt]{-}(0.3,3)(0.3,0)
+\psline[linecolor=green,linewidth=1pt]{-}(0,4)(0.2,4)
+\psline[linecolor=green,linewidth=1pt]{-}(0.2,4)(0.2,0)
+
+% Images
+\psline[linecolor=red,linewidth=1.5pt]{-}(0,2)(0,4.8)
+
+%antécédents
+\psline[linecolor=red,linewidth=2pt]{-}(0,0)(0.5,0)
+
+% la fonction inverse
+\psplot[linecolor=black,linewidth=1.5pt]{-2}{-0.2}{1/x}
+\psplot[linecolor=black,linewidth=1.5pt]{0.2}{5}{1/x}
+
+\end{pspicture}

2nd/DS/DS_130207/fig/pstricks.sh

@@ -0,0 +1,25 @@
+#!/bin/sh
+# on enlève l’extension du 1er argument
+FILE=${1%.*}
+TMPFILE=pstemp
+# création d’un fichier temporaire psttemp.tex
+cat > $TMPFILE.tex <<EOF
+    \documentclass{article}
+    \usepackage{pstricks}
+    \usepackage{pstricks-add}
+    \usepackage{pst-eps}
+    \thispagestyle{empty}
+    \begin{document}
+    \begin{TeXtoEPS}
+    \input{$FILE}
+    \end{TeXtoEPS}
+    \end{document}
+EOF
+# Création du fichier dvi
+latex $TMPFILE
+# Création du fichier eps
+dvips -E $TMPFILE.dvi -o $TMPFILE.eps
+# Création du fichier pdf
+epstopdf $TMPFILE.eps --debug --outfile=$FILE.pdf
+# effacement des fichiers temporaires
+rm -f $TMPFILE.*

2nd/DS/DS_130207/index.rst

@@ -0,0 +1,33 @@
+Notes sur DS 130207
+###################
+
+:date: 2013-07-01
+:modified: 2013-07-01
+:tags: DS, Fonctions
+:category: 2nd
+:authors: Benjamin Bertrand
+:summary: Pas de résumé, note créée automatiquement parce que je ne l'avais pas bien fait...
+
+
+
+    `Lien vers DS_fct_homog.pdf <DS_fct_homog.pdf>`_
+
+    `Lien vers DS_fct_homog.tex <DS_fct_homog.tex>`_
+
+    `Lien vers DS_fct_homog_corr.tex <DS_fct_homog_corr.tex>`_
+
+    `Lien vers DS_fct_homog_corr.pdf <DS_fct_homog_corr.pdf>`_
+
+    `Lien vers fig/inverse_inf1.pdf <fig/inverse_inf1.pdf>`_
+
+    `Lien vers fig/inverse_sup2.tex <fig/inverse_sup2.tex>`_
+
+    `Lien vers fig/inverse_inf1.tex <fig/inverse_inf1.tex>`_
+
+    `Lien vers fig/inverse.pdf <fig/inverse.pdf>`_
+
+    `Lien vers fig/inverse_sup2.pdf <fig/inverse_sup2.pdf>`_
+
+    `Lien vers fig/inverse.tex <fig/inverse.tex>`_
+
+    `Lien vers fig/sapinbis.png <fig/sapinbis.png>`_