2014-2015/1S/DM/Cahier_vacances/tpl_proba.tex

\question
    \begin{center}
        \textbf{Durée : 10min \hspace{3cm} Thème : Ensembles}
    \end{center}
    Soit $\Omega$ l'univers et $A$ et $B$ deux évènements de $\Omega$ tels que $p(A) = 0.5$, $p(B) = 0.6$ et $p(A\cap B) = 0.3$.\\

    Calculer $p(\overline{A})$, $p(\overline{B})$ et $p(A\cup B)$.

\question
    \begin{center}
        \textbf{Durée : 20min \hspace{3cm} Thème : Ensembles}
    \end{center}
    Soit $\Omega$ l'univers et $A$ et $B$ deux évènements de $\Omega$ tels que $p(A) = 0.7$, $p(B) = 0.3$ et $p(A\cup B) = 0.8$.\\
    \begin{parts}
        \part Calculer $p(\overline{A})$, $p(\overline{B})$ et $p(A\cap B)$.
        \part En déduire $p(\overline{A\cap B})$. faire un diagramme pour représenter $\overline{A\cap B}$.
    \end{parts}

\question
    \begin{center}
        \textbf{Durée : 30min \hspace{3cm} Thème : Ensembles}
    \end{center}
    Le schéma suivant représente les défauts présent sur un ensemble de 300 voitures. Les effectifs de chaque groupe sont indiqués.

    On choisit au hasard une voiture parmi toutes ces voitures.

    On note $M$ et $P$ les événements:
    \begin{itemize}
        \item $M = \left\{ \mbox{ le moteur est cassé } \right\}$
        \item $P = \left\{ \mbox{ le pneu est crevé } \right\}$
    \end{itemize}
    \begin{center}
        \includegraphics[scale=0.3]{fig/patates_proba_2nd}
    \end{center}

    \begin{parts}
        \part Quelle est la probabilité d'avoir une voiture sans défauts?
        \part Décrire (en français) les ensembles suivants
            \begin{eqnarray*}
                M \cup P \qquad M \cup \overline{P} \qquad M \cap P \qquad \overline{M \cap P} 
            \end{eqnarray*}
        \part Calculer la probabilité de $M$, $P$, $M\cap P$, $M \cup P$.
        \part En déduire la probabilité de $\overline{M \cap P}$;
    \end{parts}

\question
    \begin{center}
        \textbf{Durée : 30min \hspace{3cm} Thème : Ensembles}
    \end{center}
    \begin{minipage}{0.5\textwidth}
    La mère de la famille Aguisou, fait le bilan de ce qu'il y a dans son caddie. Elle a acheté en tout 122 articles qu'elle a classés en fonction de 3 critères.
    \begin{itemize}
        \item $A = \left\{ \mbox{ l'article est de la nourriture } \right\}$
        \item $B = \left\{ \mbox{ l'article coûte plus de 20 \euro} \right\}$
        \item $C = \left\{ \mbox{ l'article a été choisi par sa fille Zoé } \right\}$
    \end{itemize}
    Ce bilan est représenté sur le diagramme ci-contre.
    \end{minipage}
    \begin{minipage}{0.5\textwidth}
        \includegraphics[scale=0.3]{./fig/diag}
    \end{minipage}

    Vous répondrez aux questions suivantes en justifiant soit avec un calcul soit avec un diagramme soit avec les deux.
    \begin{parts}
        \part Les évènements $A \cup B$ et $A \cap C$ sont-ils disjoints?
        \part Décrire, en français, l'ensemble $\overline{ A \cup B}$ et colorier cet ensemble.
        \part Les ensembles $A \cap B$ et $C$ sont-ils disjoints?
        \part On choisit au hasard un article dans le caddie. Calculer la probabilité de $\overline{C} \cap B$.
    \end{parts}

\question
    \begin{center}
        \textbf{Durée : 30min \hspace{3cm} Thème : Ensembles}
    \end{center}
    Lors d'un étude sur l'équipement des foyers français, 130 familles ont été interrogées.

    77 familles ont un appareil photo numérique, 100 un ordinateur portable et 26 familles n'ont rien.
    \begin{parts}
        \part Faire un diagramme pour représenter la situation.
        \part Combien de familles ont à la fois un appareil photo numérique et un ordinateur portable?
        \part On note $A = \left\{ \mbox{ a un appareil photo numérique } \right\}$ et $B = \left\{ \mbox{ a un ordinateur portable } \right\}$.
        \begin{subparts}
            \subpart Décrire en français l'ensemble $A\cup B$ et $A \cap B$. Refaire le diagramme, colorier l'ensemble $A\cap B$ et entourer l'ensemble $A \cup B$.
            \subpart On choisit au hasard une famille. Calculer $P(A)$, $P(A \cup B)$.
        \end{subparts}
    \end{parts}

% Loi binomiale
% -------------

\question
    \begin{center}
        \textbf{Durée : 30min \hspace{3cm} Thème : Loi binomiale}
    \end{center}
    Les responsables des ressources humaines d'une grande entreprise a mené une étude sur l'absenteisme des employés. La probabilité qu'une employé soit absent un jour donné des $p=0,05$.

    Soit $X$ la variable aléatoire qui, à un employé choisi au hasard, associe le nombre de jours d'absence sur une période de 100jours. On supposera que sur cette période, être absent un jour $j$ n'infuence pas l'absence sur un autre jour.

    \begin{parts}
        \part Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
        \part Calculer les éléments suivants:
        \begin{subparts}
            \subpart La probabilité que l'employé n'ai jamais été absent ($P(X = 0)$).
            \subpart La probabilité que l'employé ai été absent moins de 2 jours ($P(X\leq 2)$)
            \subpart $P(X = 10)$, interpréter le résultat.
            \subpart $P(X \leq 5)$, interpréter le résultat.
            \subpart $P(X \geq 5)$, interpréter le résultat.
        \end{subparts}
        \part Calculer l'espérance de $X$. Interpréter ce résultat.
    \end{parts}

\question 
    \begin{center}
        \textbf{Durée : 30min \hspace{3cm} Thème : Loi binomiale}
    \end{center}
    Une entreprise produit en série des machines à café. Un atelier produit 2,5\% de machines défectueuses. On prélève au hasard, dans la production de l'atelier, un lot de 50 machines. La production est suffisement importante pour que ce prélèvement soit assimilé à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui à un prélèvement de 50 machines associe le nombre de machines défectueuses.
    \begin{parts}
        \part Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire, préciser ses paramètres. Justifier.
        \part Calculer les éléments suivants:
        \begin{subparts}
            \subpart La probabilité d'avoir 10 machines défectueuses.
            \subpart La probabilité d'avoir moins de 3 machines défectueuses.
            \subpart La probabilité d'avoir plus de 10 machines défectueuses.
        \end{subparts}
        \part Calculer l'espérance de $X$. Interpréter ce résultat.
    \end{parts}

\question
    \begin{center}
        \textbf{Durée : 30min \hspace{3cm} Thème : Loi binomiale}
    \end{center}
    Une PME fabrique des bonbons. Dans ses stocks, il y a 67\% de bonbons jaunes et le reste est bleu.

    On prélève au hasard 15 bonbons. Le stocks est suffisement important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage sans remise.

    On concidère la variable aléatoire $X$ qui à un prélèvement associe le nombre de bonbons jaunes parmi les 15 bonbons tirés.
    \begin{parts}
        \part Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
        \part Calculer la probabilité qu'il y ait exactement 10 bonbons jaunes.
        \part Calculer la probabilité qu'il y ait au plus 13 bonbons jaunes.
        \part Calculer la probabilité qu'il y ait au moins 5 bonbons bleu.
        \part Calculer l'espérance de $X$. Interpréter ce résultat.
    \end{parts}