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\documentclass[a4paper,10pt, table]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2014-2015/tools/style/classDS}
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\usepackage{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2014-2015/2014_2015}
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% Title Page
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\titre{Dérivation et fonction}
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% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
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\classe{\TSTMG}
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\date{avril 2015}
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%\duree{1 heure}
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%\sujet{%{{infos.subj%}}}
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% DS DSCorr DM DMCorr Corr
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\typedoc{DM}
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\printanswers
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\begin{document}
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\maketitle
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\begin{questions}
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\question
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% Annale Bac STMG Antilles juin 2014 exo 3 /!\ Modifiée pour rendre la première partie plus intéressante.
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On s'intéresse à la propagation d'une maladie dans une ville de 130000 habitants. La fonction $f$ définie sur l'intervalle $\intFF{0}{40}$ par
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\begin{align*}
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f(x) &= -30t^2 + 1260t + 4000
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\end{align*}
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modélise le nombre de personnes touchées par la maladie au bout de $t$ jours de suivi de la propagation.
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\begin{parts}
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\part \textit{ Répondre aux questions ci-dessous par lecture graphique. Les résultats seronts justifés en commentant le travail réalisé sur le graphique et en y laissant les traits de construction.}
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\begin{subparts}
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% 1
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\subpart Déterminer le nombre de personnes touchées par la maladie au bout de 15 jours de suivi de la propagation.
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\begin{solution}
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Au bout de 15 jours de suivi de la propagation, le nombre de personnes touchées par la maladie est d'environ $\boxed{\textcolor{red}{\np{16000}}}$ (voir traits de constructions en rouge sur l'annexe).
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\end{solution}
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% 1
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\subpart Le conseil municipal a décidé de fermer les crèches de la ville lorsque plus de 12\% de la population est touchée par la maladie. Justifier qu'à partir de 15600 personnes contaminées, le conseil municipal ferme les crèches.
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\begin{solution}
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On calcule ce que représente 12\% de la population:
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\begin{align*}
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130 000 \times \frac{12}{100} = 15 600
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\end{align*}
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Comme la ville ferme les crèches lorsque plus de 12\% de la ville est touchée, elle ferme les crèches quand plus de \np{15600} personnes sont contaminées.
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\end{solution}
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% 1
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\subpart Pendant combien de jours les crèches ont-elles été fermée?
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\begin{solution}
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Pour répondre à cette question, il faut déterminer quels sont les jours où la population touchée par la maladie est supérieur à \np{15600} (voir traits de construction en vert sur l'annexe). On peut lire sur le graphique, qu'entre le 13e jour et le 28e jour, il y a plus de \np{15600} personnes touchées, donc les crèches sont fermées pendant 15jours.
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\end{solution}
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% 1
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\subpart Combien de personnes, au maximum, on été touchée par la maladie?
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\begin{solution}
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D'après le graphique (traits en jaune), au maximum de l'épidémie, il y eu \np{17000} personnes malades.
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\end{solution}
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\end{subparts}
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\part
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\begin{subparts}
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% 1
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\subpart Déterminer,pour tout réel $t$ de l'intervalle $\intFF{0}{40}$, l'expression de $f'(t)$, où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.
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\begin{solution}
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$f(t) = - 30t^2 + \numprint{1260}t +\numprint{4000}$ donc $f'(t)=-30\times 2t+\numprint{1260}$=\boxed{\textcolor{red}{-60t+\numprint{1260}}}.
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\end{solution}
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% 2
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\subpart Étudier le signe de $f'(t)$ pour $t$ variant dans l'intervalle $\intFF{0}{40}$. En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
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\begin{solution}
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on étudie le signe de la dérivée:
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\begin{align*}
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f'(t) > 0 &\equiv -60t + 1260 > 0 \\
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&\equiv -60t > -1260 \\
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&\equiv t < \frac{-1260}{-60} & \mbox{On change le sens de l'inégalité car on a divisé par -60} \\
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&\equiv t < 21
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\end{align*}
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Donc $f'(t)$ est positif quand $t$ est plus petit que 21.
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%En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
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Le tableau de variation de $f$ est donc
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}
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\tkzTabInit[espcl=2]{$t$/1,Signe de $f'(t)$/1, Variations de $f(t)$/2}{0, 21, 40}
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\tkzTabLine{, +, z, -, }
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\tkzTabVar{-/{4000},+/{17230}, -/{6400}}
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|
\end{tikzpicture}
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\end{center}
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|
\end{solution}
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% 1
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\subpart Au bout de combien de jours de suivi de la propagation le nombre de personnes touchées par la maladie est-il maximal?\\
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Combien y a-t-il alors de personnes touchées?
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\begin{solution}
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Le nombre de personnes touchées par la maladie est maximal \textbf{\textcolor{red}{au bout de 20 jours}}.
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Le nombre de personnes touchées est alors de $\textcolor{red}{\np{16000}}$
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\end{solution}
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\end{subparts}
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\end{parts}
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\vfill
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
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\tkzInit[xmin=0,xmax=40,
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ymin=0,ymax=17500,
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xstep=5,ystep=2500]
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\tkzAxeX[thick, poslabel=right,label=]
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\tkzAxeY[thick, poslabel=above,label=]
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\tkzDrawX[label={\textit{Nombre de jours}},below= -12pt]
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\tkzDrawY[label={\textit{Nombre de personnes touchées}}, below=-10pt]
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\tkzGrid
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\tkzFct[domain=0:40,color=blue, very thick]{-30*\x*\x + 1260*\x+4000}
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\draw[color = red, very thick] (3,0) -- (3,6.45) -- (0,6.45)node [left] {$\approx 16 000$};
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\draw[color = green, very thick] (0,6.24) node[left] {15600} -- (8,6.24);
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\draw[color = green, very thick] (5.67,6.24) -- (5.67,0) node [above right] {$\approx 28$};
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\draw[color = green, very thick] (2.72,6.24) -- (2.72,0) node [above left] {$\approx 14$};
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\draw[color = yellow, very thick] (4.25, 0) node[above right] {$\approx 21$} -- (4.25, 6.89) node [above] {Maximum} -- (0, 6.89) node [left] {$\approx \np{17000}$};
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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\vfill
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\pagebreak
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\question
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% Metropole juin 2014 exo 1
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Un parc d'attractions est ouvert au public de 9~h à 21~h.
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La courbe $C$ donnée ci-dessous représente l'évolution du nombre de visiteurs attendus durant une journée
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\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
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\tkzInit[xmin=8,xmax=22,
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ymin=0,ymax=500,
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xstep=1,ystep=50]
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\tkzAxeX[thick, poslabel=right,label=]
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\tkzAxeY[thick, poslabel=above,label=]
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\tkzDrawX[label={\textit{Heure de la journée}},below= -12pt]
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\tkzDrawY[label={\textit{Nombre de visiteur}}, below=-10pt]
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\tkzGrid
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\tkzFct[domain=9:21,color=blue, very thick]{-8*\x*\x+232*\x -1282}
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\end{tikzpicture}
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\begin{parts}
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\part
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\begin{subparts}
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\subpart Recopier le tableau suivant et le compléter avec la précision permise par le graphique ci-dessus.
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\begin{center}
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\begin{tabularx}{0.55\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
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Heure de la journée&11 h&12 h\\ \hline
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Nombre de visiteurs attendus &300&350\\ \hline
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\end{tabularx}
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\end{center}
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\subpart Quel est le taux d'évolution, en pourcentage arrondi à 0,1\,\%, du nombre de visiteurs attendus entre 11 heures et 12 heures ?
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\begin{solution}
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Le taux d'évolution du nombre de visiteurs attendus entre 11 heures et 12 heures est :
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\begin{eqnarray*}
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\frac{350-300}{300}=\frac{50}{300}=\frac{1}{6}\approx \boxed{\textcolor{red}{16,7\:\%}}
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\end{eqnarray*}
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\end{solution}
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\end{subparts}
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\part Lorsque le nombre de visiteurs est supérieur ou égal à 300, un fond musical est diffusé par les haut-parleurs du parc.
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Un touriste aimerait faire la visite en profitant du fond musical.
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Quels horaires peut-on conseiller à ce touriste pour se rendre au parc d'attractions ?
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\begin{solution}
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Le nombre de visiteurs est supérieur à 300 entre 11 h et 18 h, donc le visiteur, s'il veut bénéficier d'un fond musical, doit venir \textbf{entre 11 h et 18 h}.
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\end{solution}
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\part La courbe $C$ ci-dessus est la représentation graphique sur l'intervalle [9~;~21] de la fonction $f$ définie par
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\begin{align*}
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f(x) = - 8x^2 + 232x - 1282
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\end{align*}
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\begin{subparts}
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\subpart Déterminer les nombres de visiteurs attendus à 11~h et à 12~h.
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\begin{solution}
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$f(11)=302$ donc le nombre de visiteurs attendus à 11 h est de $\boxed{\textcolor{red}{302}}$.\\
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$f(12)=350$ donc le nombre de visiteurs attendus à 12 h est de $\boxed{\textcolor{red}{350}}$\\
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\end{solution}
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Comment peut-on expliquer les éventuels écarts avec les résultats de la question 1. a. ?
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\begin{solution}
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Une lecture graphique est imprécise, ce qui explique la petite erreur sur le nombre de visiteurs à 11 h.
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\end{solution}
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\subpart Calculer $f'(x)$, où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$.
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\begin{solution}
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On dérive $f$
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\begin{eqnarray*}
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f'(x)&=&-8\times 2x+232=-16x+232
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\end{eqnarray*}
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\end{solution}
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\subpart En déduire, par le calcul, l'heure à laquelle le nombre de visiteurs attendus est maximal, et donner la valeur de ce maximum.
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\begin{solution}
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\begin{align*}
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f'(x) > 0 &\equiv -16x + 232 > 0\\
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&\equiv -16x > -232 \\
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&\equiv x < \frac{-232}{-16} & \mbox{ On change le sens de l'inégalité car on a divisé par -16} \\
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&\equiv x < 14,5
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\end{align*}
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Donc $f'(x)$ est positif quand $x$ est plus petit que 14,5.
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On en déduit le tableau de variation de $f$ :
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}
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\tkzTabInit[espcl=2]{$t$/1,Signe de $f'(t)$/1, Variations de $f(t)$/2}{9, 14.5, 21}
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|
\tkzTabLine{, +, z, -, }
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|
\tkzTabVar{-/{158},+/{400}, -/{62}}
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|
\end{tikzpicture}
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|
\end{center}
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\textbf{Le maximum de visiteurs est atteint à 14 h 30 et est de 400 visiteurs.}
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\end{solution}
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\end{subparts}
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\end{parts}
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\pagebreak
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\question
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% Antilles 2013 juin
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Une entreprise possède une chaîne de fabrication capable de fabriquer en une semaine entre 6000 et 32000 pièces identiques. Le coût de fabrication, en euros, de $x$ milliers de pièces, pour $x$ compris entre $6$ et $32$, est noté $C(x)$ où $C$ est la fonction définie sur l'intervalle [6~;~32] par
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\[C(x) = 2x^3 - 108x^2 + 5060 x - 4640.\]
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La représentation graphique de la fonction $C$ est donnée en annexe.
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Toutes les pièces produites sont vendues au prix de 3,5~\euro{} l'unité.
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Pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [6~;~32], on note $R(x)$ le montant de la vente en euros de $x$ milliers de pièces. Le bénéfice $B(x)$, en euros, pour la production et la vente de $x$ milliers de pièces est
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$B(x) = R(x) - C(x)$.
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\bigskip
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\begin{parts}
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\part Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [6~;~32] : $R(x) = 3500x$.
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\begin{solution}
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Comme chaque pièce produites est vendue à 3,5\euro et que $x$ est en miliers de pièces, on en déduit $R(x) = 3,5 \times 1000\times x = 350x$.
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\end{solution}
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\part Représenter la fonction $R$ sur l'annexe, à remettre avec la copie.
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\begin{solution}
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En rouge sur l'annexe.
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\end{solution}
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|
\part Par lecture graphique, et avec la précision permise par celui-ci, répondre aux questions suivantes. On laissera apparents tous les tracés utiles aux lectures graphiques.
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\begin{subparts}
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\subpart Quel nombre de pièces produites correspond à un coût de 30000~\euro{} ?
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\begin{solution}
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|
Un coût de \np{30000}\euro correspond à 8 pièces produites.
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\end{solution}
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|
\subpart Quel nombre minimal de pièces fabriquées permet d'avoir un bénéfice positif ou nul ?
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\begin{solution}
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Le bénéfice est nul quand les courbes rouges et bleu se rencontrent. Ici, elles se rencontrent pour environ 18 pièces produites.
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\end{solution}
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\end{subparts}
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\part Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [6~;~32] :
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\[B(x)= - 2x^3 + 108x^2 - 1560x + 4640.\]
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\begin{solution}
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Pour calculer les bénéfices on utilise la formule \textbf{Bénéfices = Recettes - Coûts} donc
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\begin{eqnarray*}
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B(x) & = & R(x) - C(x) = 3500x - \left( 2x^3 - 108x^2 + 60x - 4640 \right) \\
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& = & 3500x - 2x^3 + 108x^2 - 1560x + 4640 \\
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& = & -2x^3 + 108x^2 - 1560x + 4640
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\end{eqnarray*}
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On retrouve bien la formule proposée dans l'énnoncé.
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\end{solution}
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\part On désigne par $B'$ la fonction dérivée de la fonction $B$.
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\begin{subparts}
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\subpart Calculer $B'(x)$.
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\begin{solution}
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On dérive $B$
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\begin{eqnarray*}
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B'(x) & = & -2\times 3 \times x^{3-1} + 108 \times 2 \times x^{2-1} - 1560 + 0 \\
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& = & -6x^2 + 216x - 1560
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\end{eqnarray*}
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\end{solution}
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\subpart Vérifier que $B'(x) = (- 6x + 60)(x - 26)$.
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\begin{solution}
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Pour répondre à cette question, on va développer l'expression proposée dans la question.
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\begin{eqnarray*}
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(-6x + 60)(x - 26) & = & -6x \times x - 6x\times (-26) + 60 \times x + 60 \times (-26) \\
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& = & -6x^2 + 156x + 60x + 1560 \\
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|
& = & -6x^2 + 216x + 1560 \\
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|
& = & B'(x)
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\end{eqnarray*}
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\end{solution}
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\end{subparts}
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\part
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\begin{subparts}
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\subpart Étudier le signe de $B'(x)$ sur l'intervalle [6~;~32].
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\begin{solution}
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Comme $B'(x)$ est un polynôme du 2nd degré on utilise la méthode du discriminant:
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\begin{eqnarray*}
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\Delta & = & b^2 - 4ac = 216^2 - 4\times (-6) \times (-1560) = 9216
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\end{eqnarray*}
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Comme $\Delta$ est positif, il y a deux racines
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\begin{eqnarray*}
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x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-216 - \sqrt{9216}}{2\times (-6)} = 26 \\
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x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-216 + \sqrt{9216}}{2\times (-6)} = 10
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\end{eqnarray*}
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Comme $a = -6$ négatif, on en déduit le tableau de signe de $B'$
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}
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\tkzTabInit[espcl=2]{$x$/1,Signe de $B'(x)$/1}{6, 10, 26, 32}
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\tkzTabLine{, -, z, +, z, -, }
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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\end{solution}
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\subpart En déduire le tableau de variation de la fonction B sur l'intervalle [6~;~32].
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\begin{solution}
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On déduit du tableau de signe trouvé à la question précédente le tableau de variation de $B$
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}
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\tkzTabInit[espcl=2]{$x$/1,Signe de $B'(x)$/1, Variations de $B(x)$/2}{6, 10, 26, 32}
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\tkzTabLine{, -, z, +, z, -,}
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\tkzTabVar{+/{-1264},-/{-2160}, +/{1936}, -/{-224}}
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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\end{solution}
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\end{subparts}
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\part Quel est le bénéfice maximal réalisable par l'entreprise? Donner le nombre de pièces à produire réalisant ce maximum.
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\begin{solution}
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D'après le tableur de variations, le bénéfice maximal est de 1936 qui est atteind pour 26 000 pièces vendues.
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\end{solution}
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\end{parts}
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%\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.0001cm}
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%\begin{pspicture}(-2,-5000)(33,115000)
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%\multido{\n=0+2}{17}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,115000)}
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%\multido{\n=0+5000}{24}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(32,\n)}
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%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=10000]{->}(0,0)(-1.5,-5000)(33,115000)
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%\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{6}{32}{x 3 exp 2 mul x dup mul 108 mul sub 5040 x mul add 4640 sub}
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%\rput(30,95000){$y = C(x)$}\uput[dl](0,0){O}
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%\end{pspicture}
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\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
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\tkzInit[xmin=0,xmax=32,
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ymin=0,ymax=115000,
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xstep=2,ystep=10000]
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\tkzAxeX[thick, poslabel=right,label=]
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\tkzAxeY[thick, poslabel=above,label=]
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\tkzGrid
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\tkzText[color=blue](30,95000){$y = C(x)$}
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\tkzFct[domain=6:32,color=blue, very thick]{2*\x*\x*\x - 108*\x*\x + 5060*\x - 4640}
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\tkzText[color=red](24,95000){$y = R(x)$}
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\tkzFct[domain=6:32,color=red, very thick]{3500*\x}
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\end{tikzpicture}
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\end{questions}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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