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\documentclass[a4paper,12pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/tools/style/classDS}
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\usepackage{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/2014_2015}
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% Title Page
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\titre{1}
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% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
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\classe{\premiereS}
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\date{29 septembre 2014}
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\duree{1 heure}
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%\sujet{%{{infos.subj%}}}
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% DS DSCorr DM DMCorr Corr
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\typedoc{DS}
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\printanswers
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\begin{document}
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\maketitle
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Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
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\textbf{1 point} est réservé à la présentation et à la rédaction.
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\begin{questions}
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\question[5]
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\begin{minipage}{0.5\textwidth}
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\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
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\draw[very thin, gray] (-4,-5) grid (6,5);
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\draw[->, thick] (-4,0) -- (6,0) node[below right] {$x$};
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|
\draw[->, very thick] (0,-5) -- (0,5) node[above] {$y$};
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|
\draw (0,0) node[below right, scale=0.7 ] {$O$};
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\draw (0,1) node {-} node[left] {$J$};
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\draw (1,0) node[rotate=90] {-} node[below] {$I$};
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\draw[very thick] (-4,-4) -- (6,1) ;
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\draw (5,0.5) node [above ] {$\mathcal{D}$};
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\draw (2,-3) node {$\bullet$} node[below right] {$A$};
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\ifprintanswers
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|
\draw[color=red] (1,-5) -- (6,5) node[left] {$d_2$};
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\draw[color=blue] (-1,-4) -- (2,5) node[left] {$d_1$};
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\fi
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\end{tikzpicture}
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.5\textwidth}
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|
Pour les questions qui suivent, vous tracerez sur le sujet et vous indiquerez le nom des droites.
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\\[0.5cm]
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\begin{parts}
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\part Tracer la droite $d_2$ passant par $A$ et de coefficient directeur 2 .
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\part Tracer la droite $d_1$ d'équation $ y = 3x - 1$ .
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\part Déterminer l'équation de la droite $\mathcal{D}$.
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%\part Tracer la droite $d_2$ passant par $B(-2,3)$ et de coefficient directeur $-1$ .
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\end{parts}
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\end{minipage}
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\begin{solution}
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|
$B(0;-2)$ et $C(4;0)$ sont deux points de $\mathcal{D}$.\\
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On determine le coefficient directeur de $\mathcal{D}$:
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\begin{eqnarray*}
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a & = & \frac{y_B - y_C}{x_B - x_C}= \frac{-2 - 0}{0 - 4} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}
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\end{eqnarray*}
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|
Donc l'équation de $\mathcal{D}$ est de la forme $y = \frac{1}{2}x + b$. Déterminons $b$.
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\begin{eqnarray*}
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B(0;-2) \in \mathcal{D} & \mbox{ donc } & -2 = \frac{1}{2} \times 0 + b \\
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&\mbox{ donc } & b = -2
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\end{eqnarray*}
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|
L'équation de $\mathcal{D}$ est donc $y = \frac{1}{2} - 2$
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\end{solution}
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\vfill
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\question[5]
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\begin{center}
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\ifprintanswers
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\includegraphics[scale=0.4]{./fig/fonction_corr}
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|
\else
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\includegraphics[scale=0.4]{./fig/fonction}
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\fi
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\end{center}
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\begin{parts}
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\part Tracer, sans faire de calculs, la tangente à $\mathcal{C}_g$ en -2.
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\part Déterminer graphiquement $g(1)$ et $g'(1)$ ($T$ est la tangente à $\mathcal{C}_g$ en 1).
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\part Déterminer graphiquement les valeurs de $a$ telles que $g'(a) = 0$.
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\end{parts}
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\begin{solution}
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\begin{parts}
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\part Cf graphique
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\part Graphiquement on lit $g(1) = 0$.\\
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$g'(1)$ est le coefficient directeur de $T$. Les points $A(1,0)$ et $B(0,1)$ sont deux points de $T$ donc
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\begin{eqnarray*}
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g'(1) & = & \frac{y_A - y_B}{x_A - x_B} = \frac{0 - 1}{1 - 0} = -1
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\end{eqnarray*}
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|
\part $g'(a) = 0$ correspond aux tangentes horizontales. On peut voir qu'il y a deux tangentes horizontales une au points $(-1:1)$ et une autre au point $(3;-1)$. Donc les valeurs de $a$ telles que $g'(a) = 0$ sont $-1$ et $3$.
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\end{parts}
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|
\end{solution}
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\vfill
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\pagebreak
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\question[5]
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\begin{minipage}{0.5\textwidth}
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\begin{tikzpicture}[yscale=0.7,xscale=1.2]
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\draw[very thin, gray] (-3,-5) grid (3,5);
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|
\draw[->, thick] (-3,0) -- (3,0) node[below right] {$x$};
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|
\draw[->, very thick] (0,-5) -- (0,5) node[above] {$y$};
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\draw (0,0) node[below right, scale=0.7 ] {$O$};
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|
\draw (0,1) node {-} node[left] {$J$};
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\draw (1,0) node[rotate=90] {-} node[below] {$I$};
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\draw (-2,2) node {$\bullet$};
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\draw (-2.5 , 4) -- (-1.5,0);
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\draw (1,-1) node {$\bullet$};
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\draw (2,1) -- (0,-3);
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\ifprintanswers
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\draw[color = green, very thick] (-1,-1) node {$\bullet$};
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\draw[color = green, very thick] (-2 , 1) -- (0,-3);
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|
\draw[color=green, very thick] (2,2) node {$\bullet$};
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|
\draw[color=green, very thick] (2.5 , 4) -- (1.5,0);
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|
\draw[color=green, very thick] (0,-2) node {$\bullet$};
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\draw[color=green, very thick] (-1 , -2) -- (1,-2);
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\draw[color = red, very thick] plot [domain= -2.5:2.5] (\x, {\x*\x - 2});
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\fi
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\end{tikzpicture}
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.5\textwidth}
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|
On donne le tableau de valeurs correspondant à la fonction
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\begin{eqnarray*}
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f:x & \mapsto & x^2 - 2
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\end{eqnarray*}
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\begin{tabular}{|c|*{5}{p{.8cm}|}}
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\hline
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x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\
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\hline
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$f(x)$ & 2 & & -2 & -1 & \\
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\hline
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Nombre dérivé & -4 & -2 & & 2 & 4 \\
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\hline
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\end{tabular}
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\end{minipage}
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\vspace{1cm}
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\begin{parts}
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\part Calculer les éléments manquant du tableau
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\begin{solution}
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Calcul des éléments manquants dans le tableau
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\begin{eqnarray*}
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f(-1) & = & (-1)^2 - 2 = 1 - 2 = -1 \\
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f(2) & = & 2^2 - 2 = 4 - 2 = 2 \\
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\end{eqnarray*}
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Calcul du nombre dérivé en 0
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\begin{eqnarray*}
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\frac{f(0 + h) - f(0)}{h} &=& \frac{h^2 - 2 - -(2)}{h} = \frac{h^2}{h} = h
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\end{eqnarray*}
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Donc quand $h$ tend vers 0, $\frac{f(0+h) - f(0)}{h}$ tend vers 0. Donc
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\begin{eqnarray*}
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f'(0) & = & \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = 0
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\end{eqnarray*}
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\end{solution}
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\part Compléter le graphique avec les éléments du tableau.
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\begin{solution}
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En vert.
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\end{solution}
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\part Tracer précisément la courbe.
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\begin{solution}
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En rouge.
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\end{solution}
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\end{parts}
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\vfill
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\question[4]
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Alain a mis 4 musiques en lecture aléatoire sur son lecteur de musique. Le tableau suivant indique la durée en secondes de chacun de ces morceaux.
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\begin{center}
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\begin{tabular}{|c|*{4}{c|}}
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\hline
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Nom du morceau & A & B & C & D \\
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\hline
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Durée (en secondes) & 280 & 200 & 240 & 280 \\
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\hline
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\end{tabular}
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\end{center}
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On note $T$ le durée d'écoute de deux morceaux successifs (la lecture aléatoire permet d'écouter deux fois de suite le même morceau).
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\begin{parts}
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\part Déterminer la loi de probabilité de $T$. Justifier avec un arbre ou un tableau à double entrée.
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\begin{solution}
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Durée d'écoute pour deux morceaux
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\begin{center}
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\begin{tabular}{|c|*{4}{c|}}
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\hline
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& A & B & C & D \\
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\hline
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A & 560 & 480 & 520 & 560 \\
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\hline
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B & 480 & 400 & 440 & 480 \\
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\hline
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C & 520 & 440 & 480 & 520 \\
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\hline
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D & 560 & 480 & 520 & 560 \\
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\hline
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\end{tabular}
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\end{center}
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On en déduit la loi de probabilité de $T$.
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\begin{center}
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\begin{tabular}{|c|*{5}{c|}}
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\hline
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|
Valeurs de T & 400 & 440 & 480 & 520 & 560 \\
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\hline
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|
Probabilité & $\frac{1}{16}$ & $\frac{2}{16}$ & $\frac{5}{16}$ & $\frac{4}{16}$ & $\frac{4}{16}$ \\
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\hline
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|
\end{tabular}
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\end{center}
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|
Car il y a 16 issues possibles et que par exemple, il y a 5 issues qui donnent 480 d'où $P(X = 480) = \frac{5}{16}$.
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\end{solution}
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|
\part Quelle est la probabilité, $P(T>500)$, pour que les deux morceaux successifs durent plus de 500 secondes?
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\begin{solution}
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\begin{eqnarray*}
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|
P(T > 500) & = & P(T = 520) + P(T=560) \\
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& = & \frac{4}{16} + \frac{4}{16} \\
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& = & \frac{8}{16} = \frac{1}{2}
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\end{eqnarray*}
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Donc la probabilité pour que les deux morceaux durent plusde 500 secondes est de $\frac{1}{2}$.
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\end{solution}
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\part(Bonus) Quelle est la probabilité pour que les deux morceaux tirés au hasard soient les mêmes?
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\begin{solution}
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|
Il y a 16 issues possibles pour les choix aléatoires de deux musiques. Or il n'y a que 4 issues qui correspondent à deux fois le même. Donc
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\begin{eqnarray*}
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P( \left\{ \mbox{ Deux fois le même morceau } \right\}) & = & \frac{4}{16} = \frac{1}{4}
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\end{eqnarray*}
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|
Donc une fois sur 4, il tombera sur deux fois le même morceau.
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\end{solution}
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\end{parts}
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|
\end{questions}
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|
\vfill
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||
|
|
\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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