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\documentclass[10pt,a4paper]{article}
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\usepackage{/media/documents/Cours/Prof/TD_maple/2012_2013/style}
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\usepackage{multirow}
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\usepackage{tabularx}
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\title{Polynômes}
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\author{}
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\date{}
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\begin{document}
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\maketitle
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\thispagestyle{fancy}
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\section{Polynômes}
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\subsection{Les polynômes dans Maple}
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\begin{verbatim}
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> p := x^5 + 4x^3 - 12x + 2; # Définition d'un polynôme
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> type(p, polynom) # Tester si p est bien un polynome
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> q := x^n - 1; type(q, polynom);
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# Attention les exposants doivent être des nombres entiers
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> q := 3x^2 + 1;
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> q+p; q*p; # Les opérations sur les polynômes marchent.
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> subs(x=1,p); # Évaluer p en 1
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> f := unapply(p,x); # Transformer p en une fonction
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> degree(p); # Degré du polynôme
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> ldegree(p); # Valuation du polynôme
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> coeffs(p,x); # Avoir tous les coefficients de p
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> coeff(p,x,2); # Coefficient devant le terme x^2
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> lcoeff(p,x); # Coefficient dominant de p
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> rem(p,q,x); # Reste de la division euclidienne de p par q
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> quo(p,q,x); # Quotient de la division euclidienne de p par q
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\end{verbatim}
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\subsection{Manipulation des polynômes}
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\begin{verbatim}
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> expand(q*p); # Développer une forme factorisée
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> factor(x^2 - 1); # Factorise un polynôme.
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> factor(x^2 + 1); factor(x^2 + 1, I); # Il faut préciser dans quel corps on veut factoriser.
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> factor(x^2 - 2); factor(x^2 - 2, sqrt(2)); # Même remarque
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> factor(x^2+x+1); factor(x^2+x+1,[I,sqrt(3)]); # Encore un autre exemple
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\end{verbatim}
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\texttt{factor} factorise par défaut dans le corps de base du polynôme (celui dans lequel sont ses coefficients). Le plus souvent ce corps est $\Q$. Pour lui dire de factoriser dans un corps plus grand, il faut lui préciser les éléments à ajouter au corps (on appelle cette ``méthode'' \textbf{extension de corps}). Il n'est pas toujours facile de connaitre les éléments à ajouter pour cela, on peut utiliser \texttt{RootOf}.
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\begin{verbatim}
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> allvalues(RootOf(x^2 - 2)); # Racines de x^2 - 2
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\end{verbatim}
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On peut aussi directement se placer sur le corps $\R$ et avoir une factorisation complète mais nous n'aurons plus d'expression exacte.
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\begin{verbatim}
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> factor(x^2 - 2.0); # Factorisation complète mais approchée
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\end{verbatim}
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Pour extraire les polynômes dans une forme Factorisée, on utilisera \texttt{convert}.
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\begin{verbatim}
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> p = x^2 - 1;
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> convert(factor(p), list); # Sous forme de liste (l'ordre des facteurs est maintenu)
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> convert(factor(p), set); # Sous forme d'ensemble (ordre non maintenu et par de doublons)
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\end{verbatim}
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\begin{Exo}
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On considère le polynôme suivant $P = X^4 + X^3 + aX^2 + \sqrt{2} X + b$.
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\begin{enumerate}
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\item Déterminer $a$ et $b$ tels que $1+i$ soit une racine de $P$.
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\item Trouver tous les zéros de $P$.
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\item Factoriser $P$ dans $\R[X]$ puis dans $\C[X]$.
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\end{enumerate}
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\end{Exo}
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\begin{Exo}
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Déterminer les polynômes $P \in \R_3[X]$ tels que $P(-1) = -18$ et dont le reste de la division euclidienne par $X-1$, $X-2$ ou $X-3$ soit égale à 6
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\end{Exo}
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\begin{Exo}
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On s'intéresse aux polynômes de la forme $X^n - 1$.
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\begin{enumerate}
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\item Écrire une procédure \texttt{P} qui prend en argument \texttt{n} qui renvoie le polynôme $X^n - 1$.
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\item Factoriser dans $\Q$ les 10 premiers polynômes de cette forme. Que peut-on conjecturer sur les coefficients des facteurs? (Les facteurs sont les polynômes \textbf{cyclotomiques}).
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\item En espérant que vous ayez fait la bonne conjecture, nous allons essayer de la vérifier plus systématiquement. Écrire un procédure qui prend en argument \texttt{n} et qui renvoie l'ensemble (sans doublons) des coefficients des facteurs de $X^n - 1$.
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\item Tester votre conjecture pour $n$ allant jusqu'à 150. Que pouvez vous conclure?
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\end{enumerate}
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\end{Exo}
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\begin{Exo}
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On s'intéresse maintenant aux polynômes de Tchebichev. On rappelle que se sont les polynômes $T_n$ tels que $\cos(nt) = T_n(\cos(t))$.
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\begin{enumerate}
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\item Écrire une procédure qui prend en argument \texttt{n} et qui renvoie le polynôme de Tchebichev $T_n$. (\texttt{expand} marche aussi avec les fonctions trigonométriques).
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\item Vérifier sur des petites valeurs de $n$ et $m$ que l'on a bien les propriétés suivantes:
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\begin{eqnarray*}
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T_n(1) &=& 1 \\
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T_n(T_m(X)) &=& T_{nm}(X) \\
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T_n(-x) &=& (-1)^n T_n(x) \\
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\forall n \in N \quad \forall k \leq n && T_n\left( \cos\left( \frac{(2k-1)\pi}{2n} \right) \right) = 0
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\end{eqnarray*}
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\item Tracer les courbes des 5 premiers polynômes de Tchebichev sur un même graphique.
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\end{enumerate}
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\end{Exo}
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\section{Fractions rationnelles}
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\subsection{Les fractions rationnelles}
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\begin{verbatim}
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> f := (x^2 - 3) / (x + 1); # définir une fraction rationnelle
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> type(f, ratpoly); # les fractions rationnelles sont appelées ratpoly dans Maple
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> numer(f); denom(f); # Numérateur et dénominateur de f
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> f + 1; factor(f+1); normal(f+1); # Opération sur les fractions rationnelles et simplifications
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\end{verbatim}
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\section{Décomposition en éléments simples}
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\begin{verbatim}
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> h := (x(x+2)) / (x+1);
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> convert(h, parfrac, x); # Décomposition en éléments simples
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> F:=1/(x^3+1): convert(F,parfrac,x,sqrt(3)); # Même soucis qu'avec les polynômes, il faut préciser le corps
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> convert(F,parfrac,x,{sqrt(3),I});
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\end{verbatim}
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\begin{Exo}
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Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle suivante $F = \frac{1}{X^4 + 1}$ sur $\R$ puis sur $\C$.
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\end{Exo}
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\end{document}
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