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\documentclass[a4paper,12pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2013-2014/tools/style/classDS}
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\usepackage{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2013-2014/2013_2014}
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% Title Page
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\titre{7}
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% \quatreC \quatreD \troisB \troisPro
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\classe{\quatreC}
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\date{20 mars 2014}
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\duree{1 heure}
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\sujet{1}
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% DS DSCorr DM DMCorr Corr
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\typedoc{DS}
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%\printanswers
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\begin{document}
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\maketitle
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Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. Des points sont réservés à présentation.
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\begin{questions}
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\question[4]
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Une tyrolienne part du sommet d'un arbre à 20m de hauteur pour arriver sur une plateforme à 10m de hauteur. La distance entre le pied de l'arbre et le pied de la plateforme est de 50m.
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\begin{parts}
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\part Faire un schéma représentant la situation.
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\begin{solution}
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\begin{center}
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\includegraphics[scale=0.5]{./fig/arbre_platforme}
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\end{center}
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\end{solution}
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\part Quelle est la longueur de la tyrolienne?
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\end{parts}
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\begin{solution}
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D'après le dessin, on remarque que $AB = 20 - 10 = 10m$. \\
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D'après le dessin, on a le triangle $ABC$ rectangle en $A$ donc d'après le théorème de Pythagore, on a
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\begin{eqnarray*}
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BC^2 &=& AB^2 + AC^2 \\
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BC^2 &=& 10^2 + 50^2 \\
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BC^2 &=& 100 + 2500 \\
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BC^2 &=& 2600 \\
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BC &=& \sqrt{2600} \approx 51
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\end{eqnarray*}
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Donc la tyrolienne fait 51m de long.
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\end{solution}
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\question[6]
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On veut construire un local de la forme suivante:
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\begin{center}
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\includegraphics[scale=0.2]{./fig/local}
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\end{center}
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Les pièces utilisés pour la construction sont choisis de tel sorte que
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\begin{eqnarray*}
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AF = EB = DC \hspace{2cm} AB = EF \hspace{2cm} BC = ED = GH
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\end{eqnarray*}
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\begin{parts}
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\part Pour s'assurer que le local est bien droit, On mesure $BD$ et on trouve $BD = 13m$.
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\begin{subparts}
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\subpart Démontrer que $BCD$ est un triangle rectangle.
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\begin{solution}
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D'une part, $BC^2 + DC^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$.
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D'autre part, $BD^2 = 13^2 = 169$.
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Donc on a $BD^2 = BD^2 + DC^2$ donc d'après le réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $BCD$ est rectangle en $C$.
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\end{solution}
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\subpart Démontrer que $BEDC$ est un rectangle.
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\begin{solution}
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Comme $EB = DC$ et que $ED = BC$, le quadrilatère $EDCB$ est un parallélogramme. Or si un parallélogramme a un angle droit, c'est un rectangle. Donc $EDCB$ est un rectangle.
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\end{solution}
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\end{subparts}
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\part Il voudrait installer des panneaux solaires sur le toit.
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\begin{subparts}
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\subpart Calculer la distance $GE$.
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\begin{solution}
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On sait que le triangle $FGE$ est un triangle rectangle en $G$ donc d'après le théorème de Pythagore, on a
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\begin{eqnarray*}
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FE^2 &=& FG^2 + GE^2 \\
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FG^2 &=& FE^2 - GE^2 \\
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FG^2 &=& 6^2 - 3^2 \\
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FG^2 &=& 36 - 9 \\
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FG^2 &=& 27 \\
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FG &=& \sqrt{27} = 5.2
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\end{eqnarray*}
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Donc $GE = 5.2m$.
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\end{solution}
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\subpart Quelle est l'aire du toit du local?
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\begin{solution}
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\begin{eqnarray*}
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\mathcal{A} = GE \times ED = 5.2 \times 12 = 62.3
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\end{eqnarray*}
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L'aire du toit est $62.3m^2$
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\end{solution}
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\end{subparts}
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\end{parts}
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\question[4]
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Voici un programme de calcul.
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\fbox{\colorbox{base2}{
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\begin{minipage}[h]{0.4\textwidth}
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\textbf{Programme A} \\ Choisir un nombre \\ Multiplier par 3 \\ Ajouter 4 \\ Multiplier par 4 \\ Enlever 16
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\end{minipage}
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}
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}
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\begin{parts}
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\part Montrer que si l'on applique le programme à -1 on trouve -12.
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\begin{solution}
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\begin{eqnarray*}
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-1 \stackrel{\times3}{\longrightarrow} -3 \stackrel{+4}{\longrightarrow} 1 \stackrel{\times4}{\longrightarrow} 4 \stackrel{-16}{\longrightarrow} -12
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\end{eqnarray*}
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\end{solution}
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\part Appliquer le programme à 3.
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\begin{solution}
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\begin{eqnarray*}
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3 \stackrel{\times3}{\longrightarrow} 9 \stackrel{+4}{\longrightarrow} 13 \stackrel{\times4}{\longrightarrow} 52 \stackrel{-16}{\longrightarrow} 36
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\end{eqnarray*}
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\end{solution}
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\part Appliquer le programme à $x$. Montrer que l'on trouve $(3x + 4)\times 4 - 16$.
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\begin{solution}
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\begin{eqnarray*}
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x \stackrel{\times3}{\longrightarrow} 3x \stackrel{+4}{\longrightarrow} 3x+4 \stackrel{\times4}{\longrightarrow} (3x+4)\times4 \stackrel{-16}{\longrightarrow} (3x+4)\times 4 - 16
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\end{eqnarray*}
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\end{solution}
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\part Developper l'expression trouvée à la question précédente.
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\begin{solution}
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\begin{eqnarray*}
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(3x+4)\times4 - 16 & = & 3x\times4 + 4\times 4 - 16 \\
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&=& 12x + 16 - 16 \\
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&=& 12x
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\end{eqnarray*}
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\end{solution}
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\part Si le programme ne faisait qu'une seule transformation, quelle serait elle?
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\begin{solution}
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D'après la question précédente, appliquer tout le programme à $x$ revient à multiplier $x$ par 12. Donc si le programme ne faisait qu'une seule transformation, ce serait de multiplier par 12.
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\end{solution}
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\end{parts}
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\question[5]
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Voici trois expressions.
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\begin{eqnarray*}
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A = 2(3x + 1) \hspace{1cm} B = 3(x - 1) + 2x(x + 4) \hspace{1cm} C = -(3x + 1) + 4x - 4
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\end{eqnarray*}
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\begin{parts}
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\part Évaluer $A$ et $B$ pour $x = 1$.
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\begin{solution}
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Évaluons $A$ avec $x = 1$. Pour cela, on remplace $x$ par 1 dans l'expression de $A$.
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\begin{eqnarray*}
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A & = & 2(3\times1 + 1) \\
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A & = & 2\times (3+1) \\
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A & = & 2 \times 4 \\
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A & = & 8
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\end{eqnarray*}
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Évaluons $B$ avec $x = 1$
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\begin{eqnarray*}
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B & = & 3(1 - 1) + 1\times 1\times (1 + 4) \\
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B & = & 3\times 0 + 1\times 5 \\
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B & = & 0 + 5 \\
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B & = & 5
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\end{eqnarray*}
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\end{solution}
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\part Développer puis réduire les trois expressions.
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\begin{solution}
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\begin{eqnarray*}
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A & = & 2(3x + 1)\\
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A & = & 2\times 3x + 2\times 1\\
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A & = & 6x + 2
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\end{eqnarray*}
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\begin{eqnarray*}
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B & = & 3(x-1) + 2x(x+4) \\
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B & = & 3\times x + 3\times (-1) + 2x\times x+2x \times 4 \\
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B & = & 3x + (-3) + 2x^2 + 8x \\
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B & = & 2x^2 + 3x + 8x + (-3) \\
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B & = & 2x^2 + 11x -3
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\end{eqnarray*}
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\end{solution}
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\end{parts}
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\end{questions}
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\end{document}
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