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\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}
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% Title Page
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\title{Devoir surveillé: Vecteurs}
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||||
\author{}
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\date{29 mars 2013}
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||||
\fancyhead[L]{$2^{\mbox{nd}} 12$ : \Thetitle}
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||||
\begin{document}
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||||
\maketitle
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||||
\thispagestyle{fancy}
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||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. Tout début de raisonnement sera valorisé.
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||||
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||||
\begin{Exo}(6points)\\
|
||||
% Dessins, placer des points, Chasles
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[scale=0.5]{fig/dessin_exo1}
|
||||
\end{center}
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||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Construire les points $E$, $F$ et $G$ et $H$ définis par :
|
||||
\begin{eqnarray*}
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||||
\vec{AE}=\vec{AB}+\vec{AC}; \qquad \vec{BF}=\vec{BC}-\vec{BA}; \qquad
|
||||
\vec{AG}=\frac{1}{2}\vec{BC}+\vec{CA}; \qquad \vec{CH}=-\vec{BA}+2\vec{CA}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item Le point $I$ est défini par :
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\vec{AI}+\vec{BI}=\vec{AB}-2\vec{BC}
|
||||
\end{eqnarray*}
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||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Écrire la relation de Chasles pour le vecteur $\vec{BI}$ en passant par $A$.
|
||||
\item En utilisant la question précédente, exprimer le vecteur $\vec{AI}$ en fonction de $\vec{AB}$ et $\vec{BC}$ uniquement.
|
||||
\item Placer $I$.
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{Exo}
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||||
\begin{Exo}(6 points) \\
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||||
% Colinéarité et trouver les points tels que ...
|
||||
On se place dans un repére $(O; \vec{i}, \vec{j})$.
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||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item On considère les points $A(4,-1)$, $B(7,1)$, $C\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{3} \right)$ et $D\left( 1,\dfrac{2}{3} \right)$.\par
|
||||
Montrer que $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.
|
||||
|
||||
\item On considère les points $E(2t,2)$, $F(t,4)$ et $G(3,2)$.\par
|
||||
Déterminer $t$ pour que $E$, $F$ et $G$ soient alignés.
|
||||
|
||||
\item On considère les points $H(-2,0)$, $I(2t,t-1)$ et $J(4t+4,2t+1)$.\par
|
||||
Démontrer que, quelle que soit la valeur de $t$, $H$, $I$ et $J$ sont alignés.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\end{Exo}
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||||
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||||
\begin{Exo}(8 points) \\
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||||
% Coordonnées de vecteurs, parallélogramme, alignement, coordonnées de points
|
||||
Dans un repère $(O; \vec{i}, \vec{j})$ on considère les points $A(2,1)$, $B(1,-1)$ et $C(5,0)$.
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||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Faire le dessin sur sa feuille et place au fur et à mesure les points dont il est question dessus.
|
||||
\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.
|
||||
\item Calculer les coordonnées de $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.
|
||||
\item Calculer les coordonnées de $F$ tel que $\vec{AF} = \dfrac{3}{2} \vec{AC} + \dfrac{1}{2} \vec{BA}$.
|
||||
%\item Démontrer que $B$, $C$ et $F$ sont alignés.
|
||||
\item Calculer les coordonnées de $G$ tel que $\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0}$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
|
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||||
\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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BIN
2nd/DS/DS_130329/DS_vecteur_corr.pdf
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2nd/DS/DS_130329/DS_vecteur_corr.pdf
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200
2nd/DS/DS_130329/DS_vecteur_corr.tex
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@@ -0,0 +1,200 @@
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\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}
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% Title Page
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||||
\title{Devoir surveillé: Vecteurs}
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||||
\author{}
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\date{29 mars 2013}
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||||
\fancyhead[L]{$2^{\mbox{nd}} 12$ : \Thetitle}
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||||
\newcommand{\coord}[2]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2 \end{pmatrix}}
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||||
\begin{document}
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||||
\maketitle
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||||
\thispagestyle{fancy}
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||||
|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. Tout début de raisonnement sera valorisé.
|
||||
|
||||
\begin{Exo}(6points)\\
|
||||
% Dessins, placer des points, Chasles
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[scale=0.9]{fig/dessin_exo1_corr}
|
||||
\end{center}
|
||||
\item \begin{enumerate}
|
||||
\item Relation de Chasles pour $\vec{BI}$ en passant par $A$
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||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\vec{BI} = \vec{BA} + \vec{AI}
|
||||
\end{eqnarray*}
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||||
\item Exprimons $\vec{AI}$ en fonction de $\vec{AB}$ et $\vec{BC}$. On sait que
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\vec{AI} + \vec{BI} = \vec{AB} - 2\vec{BC}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Donc en utilisant la question précédente
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
\vec{AI} + \vec{BA} + \vec{AI} = \vec{AB} - 2\vec{BC}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Donc
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||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
2\vec{AI} &=& \vec{AB} - 2\vec{BC} - \vec{BA}\\
|
||||
&=& \vec{AB} - 2\vec{BC} + \vec{AB} \\
|
||||
&=& 2\vec{AB} - 2\vec{BC}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
D'où finalement
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\vec{AI} = \vec{AB} - \vec{BC}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item Voir dessin
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||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
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||||
\begin{Exo}(6 points) \\
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||||
% Colinéarité et trouver les points tels que ...
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculons les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\vec{AB} = \coord{x_B - x_A}{y_B - y_A} = \coord{7 - 4}{1 - (-1)} = \coord{3}{2} \\
|
||||
\vec{CD} = \coord{x_D - x_C}{y_D - y_C} = \coord{1 - \frac{1}{2}}{\frac{2}{3} - \frac{1}{3}} = \coord{\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}}
|
||||
\end{eqnarray*}
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||||
Pour montrer que $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles, il suffit de montrer que les vecteurs sont colinéaires.
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
3 \times \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \times 2 = 1 - 1 = 0
|
||||
\end{eqnarray*}
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||||
Les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont colinéaires donc les droites sont parallèles.
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||||
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||||
\item $E$, $F$ et $G$ sont alingés si et seulement si $\vec{EF}$ et $\vec{EG}$ sont colinéaires. Calculons les coordonnées de ces vecteurs
|
||||
\begin{eqnarray*}
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||||
\vec{EF} = \coord{x_F - x_E}{y_F - y_E} = \coord{t - 2t}{4 - 2} = \coord{-t}{2} \\
|
||||
\vec{EG} = \coord{x_G - x_E}{y_G - y_E} = \coord{3 - 2t}{2 - 2} = \coord{3-2t}{0}
|
||||
\end{eqnarray*}
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||||
Les vecteurs sont colinéaires si et seulement si le produit en croix est égal à 0
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
-t \times 0 - (3-2t)\times 2 = O &\equiv& 3-2t = 0 \\
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||||
&\equiv& 2t = 3\\
|
||||
&\equiv& t = \frac{3}{2}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Donc les points sont alignés si et seulement si $f = \frac{3}{2}$.
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||||
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||||
\item Pour montrer que les points sont alignés, il faut montrer que les vecteurs $\vec{HI}$ et $\vec{HJ}$ sont colinéaires. Calculons les coordonnées des ces vecteurs.
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
\vec{HI} = \coord{x_I - x_H}{y_I - y_H} = \coord{2t -(-2)}{t-1 - 0} = \coord{2t+2}{t-1} \\
|
||||
\vec{HJ} = \coord{x_J - x_H}{y_J - y_H} = \coord{4t + 4 -(-2)}{2t+1 - 0} = \coord{4t+6}{2t+1}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Pour que ces vecteurs soient colinéaires, il faut que leurs coordonnées soient proportionnelles.
|
||||
\begin{eqnarray*}
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||||
(2t+2)(2t+1) - (4t+6)(t-1) = 0 &\equiv& (4t^2 + 2t + 4t + 2)-(4t^2 + 6t - 4t -6) = 0 \\
|
||||
&\equiv& 4t + 8 = 0\\
|
||||
&\equiv& t = -2\\
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Pour que les points soient alignés, il faut que $t = -2$.
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||||
\note{Effectivement il y avait une erreur dans le sujet. J'en ai pris compte dans la notation}
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||||
\end{enumerate}
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||||
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||||
\end{Exo}
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||||
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||||
\begin{Exo}(8 points) \\
|
||||
% Coordonnées de vecteurs, parallélogramme, alignement, coordonnées de points
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\item Coordonnées de $\vec{AB}$
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\vec{AB} = \coord{x_B - x_A}{y_B - y_A} = \coord{1-2}{-1-1} = \coord{-1}{-2} \\
|
||||
\vec{AC} = \coord{x_C - x_A}{y_C - y_A} = \coord{5-2}{0-1} = \coord{3}{-1}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item On note $D(x_D;y_D)$ les coordonnées de $D$.
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||||
|
||||
Determinons $x_D$ et $y_D$ pour que $ABCD$ soit un parallélogramme.
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||||
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||||
$ABCD$ est un parallélogramme si et seulement si $\vec{AB} = \vec{DC}$. Calculons les coordonnées de $\vec{DC}$ en fonction de $x_D$ et $y_D$.
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||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\vec{DC} = \coord{x_C - x_D}{y_C - y_D} = \coord{5-x_D}{0 - y_D}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
On a donc
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\vec{AB} = \vec{DC} &\equiv& \coord{-1}{-2} = \coord{5-x_D}{-y_D} \\
|
||||
&\equiv& \left\{
|
||||
\begin{array}{lcr}
|
||||
-1 &=& 5-x_D \\ -2 = -y_D
|
||||
\end{array}
|
||||
\right.\\
|
||||
&\equiv& \left\{
|
||||
\begin{array}{lcr}
|
||||
x_D = 6 \\ y_D =2
|
||||
\end{array}
|
||||
\right.
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Donc pour que $ABCD$ soit un parallélogramme, il faut que $D$ ai pour coordonnées $(6;2)$.
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||||
\item Calculons les coordonnées de $\vec{AC}$.
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\vec{AC} = \coord{x_C - x_A}{y_C - y_A} = \coord{5 - 2}{0 - 1} = \coord{3}{-1}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
On cheche les coordonnées de $F$ tel que
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\vec{AF} = \frac{3}{2} \vec{AC} + \frac{1}{2} \vec{BA}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Or
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||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\frac{3}{2} \vec{AC} + \frac{1}{2} \vec{BA} &=& \frac{3}{2} \vec{AC} - \frac{1}{2} \vec{AB} \\
|
||||
&=& \frac{3}{2} \coord{3}{-1} - \frac{1}{2} \coord{-1}{-2} \\
|
||||
&=& \coord{\frac{3}{2} \times 3}{\frac{3}{2} \times (-1)} - \coord{\frac{1}{2} \times -1}{\frac{1}{2} \times (-2)}\\
|
||||
&=& \coord{\frac{10}{2}}{\frac{-1}{2}} \\
|
||||
&=&\coord{5}{\frac{-1}{2}}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
De plus
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\vec{AF} = \coord{x_F - x_A}{y_F - y_A} = \coord{x_F - 2}{y_F - 1}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Donc finalement
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\coord{x_F - 2}{y_F - 1} = \coord{4}{\frac{-1}{2}} &\equiv& \left\{
|
||||
\begin{array}{lcr}
|
||||
x_F - 2 = 5 \\ y_F - 1 = \frac{-1}{2}
|
||||
\end{array}
|
||||
\right.\\
|
||||
&\equiv& \left\{
|
||||
\begin{array}{lcr}
|
||||
x_F = 7 \\ y_F = \frac{1}{2}
|
||||
\end{array}
|
||||
\right.
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Donc $F$ a pour coordonnées $(7; \dfrac{1}{2})$.
|
||||
\item Calculons les coordonnées des vecteurs $\vec{GA}$, $\vec{GB}$ et $\vec{BC}$.
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\vec{GA} = \coord{2 - x_G}{1 - y_G} \quad \vec{GB} = \coord{1 - x_G}{-1 - y_G} \quad \vec{BC} = \coord{5 - x_G}{0 - y_G}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Comme les coordonnées de $\vec{0}$ sont $\coord{0}{0}$ on a donc
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\left\{
|
||||
\begin{array}{lcr}
|
||||
2-x_G + 1 - x_G + 5 - x_G = 0 \\ 1 - y_G -1 - y_G - y_G = 0
|
||||
\end{array}
|
||||
\right.
|
||||
&\equiv&
|
||||
\left\{
|
||||
\begin{array}{lcr}
|
||||
8 = 3x_G \\ 3y_G = 0
|
||||
\end{array}
|
||||
\right.\\
|
||||
&\equiv&
|
||||
\left\{
|
||||
\begin{array}{lcr}
|
||||
x_G = \frac{8}{3}\\ y_G = 0
|
||||
\end{array}
|
||||
\right.
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Donc le point $G$ a pour coordonnées $(\frac{8}{3}; 0)$
|
||||
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{Exo}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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@@ -0,0 +1,23 @@
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||||
\begin{pspicture}*(-10,-5)(10,10)
|
||||
\psgrid[griddots=10, gridcolor=gray, subgriddiv =0](-10,-5)(10,10)
|
||||
|
||||
|
||||
\psdot(-3,-2)
|
||||
\uput[d](-3,-2){$A$}
|
||||
\psdot(0,3)
|
||||
\uput[u](0,3){$B$}
|
||||
\psdot(4,-1)
|
||||
\uput[d](4,-1){$C$}
|
||||
|
||||
%\psline[arrowsize=4pt 3]{->}(-5,1)(1,2)
|
||||
%\uput[u](-2,1.5){$\vec{AB}$}
|
||||
%\psline[arrowsize=4pt 3]{->}(-5,1)(-1,-2)
|
||||
%\uput[dl](-3,-0.5){$\vec{AC}$}
|
||||
%\psline[arrowsize=4pt 3]{->}(-5,1)(5,-1)
|
||||
%\uput[u](0,0){$\vec{AD}$}
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\end{pspicture}
|
||||
BIN
2nd/DS/DS_130329/fig/dessin_exo1_corr.pdf
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2nd/DS/DS_130329/fig/dessin_exo1_corr.pdf
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75
2nd/DS/DS_130329/fig/dessin_exo1_corr.tex
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2nd/DS/DS_130329/fig/dessin_exo1_corr.tex
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@@ -0,0 +1,75 @@
|
||||
\begin{pspicture}*(-10,-6)(10,10)
|
||||
\psgrid[griddots=10, gridcolor=gray, subgriddiv =0](-10,-6)(10,10)
|
||||
|
||||
% \psdot(0,0)
|
||||
% \uput[u](0,0){$O$}
|
||||
|
||||
\psdot(-3,-2)
|
||||
\uput[d](-3,-2){$A$}
|
||||
\psdot(0,3)
|
||||
\uput[u](0,3){$B$}
|
||||
\psdot(4,-1)
|
||||
\uput[d](4,-1){$C$}
|
||||
|
||||
\psdot(7,4)
|
||||
\uput[u](7,4){$E$}
|
||||
|
||||
% AE = AB + AC
|
||||
\uput[u](-2,0.5){$\vec{AB}$}
|
||||
\psline[arrowsize=4pt 3]{->}(-3,-2)(0,3)
|
||||
\uput[u](3.5,3.5){$\vec{AC}$}
|
||||
\psline[arrowsize=4pt 3]{->}(0,3)(7,4)
|
||||
\uput[u](2,1){$\vec{AE}$}
|
||||
\psline[arrowsize=4pt 3]{->}(-3,-2)(7,4)
|
||||
|
||||
% BF = BC - BA
|
||||
\uput[d](2,1){$\blue \vec{BC}$}
|
||||
\psline[arrowsize=4pt 3,linecolor = blue]{->}(0,3)(4,-1)
|
||||
\uput[r](5.5,2){$\blue -\vec{BA}$}
|
||||
\psline[arrowsize=4pt 3,linecolor = blue]{->}(4,-1)(7,4)
|
||||
\uput[d](3.5,3.5){$\blue \vec{BF}$}
|
||||
\psline[arrowsize=4pt 3,linecolor = blue]{->}(0,3)(7,4)
|
||||
\uput[r](7,4){$F$}
|
||||
|
||||
% AG = 1/2BC + CA
|
||||
\uput[dl](-2,-3){$\red \frac{1}{2}\vec{BC}$}
|
||||
\psline[arrowsize=4pt 3,linecolor = red]{->}(-3,-2)(-1,-4)
|
||||
\uput[d](-4.5,-4.5){$\red \vec{CA}$}
|
||||
\psline[arrowsize=4pt 3,linecolor = red]{->}(-1,-4)(-8,-5)
|
||||
\uput[u](-5.5,-3.5){$\red \vec{AG}$}
|
||||
\psline[arrowsize=4pt 3,linecolor = red]{->}(-3,-2)(-8,-5)
|
||||
\psdot(-8,-5)
|
||||
\uput[u](-8,-5){$G$}
|
||||
|
||||
% CH = -BA + 2CA
|
||||
\uput[dr](5.5,1.5){$\green -\vec{BA}$}
|
||||
\psline[arrowsize=4pt 3,linecolor = green]{->}(4,-1)(7,4)
|
||||
\uput[u](-2,3){$\green 2\vec{CA}$}
|
||||
\psline[arrowsize=4pt 3,linecolor = green]{->}(7,4)(-7,2)
|
||||
\uput[d](-1,0.5){$\green \vec{CH}$}
|
||||
\psline[arrowsize=4pt 3,linecolor = green]{->}(4,-1)(-7,2)
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||||
\psdot(-7,2)
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||||
\uput[l](-7,2){$H$}
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||||
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||||
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||||
% AI = AB - BC
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||||
\psline[arrowsize=4pt 3,linecolor = gray]{->}(-3,-2)(0,3)
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||||
\uput[u](-2,5.5){$\gray -\vec{BC}$}
|
||||
\psline[arrowsize=4pt 3,linecolor = gray]{->}(0,3)(-4,7)
|
||||
\uput[l](-3.5,2.5){$\gray \vec{AI}$}
|
||||
\psline[arrowsize=4pt 3,linecolor = gray]{->}(-3,-2)(-4,7)
|
||||
\psdot(-4,7)
|
||||
\uput[l](-4,7){$H$}
|
||||
|
||||
%\psline[arrowsize=4pt 3]{->}(-5,1)(1,2)
|
||||
%\uput[u](-2,1.5){$\vec{AB}$}
|
||||
%\psline[arrowsize=4pt 3]{->}(-5,1)(-1,-2)
|
||||
%\uput[dl](-3,-0.5){$\vec{AC}$}
|
||||
%\psline[arrowsize=4pt 3]{->}(-5,1)(5,-1)
|
||||
%\uput[u](0,0){$\vec{AD}$}
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||||
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||||
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||||
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||||
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||||
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||||
\end{pspicture}
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||||
25
2nd/DS/DS_130329/fig/pstricks.sh
Executable file
25
2nd/DS/DS_130329/fig/pstricks.sh
Executable file
@@ -0,0 +1,25 @@
|
||||
#!/bin/sh
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||||
# on enlève l’extension du 1er argument
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FILE=${1%.*}
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||||
TMPFILE=pstemp
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||||
# création d’un fichier temporaire psttemp.tex
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||||
cat > $TMPFILE.tex <<EOF
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||||
\documentclass{article}
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||||
\usepackage{pstricks}
|
||||
\usepackage{pstricks-add}
|
||||
\usepackage{pst-eps}
|
||||
\thispagestyle{empty}
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||||
\begin{document}
|
||||
\begin{TeXtoEPS}
|
||||
\input{$FILE}
|
||||
\end{TeXtoEPS}
|
||||
\end{document}
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||||
EOF
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||||
# Création du fichier dvi
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||||
latex $TMPFILE
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||||
# Création du fichier eps
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||||
dvips -E $TMPFILE.dvi -o $TMPFILE.eps
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||||
# Création du fichier pdf
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||||
epstopdf $TMPFILE.eps --debug --outfile=$FILE.pdf
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||||
# effacement des fichiers temporaires
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||||
rm -f $TMPFILE.*
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||||
27
2nd/DS/DS_130329/index.rst
Normal file
27
2nd/DS/DS_130329/index.rst
Normal file
@@ -0,0 +1,27 @@
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||||
Notes sur DS 130329
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###################
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||||
:date: 2013-07-01
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||||
:modified: 2013-07-01
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||||
:tags: DS, Vecteurs, Géométrie
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||||
:category: 2nd
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||||
:authors: Benjamin Bertrand
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||||
:summary: Pas de résumé, note créée automatiquement parce que je ne l'avais pas bien fait...
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`Lien vers DS_vecteur.tex <DS_vecteur.tex>`_
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`Lien vers DS_vecteur.pdf <DS_vecteur.pdf>`_
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||||
`Lien vers DS_vecteur_corr.tex <DS_vecteur_corr.tex>`_
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||||
`Lien vers DS_vecteur_corr.pdf <DS_vecteur_corr.pdf>`_
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||||
`Lien vers fig/dessin_exo1.tex <fig/dessin_exo1.tex>`_
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||||
`Lien vers fig/dessin_exo1_corr.tex <fig/dessin_exo1_corr.tex>`_
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||||
`Lien vers fig/dessin_exo1_corr.pdf <fig/dessin_exo1_corr.pdf>`_
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`Lien vers fig/dessin_exo1.pdf <fig/dessin_exo1.pdf>`_
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