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\documentclass[a4paper,12pt, table]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/tools/style/classExamen}
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\usepackage{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/2014_2015}
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% Title Page
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\titre{}
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% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
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\classe{\TSTMG}
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\date{12 février 2015}
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\duree{3h}
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\typedoc{Bac blanc}
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\ptpres{}
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\newcommand{\np}[1]{\numprint{#1}}
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\printanswers
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\begin{document}
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\titlepage
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\begin{questions}
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\question[6]
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% Métropole septembre 2014 Exo 3
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On s'intéresse à la population d'une ville et on étudie plusieurs modèles d’évolution de cette population.
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En 2013, la population de la ville était de \np{15000}~habitants.
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\textbf{Partie A - Étude de deux modèles d’évolution}
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\begin{parts}
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\part \textbf{Hypothèse 1}
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En analysant l’évolution récente, on fait d’abord l’hypothèse que le nombre d’habitants augmente de \np{1000}~habitants par an.
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Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre d’habitants pour l’année $2013 + n$. On a ainsi $u_0 = \np{15000}$.
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\begin{subparts}
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\subpart Que représente $u_1$ ? Calculer $u_1$ et $u_2$.
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\begin{solution}
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$u_{1}$ représente le nombre d'habitants pour l'année 2014.
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$u_{1}=\np{15000}+\np{1000}=\np{16000}$ et $u_{2}=\np{16000}+\np{1000}=\np{17000}$.
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\end{solution}
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\subpart Quelle est la nature de la suite $\left(u_n \right)$ ? Justifier.
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\begin{solution}
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La suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite arithmétique de raison \np{1000} puisque chaque terme, sauf le premier, se déduit du précédent en ajoutant le même nombre.
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\end{solution}
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\subpart Exprimer, pour tout entier naturel $n,\, u_n$ en fonction de $n$.
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\begin{solution}
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Le terme général d'une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$ est $u_n=u_0+(n)r$.
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$u_n=\np{15000}+\np{1000}n$.
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\end{solution}
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\subpart Selon ce modèle, quelle devrait être la population en 2018 ?
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\begin{solution}
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Selon ce modèle, la population en 2018 devrait être de \np{20000} habitants. Le rang de l'année est $5$, par conséquent nous avons $u_5=\np{15000}+\np{1000}\times 5=\np{20000}$
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\end{solution}
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\subpart Selon ce modèle, en quelle année la population devrait-elle atteindre \np{30000}~habitants ?
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\begin{solution}
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Selon ce modèle, déterminons en quelle année la population devrait atteindre \np{30 000} habitants. Pour ce faire, résolvons $\np{15000}+\np{1000}n=\np{30000}$
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$\np{15000}+\np{1000}n=\np{30000}\iff n=\dfrac{\np{30000}-\np{15000}}{\np{1000}}=15$
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La population devrait atteindre \np{30 000} habitants en 2028 (2013+15).
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\end{solution}
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\end{subparts}
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\part \textbf{Hypothèse 2}
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\medskip
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On fait à présent l’hypothèse que le nombre d’habitants augmente de 4,7\,\% par an.
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Le nombre d’habitants pour l’année $(2013 + n)$ est modélisé par le terme $v_n$ d’une suite géométrique. Ainsi $v_0 = \np{15000}$.
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\begin{subparts}
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\subpart Calculer les valeurs des termes $v_1$ et $v_2$ arrondies à l’unité.
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\begin{solution}
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À un taux d'évolution de $4,7\,\%$ correspond un coefficient multiplicateur de $1 + \frac{4,7}{100} = $\np{1.047}.
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$v_{1}=\np{15000}\times\np{1.047}=\np{15705}$ et $v_{2}=\np{15705}\times \np{1.047}\approx \np{16443}$ .
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\end{solution}
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\subpart Déterminer la raison de la suite $\left(v_n \right)$ ?
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\begin{solution}
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La suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $\np{1.047}$.
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\end{solution}
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\subpart Exprimer, pour tout entier naturel $n,\, v_n$ en fonction de $n$.
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\begin{solution}
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Le terme général d'une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est $u_n=u_0\times (q)^{n}$. $u_{n}=\np{15000}\times(\np{1.047})^n$ pour tout entier naturel $n$.
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\end{solution}
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\subpart Calculer, selon ce modèle, le nombre d’habitants de la ville en 2028.
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\begin{solution}
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Selon ce modèle, le nombre d’habitants de la ville en 2028 est $v_{15}$ puisque le rang de l'année est 15. $v_{15}=\np{15000}\times \np{1.047}^{15}\approx \np{29874}$.
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\end{solution}
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\subpart En examinant l’évolution de villes comparables à celle que l’on étudie ici, des experts ont estimé que sa population allait augmenter de 50\,\% en 15 ans. Le résultat trouvé à la question précédente est-il en accord avec les prévisions des experts ? Justifier.
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\begin{solution}
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En examinant l’évolution de villes comparables à celle que l’on étudie ici, des experts
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ont estimé que sa population allait augmenter de 50\,\% en 15 ans. Le résultat trouvé à la
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question précédente n'est pas en accord avec les prévisions des experts car la population est quasiment multipliée par 2 soit une augmentation de près de 100\,\%.
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\end{solution}
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\end{subparts}
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\bigskip
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\begin{EnvUplevel}
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\textbf{Partie B - Analyse des résultats sur tableur}
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On utilise un tableur pour comparer l’évolution de la population suivant les deux modèles. Les cellules sont au format \og nombre à zéro décimale \fg.
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\begin{center}
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\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{3cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
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&A&B&C&D&E&F&G&H&I\\ \hline
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1&Année&2013&2014&2015&2016&2017&2018&2019&2020\\ \hline
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2&Rang&0&1&2&3&4&5&6&7\\ \hline
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3&Population selon l’hypothèse 1&\np{15000}&&&&&&&\\ \hline
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4&Population selon l’hypothèse 2&\np{15000}&&&&&&&\\ \hline
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\end{tabularx}
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\end{center}
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\end{EnvUplevel}
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\part Quelle formule peut-on saisir dans la cellule C3, pour obtenir, par recopie vers la droite, les termes successifs de la suite $\left(u_n \right)$ pour $n$ variant de 1 à 7 ?
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\begin{solution}
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Une formule que nous pouvons saisir dans la cellule C3, pour obtenir, par recopie vers la droite, les termes successifs de la suite $\left(u_{n}\right)$ pour $n$ variant de 1 à 7 est \textbf{=B\$3+1000}
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\end{solution}
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\part Quelle formule peut-on saisir dans la cellule C4, pour obtenir, par recopie vers la droite, les termes successifs de la suite $\left(v_n \right)$ pour $n$ variant de 1 à 7 ?
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\begin{solution}
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|
Une formule que nous pouvons saisir dans la cellule C4, pour obtenir, par recopie vers la droite, les termes successifs de la suite $\left(v_{n}\right)$ pour $n$ variant de 1 à 7 est \textbf{=B\$4*1,047}
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\end{solution}
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\end{parts}
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\question[4]
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% Nouvelle Calédonie novembre 2014
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\textbf{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).}
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{\footnotesize
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Pour chaque question, \textbf{une seule des trois réponses proposées est correcte.}
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Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
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Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n'apporte ni ne retire aucun point.
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}
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\begin{parts}
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\part La variable aléatoire $X$ suit la loi normale d'espérance 12 et d'écart-type 2.
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La probabilité de l'événement $\{X \leqslant 10\}$, notée $P(X \leqslant 10)$, est égale à :
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\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}}
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$P(X < 11)$ & $P(0 \leq X \leq 10)$ & \Ovalbox{$P(X < 10)$}
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\end{tabularx}
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\medskip
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\part La variable aléatoire $X$ suit la loi normale d'espérance 12 et d'écart-type 2.
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La probabilité de l'événement $\{8 \leqslant X \leqslant 16\}$, notée $P(8 \leqslant X \leqslant 16)$, vaut, à $10^{-2}$ près :
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\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}}
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0,5 & \Ovalbox{0,95} & 0,68
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\end{tabularx}
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\part La variable aléatoire $X$ suit la loi normale d'espérance 12 et d'écart-type 2.
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La probabilité de l'événement $\{8 \leqslant X \leqslant 12\}$, notée $P(8 \leqslant X \leqslant 12)$, est égale à:
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\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}}
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$1 - P(X \geq 8) $& $0,5 + P(X \geq 8)$ & \Ovalbox{$0,5-P(X \leq 8) $}
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\end{tabularx}
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\part En France, le 1\up{er} janvier 2010, 48,7\,\% des foyers possédaient au moins un écran plat de télévision. Une étude s'intéresse à un échantillon de 150~foyers possédant au moins un écran plat de télévision et domiciliés dans une même ville. Un intervalle de fluctuation à au moins 95\,\% de la fréquence de ces foyers possédant un écran plat est :
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\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}}
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$\intFF{48,6}{48,8}$ & $\intFF{0,35}{0,52}$ & \Ovalbox{$\intFF{0,40}{0,57}$}
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\end{tabularx}
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\end{parts}
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\question[6]
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% Métro sept 2012
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Les données du tableau ci-dessous, reproduit dans l'\textbf{annexe 2 à rendre avec la copie}, concernent l'évolution de la part d'énergie renouvelable dans la production annuelle d'électricité de l'Union Européenne, pour la période allant de 2003 à 2008.
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(\emph{Source, Eurostat-Énergie})
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\definecolor{gristab}{gray}{0.80}
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\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{4.3cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
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&A&B&C&D&E&F&G\\ \hline
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1&Année&2003 &2004 &2005 &2006 &2007 &2008\\ \hline
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2&Rang de l'année $\left(x_{i}\right)$& 0 &1 &2 &3 &4 &5\\ \hline
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3&Part d'énergie renouvelable dans la production d'électricité de l'Union Européenne, en \% $\left(y_{i}\right)$& 12,9 &13,9 &14 &14,6 &15,5 &16,7\\ \hline
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4&Taux annuel d'évolution de la production d'électricité de l'Union Européenne, en \% &\multicolumn{1}{>{\columncolor{gristab}}c|}{\quad}&7,8&&&&\\ \hline
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\end{tabularx}
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Lecture du tableau :
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\begin{itemize}
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\item dans la cellule B3, 12,9\,\% est la part d'énergie renouvelable dans la production d'électricité en 2003.
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\item dans la cellule C4, 7,8\,\% est le taux d'évolution de la production d'électricité de l'Union Européenne, arrondi à $0,1$\,\% près, de 2003 à 2004.
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\end{itemize}
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\medskip
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Le graphique de l'\textbf{annexe 2 à rendre avec la copie} représente le nuage de points de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$.
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\bigskip
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\begin{parts}
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\part Quelle formule doit-on entrer dans la cellule C4 et recopier sur la plage D4~:~G4 pour obtenir les taux annuels d'évolution de la production d'électricité de l'Union Européenne, en \% ?
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\begin{solution}
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La formule que nous devons entrer dans la cellule C4 et recopier sur la plage D4~:~G4 pour obtenir les taux annuels d'évolution de la production d'électricité de l'Union Européenne, en \% est :
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\fbox{=(C3-B3)*100/B3}\hspace{1cm} ou \hspace{1cm}\fbox{=(C\$3-B\$3)*100/B\$3}
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\end{solution}
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|
\part Compléter le tableau fourni dans l'\textbf{annexe 2 à rendre avec la copie}.
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\begin{solution}
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Voir à la fin de l'exercice
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|
\end{solution}
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\part Déterminer le taux d'évolution global de la part d'énergie renouvelable dans la production d'électricité de l'Union Européenne entre 2003 et 2008.
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\begin{solution}
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Calculons le taux d'évolution global de la part d'énergie renouvelable dans la production d'électricité de l'Union Européenne entre 2003 et 2008. Appelons-le T.
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Le taux d'évolution $t$ est défini par $t=\dfrac{\text{{\footnotesize valeur finale}}-\text{\footnotesize valeur initiale}}{\text{{\footnotesize valeur initiale}}}$
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\[T=\dfrac{\np{16.7}-\np{12.9}}{\np{12.9}}\approx \np{0.29457}\]
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Le taux d'évolution global de la part d'énergie renouvelable dans la production d'électricité de l'Union Européenne entre 2003 et 2008 est d'environ \np{29.5}~\%
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\end{solution}
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\emph{On arrondira le résultat à $0,1\,\%$ près}.
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\part Montrer que le taux annuel moyen d'évolution entre 2003 et 2008, arrondi à 0,1\,\% près, est égal à 5,3\,\%.
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\begin{solution}
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Montrons que le taux annuel moyen d'évolution entre 2003 et 2008, arrondi à 0,1\,\% près, est égal à 5,3\,\%. Le coefficient multiplicateur global est $1+T$ d'une part et $(1+t_m)^5$ car la part d'énergie renouvelable a, entre 2003 et 2008, subi 5 évolutions d'où $t_m=(1+T)^{\tfrac{1}{5}}-1,\qquad t_m= (\np{1.295})^{\tfrac{1}{5}}-1\approx \np{0.053}$.
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\end{solution}
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\begin{EnvUplevel}
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\bigskip
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\textbf{La droite de régression par la méthode des moindres carrés}
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\medskip
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\end{EnvUplevel}
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\part En utilisant la calculatrice, donner une équation de la droite $\mathcal{D}$ qui réalise un ajustement affine de ce nuage de points par la méthode des moindres carrés.
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\begin{solution}
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|
\item En utilisant la calculatrice, donnons une équation de la droite $\mathcal{D}$ qui réalise un ajustement affine de ce nuage de points par la méthode des moindres carrés.
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\end{solution}
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\emph{On arrondira les coefficients à $10^{-3}$ près}.
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\part On prend comme équation de la droite $\mathcal{D}$ : $y = 0,70x + 12,86$. Tracer cette droite sur le graphique de l'\textbf{annexe 2 à rendre avec la copie}.
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\begin{solution}
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Voir le complement
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\end{solution}
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\end{parts}
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\begin{solution}
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Voici un complément avec le tableur:
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\begin{center}
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\includegraphics[scale=0.4]{./fig/complement_exo3}
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\end{center}
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\end{solution}
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\question[4]
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% Polynésie septembre 2012
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Les résultats d'une étude sur l'énergie éolienne en France de 2000 à 2010 sont donnés dans le tableau ci-dessous. La \og capacité en MW \fg{} est la quantité annuelle d'électricité fournie par l'ensemble du parc éolien, exprimée en mégawatts et arrondie à l'unité. Le \og pourcentage d'évolution \fg{} est le taux d'évolution de la capacité par rapport à celle de l'année précédente.
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\begin{center}
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\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
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Année &Capacité en MW& Pourcentage d'évolution\\ \hline
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2000 &68&\\ \hline
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2001 &95 &+ 39,71\,\% \\ \hline
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2002 &148 &+ 55,79\,\%\\ \hline
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2003 &248 &\\ \hline
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2004 &386 &+ 55,65\,\% \\ \hline
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2005 &757 &+ 96,11\,\%\\ \hline
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2006 & & + 107,00\,\% \\ \hline
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2007 &\np{2455} &+ 56,67\,\%\\ \hline
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2008 &\np{3404} &+ 38,66\,\%\\ \hline
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2009 &\np{4492} &+ 31,96\,\% \\ \hline
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2010 &\np{5660} &+ 26,00\,\%\\ \hline
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\multicolumn{3}{r}{\emph{Source : www.thewindpower.net}}\\
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\end{tabularx}
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\end{center}
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\emph{Les résultats donnés en pourcentage seront arrondis au centième.}
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\begin{parts}
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\part
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\begin{subparts}
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\subpart Calculer le taux d'évolution de la capacité de 2002 à 2003, exprimé en pourcentage.
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\begin{solution}
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Calculons le taux d'évolution de la capacité de 2002 à 2003, exprimé en pourcentage.
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Le taux d'évolution $t$ est défini par $t=\dfrac{\text{{\footnotesize valeur finale}}-\text{\footnotesize valeur initiale}}{\text{{\footnotesize valeur initiale}}}$
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$t=\dfrac{248-148}{148}\approx \np{0.6757}$
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Le taux d'évolution de la capacité de 2002 à 2003, exprimé en pourcentage est environ $\np{67.57}~\%$.
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\end{solution}
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\subpart Calculer la capacité en MW de l'année 2006, arrondie à l'unité.
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\begin{solution}
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Calculons la capacité en MW de l'année 2006, arrondie à l'unité.
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\` A un taux d'évolution de 107~\% correspond un coefficient multiplicateur de \np{2.07}. La capacité en 2005 est de 757~MW. $757\times \np{2.07}=\np{1566.99}$. La capacité en 2006 à l'unité près est de 1567~MW.
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\end{solution}
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\end{subparts}
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\part
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\begin{subparts}
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\subpart Calculer le taux d'évolution global de la capacité de 2007 à 2010, exprimé en pourcentage.
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\begin{solution}
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Calculons le taux d'évolution global de la capacité de 2007 à 2010, exprimé en pourcentage. Appelons-le T.\[T=\dfrac{\np{5660}-\np{2455}}{\np{2455}}\approx\np{1.3055}.\]
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le taux d'évolution global de la capacité de 2007 à 2010, exprimé en pourcentage est d'environ 130,55\,\%.
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\end{solution}
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\subpart Déterminer le taux d'évolution moyen annuel de 2007 à 2010.
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\begin{solution}
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On appelle $T_m$ le taux d'évolution moyenne annuel de 2007 à 2010. Entre ces deux années, il y a eut trois évolutions donc
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\begin{eqnarray*}
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(1+T_m)^3 & = & 1 + \frac{130,55}{100} \\
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(1 + T_m)^3 &=& 2,3055 \\
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1 + T_m &=& (2,3055)^{1/3} = 1,3210 \\
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T_m &=& 1,3210 - 1 = 0,3210 = 32,10\%
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\end{eqnarray*}
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Donc le taux d'évolution moyen est de 32,10\%
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\end{solution}
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\end{subparts}
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\end{parts}
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\end{questions}
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\newpage
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\begin{center}
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\textbf{Annexe 2 à rendre avec la copie}
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\textbf{\large Exercice 3 : tableau à compléter}
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\definecolor{gristab}{gray}{0.80}
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\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{4.3cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
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&A&B&C&D&E&F&G\\ \hline
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1&Année&2003 &2004 &2005 &2006 &2007 &2008\\ \hline
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2&Rang de l'année $\left(x_{i}\right)$& 0 &1 &2 &3 &4 &5\\ \hline
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3&Part d'énergie renouvelable dans la production d'électricité de l'Union Européenne, en \% $\left(y_{i}\right)$& 12,9 &13,9 &14 &14,6 &15,5 &16,7\\ \hline
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4&Taux annuel d'évolution de la production d'électricité de l'Union Européenne, en \% &\multicolumn{1}{>{\columncolor{gristab}}c|}{\quad}&7,8&&&&\\ \hline
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\end{tabularx}
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\textbf{\large Exercice 3 : graphique à compléter}
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\vspace{0,5cm}
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Part d'énergie renouvelable dans la production d'électricité par année dans l'Union Européenne à 27 pays depuis 2003 (\emph{Source : Eurostat})
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\includegraphics[scale=0.52]{./fig/graph}
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\end{center}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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