2014-2015/T_STMG/DS/DS_0506/DS_0506.tex

\documentclass[a4paper,10pt, table]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/tools/style/classDS}
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% Title Page
\titre{4}
% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
\classe{\TSTMG}
\date{06 mai 2015}
\duree{1 heure}
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% DS DSCorr DM DMCorr Other 
\typedoc{DS}

\begin{document}
\maketitle

Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.

\begin{questions}
    \question[20]
        
    \emph{Les parties A, B et C sont dans une large mesure indépendantes}
    \medskip
    
    On s'intéresse à la production d'acier par un fabricant donné. La production journalière varie entre 0 et 18 tonnes d'acier.

    \begin{EnvFullwidth}
        \textbf{Partie A : lecture graphique}
    \end{EnvFullwidth}
    
    La fonction $C$ représentée graphiquement ci-dessous donne le coût total de production en euros en fonction du nombre de tonnes d'acier produites par jour.

    \begin{center}
    \begin{tikzpicture}[scale=1.2]
        \tkzInit[xmin=0,xmax=18,
         ymin=0,ymax=2500,
         xstep=2,ystep=500]
        \tkzAxeX[thick, poslabel=right,label=]
        \tkzAxeY[thick, poslabel=above,label=]
        \tkzDrawX[label={\textit{Nombre de tonnes d'acier produites par jour}},below= -12pt]
        \tkzDrawY[label={\textit{Coût en \euro}}, below=-10pt]
        \tkzGrid
        \tkzFct[domain=0:18,color=blue, very thick]{\x*\x*\x - 24*\x*\x+217*\x+200}
    \end{tikzpicture}
    \end{center} 

    À l'aide de cette courbe, répondre aux questions suivantes avec la précision permise par le graphique :
    
    \begin{parts}
        \part Quel est le coût total de production pour 12 tonnes d'acier produites par jour ? 
        \part Combien de tonnes d'acier sont produites par jour pour un coût total de production de 1600~\euro{} ?
    
    \begin{EnvFullwidth}
        \textbf{Partie B : étude du bénéfice}
    \end{EnvFullwidth}

    La fonction coût de la partie précédente est la fonction définie sur l'intervalle [0~;~18] par :
    
    \[C(x) = x^3 - 24x^2 + 217x + 200.\]
    
    On suppose que, chaque jour, tout l'acier est vendu, au prix de 100~\euro{} la tonne.

    
    
        \part 
            \begin{subparts}
                \subpart Calculer la recette, en euros, réalisée pour la vente de 12 tonnes d'acier. 
                \subpart On appelle $R(x)$ la recette, en euros, réalisée pour la vente de $x$ tonnes d'acier.
                
        Déterminer l'expression de $R(x)$ en fonction de $x$. 
                \subpart On appelle $B(x)$ le bénéfice (éventuellement négatif), en euros, réalisé pour la vente de $x$ tonnes d'acier. Justifier que $B(x) = - x^3 + 24x^2 - 117x - 200$.
            \end{subparts} 
        \part
            \begin{subparts}
                \subpart Déterminer une expression $B'(x)$ de la fonction dérivée de $B$ sur l'intervalle [0~;~18]. 
                \subpart Justifier le tableau de signes de $B'(x)$ suivant :
                    \begin{center}
                        \begin{tikzpicture}
                            \tkzTabInit[espcl=2]{$x$/1,Signe de $B'(x)$/1}{0, 3, 13, 18}
                            \tkzTabLine{, -, z, +, z, -, }
                        \end{tikzpicture}
                    \end{center} 
                \subpart En déduire le tableau de variations complet de la fonction $B$. 
            \end{subparts}

        \part On a préparé une feuille de calcul (voir fin du sujet) où figure le bénéfice total (en euros), en fonction de la quantité d'acier produite par jour. 
            \begin{subparts}
                \subpart Proposer une formule à saisir dans la cellule B2 permettant, par recopie vers le bas, de compléter les cellules de B3 à B20. 
                \subpart Proposer de même une formule à saisir dans la cellule D2, permettant, par recopie vers le bas, de compléter les cellules de D3 à D20.
            \end{subparts} 
        \part Utiliser les résultats figurant dans la feuille de calcul pour répondre aux questions suivantes: 
            \begin{subparts}
                \subpart Quelles sont les productions, en nombres entiers de tonnes, permettant au fabricant de faire du profit? 
                \subpart Quelle est la quantité, en nombre entier de tonnes, qui assure un bénéfice total maximal ?
            \end{subparts} 
        \part Répondre par \og Vrai\fg{} ou par \og Faux\fg{} aux affirmations suivantes, en justifiant votre choix : 
            \begin{subparts}
                \subpart Plus la production d'acier est grande, plus le bénéfice est grand. 
                \subpart Si la production est doublée, le bénéfice total est également doublé.
            \end{subparts} 
    \end{parts}

    \vfill
    \begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\columncolor{lightgray}}c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
        \rowcolor[gray]{0.7}&  A &B &C &D\\ \hline 
        1&\small Tonnes d'acier par jour&\small Recette&\small Coût&\small Bénéfice total en \euro\\ \hline 
        2 &0 &0 &200 &- 200\\ \hline 
        3 &1 &100 &394 &- 294\\ \hline 
        4 &2 &200 &546 &- 346\\ \hline 
        5 &3 &300 &662 &- 362\\ \hline 
        6 &4 &400 &748 &- 348\\ \hline 
        7 &5 &500 &810 &- 310\\ \hline 
        8 &6 &600 &854 &- 254 \\ \hline
        9 &7 &700 &886 &- 186\\ \hline 
        10 &8 &800 &912 &- 112\\ \hline 
        11 &9 &900 &938 &- 38\\ \hline 
        12 &10 &\np{1000} &970 &30\\ \hline 
        13 &11 &\np{1100} &\np{1014} &86\\ \hline 
        14 &12 &\np{1200} &\np{1076} &124\\ \hline 
        15 &13 &\np{1300} &\np{1162} &138\\ \hline 
        16 &14 &\np{1400} &\np{1278} &122\\ \hline 
        17 &15 &\np{1500} &\np{1430} &70\\ \hline 
        18 &16 &\np{1600} &\np{1624} &- 24\\ \hline 
        19 &17 &\np{1700} &\np{1866} &- 166\\ \hline 
        20 &18 &\np{1800} &\np{2162} &- 362\\ \hline
    \end{tabularx}
    \vfill

\end{questions}

\end{document}

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