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\documentclass[a4paper,10pt, table]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/tools/style/classCours}
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\usepackage{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/2014_2015}
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% Title Page
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\titre{Fonction dérivée}
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% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
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\classe{\premiereS}
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\date{Décembre 2014}
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\begin{document}
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\maketitle
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\section{Fonction dérivée}
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\begin{Def}
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Soit $f$ une fonction définie sur $\mathcal{D}_f$ et $I$ un sous ensembre inclus dans $\mathcal{D}_f$.
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On dit que $f$ est \textbf{dérivable sur $I$} si et seulement si $f$ est dérible en tous points de $I$.
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La fonction qui à chaque réel $x\in I$ associe le nombre $f'(x)$ est appelée la \textbf{fonction dérivée} de $f$ sur $I$. On note cette fonction
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\begin{eqnarray*}
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f':x &\mapsto & f'(x)
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\end{eqnarray*}
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\end{Def}
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\begin{Rmq}
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Déterminer graphiquement si une fonction est dérivable.
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$a$ un point de $I$, $f$ est dérivable en $a$ si $\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(x+h) - f(h)}{h}$ existe. Dans ce cas, la courbe représentative de $f$ a une tangente en $a$. Donc $f$ n'est pas dérivable en $a$ se determine graphiquement quand la courbe représentative de $f$ n'a pas de tangente.
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\begin{itemize}
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\item Cas où $f$ est discontinue
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\item Cas où la courbe de $f$ a un angle.
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\end{itemize}
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On rappelle que dans le cas où $f$ est dérivable en $a$, $f'(a)$ est le coefficent directeur de la tangente.
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\end{Rmq}
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\begin{Ex}
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Calcul d'une fonction dérivée à partir d'un polynôme du 2nd deg
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\end{Ex}
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\section{Vaiation de $f$ et signe de $f'$}
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\begin{Prop}
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Soit $f$ une fonction dérivable sur l'intervalle $I$.
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\begin{itemize}
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\item $f$ est \textbf{croissante} si et seulement si $f'$ est positive sur $I$.
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\item $f$ est \textbf{décroissante} si et seulement si $f'$ est négative sur $I$.
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\item $f$ est \textbf{constante} si et seulement si $f'$ est nulle sur $I$.
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\end{itemize}
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\end{Prop}
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\begin{Ex}
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On reprend le polynôme de l'exemple précédent et on fait le tableau de signe.
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\end{Ex}
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\section{Dérivation des polynômes}
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On les démontre avant de faire le bilan.
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\begin{Prop}
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Dérivées des fonctions usuelles.
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\begin{center}
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\begin{tabular}{|c|*{3}{c|}}
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\hline
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Fonction & Domaine de définition & Domaine de dérivation & fonction dérivée \\
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\hline
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Constante $f:x\mapsto k$ & $\R$ & $\R$ & $f':x\mapsto 0$ \\
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\hline
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Linéaire $f:x\mapsto ax$ & $\R$ & $\R$ & $f':x\mapsto a$\\
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\hline
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Carré $f:x\mapsto x^2$ & $\R$ & $\R$ & $f:x\mapsto 2x$ \\
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\hline
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Puissance $f:x\mapsto x^n$ & $\R$ & $\R$ & $f:x\mapsto n\times x^{n-1}$\\
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\hline
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\end{tabular}
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\end{center}
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\end{Prop}
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\section{Extremum}
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\begin{Prop}
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Soit $f$ dérivable sur $I$.
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Si $f$ admet un extremum (minimum ou maximum) en $a$ alors $f'(a)$ est nulle.
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\end{Prop}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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