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\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2012-2013/tools/style/classDS}
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% Title Page
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\title{Devoir surveillé: Trigonométrie Correction}
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\author{}
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\date{2 juin 2013}
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\fancyhead[L]{$2^{\mbox{nd}}12$ : \Thetitle}
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\begin{document}
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\maketitle
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\thispagestyle{fancy}
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\begin{Exo}
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\begin{enumerate}[1.]
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\item Pour convertir les angles de degré vers radian, on utilise le tableau de proportionnalité suivant
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\begin{center}
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\begin{tabular}[h]{|c|c|c|}
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\hline
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Degré & 180 & $\alpha$ \\ \hline
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Radian & $\pi$ & $\beta$ \\ \hline
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\end{tabular}
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\end{center}
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\begin{enumerate}[a)]
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\item Convertissons 10\degree en radian
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\begin{eqnarray*}
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\frac{10 \times \pi}{180} = \frac{\pi}{18}
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\end{eqnarray*}
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\item Convertissons $\frac{720}{7}$\degree en radian
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\begin{eqnarray*}
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\frac{\frac{720}{7} \times \pi}{180} = \frac{720}{7 \times 180} \pi = \frac{4}{7}\pi
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\end{eqnarray*}
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\item Convertissons 600\degree en radian
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\begin{eqnarray*}
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\frac{600 \times \pi}{180} = \frac{10}{3}\pi
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\end{eqnarray*}
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\end{enumerate}
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\item Plaçons les points sur le cercle
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\begin{enumerate}
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\item Pour placer $a$, on convertit $\frac{2\pi}{7}$ en degré
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\begin{eqnarray*}
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\frac{\frac{2\pi}{7} \times 180}{\pi} = \frac{360}{7} \approx 51\degree
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\end{eqnarray*}
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\item
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\begin{eqnarray*}
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\frac{-45\pi}{6} = \frac{-42 - 3}{6}\pi = \frac{-42}{6} \pi + \frac{-3}{6}\pi = -7\pi - \frac{1}{2} \pi
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\end{eqnarray*}
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$-8\pi$ correspond à 4 tours dans le sens indirect.
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\item
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\begin{eqnarray*}
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\frac{18\pi}{5} = \frac{15 + 3}{5}\pi = 3\pi + \frac{3}{5}\pi
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\end{eqnarray*}
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$3\pi$ correspond à un tour et demi. Il reste à convertir $\frac{3}{5}\pi$en degré pour pouvoir placer $c$
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\begin{eqnarray*}
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\frac{\frac{3}{5}\pi\times 180}{\pi} = 108\degree
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\end{eqnarray*}
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\begin{center}
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\includegraphics{fig/exo1_2}
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\end{center}
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{Exo}
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\begin{Exo}
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\begin{enumerate}
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\item Pour résoudre l'équation $\cos(x) = \frac{-1}{2}$ avec $x \in \intFF{0}{\pi}$. On commence par surligner sur le cercle trigonométrique l'intervalle $\intFF{0}{\pi}$.
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\begin{center}
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\includegraphics{fig/exo2_1surlign}
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\end{center}
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Ensuite on repère sur l'axe des abscisses la valeur $\frac{-1}{2}$ et on identifie notre angle
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\begin{center}
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\includegraphics{fig/exo2_1repere}
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\end{center}
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On en déduit donc que la solution de l'équation est $x = \frac{2\pi}{3}$.
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\item Pour résoudre l'équation $\sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ avec $x \in \intFF{\frac{\pi}{2}}{\frac{3\pi}{2}}$. On commence par surligner sur le cercle trigonométrique l'intervalle $\intFF{\frac{\pi}{2}}{\frac{3\pi}{2}}$.
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\begin{center}
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\includegraphics{fig/exo2_2surlign}
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\end{center}
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Pour placer la valeur $\frac{\sqrt{2}}{2}$, on sait que cette valeur correspond à un angle $\frac{\pi}{4}$, donc on peut trouver $\frac{\sqrt{2}}{2}$
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\begin{center}
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\includegraphics{fig/exo2_2valeur}
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\end{center}
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On peut alors repérer l'angle solution
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\begin{center}
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\includegraphics{fig/exo2_2repere}
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\end{center}
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On en déduit donc que la solution de l'équation est $x = \frac{3\pi}{4}$.
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\end{enumerate}
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\end{Exo}
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\begin{Exo}
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\begin{enumerate}
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\item On peut calculer qu'un angle $\frac{2\pi}{3}$ correspond à un angle de 120\degree. On peut alors placer les points sur le cercle trigonométrique.
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\begin{center}
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\includegraphics{fig/exo3_fig}
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\end{center}
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Le triangle $ABC$ est un triangle équilatérale car \note{TODO}
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\item La hauteur du triangle est $[AE]$. On peut mesurer sa longueur en le découpant en
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\begin{eqnarray*}
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AE = AO + OE = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}
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\end{eqnarray*}
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Donc AE mesure $\frac{3}{2}$.
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\item Calcul de la distance BC. Pour cela, nous avons besoin des distances $BE$ et $EC$ (qui sont les mêmes). On constate que
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\begin{eqnarray*}
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BE = EC = \sin\left( \frac{2\pi}{3} \right) = \sin\left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}
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\end{eqnarray*}
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Donc
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\begin{eqnarray*}
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BC = BE + EC = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}
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\end{eqnarray*}
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\item On en déduit l'aire du triangle $ABC$
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\begin{eqnarray*}
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\mathcal{A}_{ABC} = \frac{\mbox{base}\times \mbox{hauteur}}{2} = \frac{BC \times AE}{2} = \frac{\frac{3}{2} \times \sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}
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\end{eqnarray*}
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\item Comme le triangle $ABC$ est équilatérale on en déduit le périmètre
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\begin{eqnarray*}
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\mathcal{P}_{ABC} = 3\times BC = 3\sqrt{3}
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\end{eqnarray*}
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\end{enumerate}
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\end{Exo}
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\end{document}
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