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\documentclass[10pt,a4paper]{article}
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\usepackage{/media/documents/Cours/Prof/TD_maple/2012_2013/style}
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\title{Oscillateurs}
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\author{}
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\date{}
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\begin{document}
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\maketitle
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\thispagestyle{fancy}
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Ce TD utilise des résultats présents dans le poly sur les oscillateurs. Nous ne nous intéresserons pas à la mise en place des équations. Nous porterons notre attention sur l'analyse de ces équations grâce à Maple. Voyez ce TD comme un façon de visualiser les solutions des équations que vous manipulez.
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Nous aurons besoin des deux bibliothèques suivantes: \texttt{plots} et \texttt{DEtools}. Et nous utiliserons essentiellement les deux commandes suivantes:
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\begin{itemize}
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\item \texttt{dsolve} résout formellement les équations
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\item \texttt{DEplot(eqn, vars, ranges, [CIs], linecolor = [colors], scene = [-,-], stepsize = 0.1)} (attention aux majuscules) trace directement les trajectoires (avec \texttt{scene = [t,x]}) ou les portraits de phase (avec \texttt{scene = [x,v]}).
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\end{itemize}
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\section{Oscillateur simple}
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Intéressons nous à l'équation représentant une masse reliée à un ressort
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\begin{eqnarray*}
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x'' + \omega_0^2 x = 0 &\mbox{ où }& \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} \\
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x(0) = a, x'(0)=0&&
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\end{eqnarray*}
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Jusqu'à la fin de ce TD, nous supposerons que $\omega_0 = 2\pi$.
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\begin{itemize}
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\item Résolvez et tracez les solutions de cette équation avec les conditions initiales $a = $ 1 et 2.5 (dans la suite du TD, on reprendra ces conditions initiales).
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\item Transformez l'équation du second degré en un système de deux équations du premier degré en posant $v(t) = x'(t)$ la vitesse de la masse. Le système devra avoir la forme suivante avec $a, b, c, d$ des constantes.
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\begin{eqnarray*}
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\left\{ \begin{array}{c}
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x' = ax + bv \\
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v' = cx + dv
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\end{array} \right.
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\end{eqnarray*}
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\item Tracez le portrait de phase des trajectoires $x(t),v(t)$ avec les mêmes conditions initiales.
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\item Une conjecture sur la nature de ces trajectoires? Pourquoi tournent elles dans le sens des aiguilles d'une montre? Quelle est la signification des flèches (\texttt{arrow = none} pour les désactiver)?
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\end{itemize}
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\section{Oscillateur amorti}
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On ajoute un frottement fluide au système. L'équation devient alors
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\begin{eqnarray*}
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x'' + 2h x' + \omega_0^2 x = 0 \\
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x(0) = a, x'(0)=0
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\end{eqnarray*}
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On rappelle que le comportement de ce système dépend du signe de $\Delta = h^2 - \omega_0^2$. Effectuez les questions suivantes pour les 3 cas possibles (en adaptant les valeurs de $h$ par exemple) et adaptez les paramètres pour faire apparaitre les différents comportements.
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\begin{itemize}
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\item Déterminez les solutions exactes.
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\item Essayez les fonctions \texttt{simplify} et \texttt{factor} sur les solutions.
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\item Tracez les.
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\item Tracez le portrait de phase (il faut avoir mis l'équation sous forme de système comme dans la première partie)
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\end{itemize}
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\section{Régime forcé}
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On ajoute des oscillations forcées au système. L'équation devient
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\begin{eqnarray*}
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x'' + 2h x' + \omega_0^2 x = f \sin(\omega t) \\
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x(0) = a, x'(0)=0
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\end{eqnarray*}
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\begin{itemize}
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\item Mettre en évidence la transition de phase.
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\end{itemize}
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\section{Système non linéaire (Van Der Pol)}
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Pour finir intéressons nous à l'équation suivante (que l'on retrouve dans des oscillateurs en électricité)
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\begin{eqnarray*}
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x'' - \e (1-x^2)x' + \omega_0^2 x = 0
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\end{eqnarray*}
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\begin{itemize}
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\item Essayez de résoudre cette équation avec Maple.
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\end{itemize}
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Distinguons 3 comportements différents suivant les valeurs de $\e$.
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\begin{itemize}
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\item Tracez les portraits de phase pour les valeurs de $\e$ suivante: -0.1, 0.5, 10.
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\item Que remarquez vous?
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\end{itemize}
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\end{document}
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