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\documentclass[a4paper,12pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2013-2014/tools/style/classDS}
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\usepackage{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2013-2014/2013_2014}
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% Title Page
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\titre{7}
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% \quatreC \quatreD \troisB \troisPro
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\classe{\quatreC}
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\date{20 mars 2014}
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\duree{1 heure}
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\sujet{1}
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% DS DSCorr DM DMCorr Corr
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\typedoc{DS}
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%\printanswers
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\begin{document}
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\maketitle
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Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. Des points sont réservés à présentation.
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\begin{questions}
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\question[4]
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Des électriciens veulent poser un câble électrique entre deux poteaux. Le sommet du premier poteaux se trouve à 5m du sol alors que le sommet du deuxième se trouve à 8m. Les deux poteaux sont séparés de 15m.
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\begin{parts}
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\part Faire un schéma de la situation.
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\begin{solution}
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\begin{center}
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\includegraphics[scale=0.4]{./fig/poteau}
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\end{center}
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\end{solution}
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\part Quelle est la longueur de câble devront-ils prévoir s'ils veulent relier le sommet des deux poteaux?
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\begin{solution}
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D'après le dessin, on remarque que $AB = 8 - 5 = 3m$. \\
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D'après le dessin, on a le triangle $ABC$ rectangle en $A$ donc d'après le théorème de Pythagore, on a
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\begin{eqnarray*}
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BC^2 &=& AB^2 + AC^2 \\
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BC^2 &=& 3^2 + 15^2 \\
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BC^2 &=& 9 + 225 \\
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BC^2 &=& 234 \\
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BC &=& \sqrt{234} \approx 15,3
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\end{eqnarray*}
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Donc la tyrolienne fait 15,3m de long.
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\end{solution}
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\end{parts}
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\question[6]
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On veut construire un local de la forme suivante:
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\begin{center}
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\includegraphics[scale=0.2]{./fig/local}
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\end{center}
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Les pièces utilisés pour la construction sont choisis de tel sorte que
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\begin{eqnarray*}
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AF = EB = DC \hspace{2cm} AB = EF \hspace{2cm} BC = ED = GH
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\end{eqnarray*}
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\begin{parts}
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\part Pour s'assurer que le local est bien droit, On mesure $BD$ et on trouve $BD = 25m$.
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\begin{subparts}
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\subpart Démontrer que $BCD$ est un triangle rectangle.
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\begin{solution}
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D'une part, $BC^2 + DC^2 = 24^2 + 7^2 = 576 + 49 = 625$.
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D'autre part, $BD^2 = 25^2 = 625$.
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Donc on a $BD^2 = BD^2 + DC^2$ donc d'après le réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $BCD$ est rectangle en $C$.
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\end{solution}
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\subpart Démontrer que $BEDC$ est un rectangle.
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\begin{solution}
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Comme $EB = DC$ et que $ED = BC$, le quadrilatère $EDCB$ est un parallélogramme. Or si un parallélogramme a un angle droit, c'est un rectangle. Donc $EDCB$ est un rectangle.
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\end{solution}
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\end{subparts}
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\part On veut installer des panneaux solaires sur le toit.
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\begin{subparts}
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\subpart Calculer la distance $GE$.
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\begin{solution}
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On sait que le triangle $FGE$ est un triangle rectangle en $G$ donc d'après le théorème de Pythagore, on a
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\begin{eqnarray*}
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FE^2 &=& FG^2 + GE^2 \\
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FG^2 &=& FE^2 - GE^2 \\
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FG^2 &=& 5^2 - 2^2 \\
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FG^2 &=& 25 - 4 \\
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FG^2 &=& 21 \\
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FG &=& \sqrt{21} \approx 4,6
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\end{eqnarray*}
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Donc $GE = 4,6m$.
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\end{solution}
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\subpart Quelle est l'aire du toit du local?
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\begin{solution}
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\begin{eqnarray*}
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\mathcal{A} = GE \times ED = 4,6 \times 24 \approx 110
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\end{eqnarray*}
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L'aire du toit est $110m^2$
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\end{solution}
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\end{subparts}
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\end{parts}
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\question[4]
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Voici un programme de calcul.
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\fbox{\colorbox{base2}{
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\begin{minipage}[h]{0.4\textwidth}
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\textbf{Programme A} \\ Choisir un nombre \\ Multiplier par 3 \\ Ajouter 4 \\ Multiplier par 4 \\ Enlever 16
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\end{minipage}
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}
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}
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\begin{parts}
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\part Montrer que si l'on applique le programme à -1 on trouve -12.
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\begin{solution}
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\begin{eqnarray*}
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-1 \stackrel{\times3}{\longrightarrow} -3 \stackrel{+4}{\longrightarrow} 1 \stackrel{\times4}{\longrightarrow} 4 \stackrel{-16}{\longrightarrow} -12
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\end{eqnarray*}
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\end{solution}
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\part Appliquer le programme à 3.
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\begin{solution}
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\begin{eqnarray*}
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3 \stackrel{\times3}{\longrightarrow} 9 \stackrel{+4}{\longrightarrow} 13 \stackrel{\times4}{\longrightarrow} 52 \stackrel{-16}{\longrightarrow} 36
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\end{eqnarray*}
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\end{solution}
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\part Appliquer le programme à $x$. Montrer que l'on trouve $(3x + 4)\times 4 - 16$.
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\begin{solution}
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\begin{eqnarray*}
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x \stackrel{\times3}{\longrightarrow} 3x \stackrel{+4}{\longrightarrow} 3x+4 \stackrel{\times4}{\longrightarrow} (3x+4)\times4 \stackrel{-16}{\longrightarrow} (3x+4)\times 4 - 16
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\end{eqnarray*}
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\end{solution}
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\part Développer l'expression trouvée à la question précédente.
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\begin{solution}
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\begin{eqnarray*}
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(3x+4)\times4 - 16 & = & 3x\times4 + 4\times 4 - 16 \\
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&=& 12x + 16 - 16 \\
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&=& 12x
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\end{eqnarray*}
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\end{solution}
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\part Si le programme ne faisait qu'une seule transformation, quelle serait elle?
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\begin{solution}
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D'après la question précédente, appliquer tout le programme à $x$ revient à multiplier $x$ par 12. Donc si le programme ne faisait qu'une seule transformation, ce serait de multiplier par 12.
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\end{solution}
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\end{parts}
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\question[5]
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Voici une expression: \hspace{2cm} $A = 6(2x - 1) $
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\begin{parts}
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\part Évaluer $A$ pour $x = 4$.
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\begin{solution}
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On remplace $x$ par 4 dans l'expression de $A$.
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\begin{eqnarray*}
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A &=& 6 \times ( 2 \times 3 - 1 ) \\
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A &=& 6 \times ( 6 - 1 ) \\
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A &=& 6 \times 5 \\
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A &=& 30
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\end{eqnarray*}
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\end{solution}
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\part Développer puis réduire $A$.
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\begin{solution}
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\begin{eqnarray*}
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A & = & 6(2x - 1) \\
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A & = & 6\times 2x + 6 \times (-1) \\
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A & = & 12x - 6
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\end{eqnarray*}
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\end{solution}
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\end{parts}
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\question
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\exo{Bonus}
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Voici deux expressions.
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\begin{eqnarray*}
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B = 2(2x -4) + 4x(3 + 5x) \hspace{2cm} C = -(3x + 7) - 5x + 4
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\end{eqnarray*}
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\begin{parts}
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\part Évaluer $B$ pour $x = 2$.
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\part Développer puis réduire $B$ et $C$.
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\end{parts}
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\end{questions}
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\end{document}
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