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\documentclass[a4paper,10pt, table]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/tools/style/classDS}
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\usepackage{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/2014_2015}
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\usepackage{tkz-tab}
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% Title Page
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\titre{DS 4}
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% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
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\classe{\premiereS}
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\date{15 décembre 2014}
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\duree{1 heure}
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%\sujet{%{{infos.subj%}}}
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% DS DSCorr DM DMCorr Corr
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\typedoc{DS}
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\printanswers
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\begin{document}
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\maketitle
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Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
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\begin{questions}
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\question[5]
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\includegraphics[scale=0.35]{./fig/dessin}
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$ABCD$ est un carré de centre $O$. Les points $E$, $F$, $G$ et $H$ sont les milieux respectifs des cotés $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$, $[DA]$.
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\begin{parts}
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\part Citer deux vecteurs égaux à $\vec{AB}$.
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\begin{solution}
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Deux vecteurs égaux à $\vec{AB}$: $\vec{HF}$ et $\vec{DC}$.
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\end{solution}
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\part Donner un vecteur colinéaire à $\vec{EH}$ mais qui ne lui soit pas égal.
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\begin{solution}
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$\vec{BD}$ est un vecteur colinéaire à $\vec{EH}$ car il a la même direction mais pas la même norme.
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\end{solution}
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\part En laissant les traits de construction, placer le point $M$ tel que $\vec{AM} = \vec{BG} - \vec{EH} + 3\vec{GC}$.
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\part On suppose que l'origine du repère est $O$ et que $D$ a pour coordonnées $(1;1)$.
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\begin{subparts}
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\subpart Calculer les coordonnées de $\vec{ED}$
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\begin{solution}
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Coordonnée de $\vec{ED}$:
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\begin{eqnarray*}
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\vec{ED} & = & \vectCoord{x_D - x_E}{y_D - y_E} \\
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&=& \vectCoord{1 - (-1)}{1 - 0}\\
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&=& \vectCoord{2}{1}
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\end{eqnarray*}
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\end{solution}
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\subpart Calculer les coordonnées de $M$.
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\begin{solution}
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\begin{eqnarray*}
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\vec{BG} - \vec{EH} + 3\vec{GC} & = & \vectCoord{2}{1} - \vectCoord{1}{1} + 3\vectCoord{0}{-1} \\
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&=& \vectCoord{2 - 1 + 3\times 0}{1 - 1 + 3 \times (-1)} \\
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&=& \vectCoord{1}{-3}
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\end{eqnarray*}
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Donc quand on fait subir la transformation $\vec{BG} - \vec{EH} + 3\vec{GC}$ au point $A$, on obtient les coordonnées sur points $M$:
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\begin{eqnarray*}
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x_M & = & x_A + 1 = -1 + 1 = 0\\
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y_M & = & y_A - 3 = 1 - 3= -2\\
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\end{eqnarray*}
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Les coordonnées de $M$ sont alors $(0;-2)$.
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\end{solution}
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\end{subparts}
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\end{parts}
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\question[4]
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Soit $f$ la fonction $f:x\mapsto - 4x^2 + 5x - 12$
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\begin{parts}
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\part En passant par la dérivée, tracer le tableau de variation de $f$.
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\begin{solution}
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Calcul de la dérivé de $f$
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\begin{eqnarray*}
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f'(x) & = & -4 \times 2\times x + 5 + 0 = -8x + 5
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\end{eqnarray*}
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On cherche les valeurs de $x$ tels que $f'$ soit positive
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\begin{eqnarray*}
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f'(x) > 0 & \equiv & -8x + 5 > 0 \\
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&\equiv& -8x > -5 \\
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&\equiv& x > \frac{5}{8}
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\end{eqnarray*}
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Car $-8$ est négatif donc on a changé le sens de l'inégalité.
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Ici $a$ est négatif donc les branches sont orientées vers le bas.
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}
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\tkzTabInit[espcl=2]{$x$/1,$f'(x)$/1, $f(x)$/1}{$-\infty$, $\frac{5}{8}$, $+\infty$}
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\tkzTabLine{, + , z, -,}
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\tkzTabVar{-/{}, +/{$\frac{-167}{16}$}, -/{} }
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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\begin{eqnarray*}
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f(\frac{5}{8}) & = & -4\times\left( \frac{5}{8} \right)^2 + 5\times \frac{5}{8} - 12 \\
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&=& \frac{-668}{64} = \frac{-167}{16}
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\end{eqnarray*}
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\end{solution}
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\part Combien de solution l'équation $f(x) = 0$ a-t-elle?
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\begin{solution}
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D'après le tableau de variations de la question précédente, on remarque que la maximum de $f$ est un nombre négatif. Donc l'équation $f(x) = 0$ n'a pas de solutions.
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\end{solution}
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\end{parts}
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\question[8]
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Un élève se rend à vélo au lycée distant de 3km de son domicile à une vitesse constante de 15km/h. Sur son parcours, il rencontre 6 feux tricolores non synchronisés. Pour chaque feu, la probabilité qu'il soit au vert est de $\dfrac{2}{3}$ et celle qu'il soit à l'orange ou au rouge est de $\dfrac{1}{3}$. Un feu rouge ou orange lui font perdre une minute et demi.
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On appelle $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre de feux verts rencontrés par l'élève sur son parcours.
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On appelle $T$ la variable aléatoire donnant le temps en minutes mis par l'élève pour se rendre au lycée.
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\begin{parts}
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\part
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\begin{subparts}
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\subpart Déterminer la loi de probabilité de $X$. Justifier.
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\begin{solution}
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$X$ suit une loi binomiale de paramètre 6 et $\frac{2}{3}$. En effet, chaque feu correspond à un épreuve de Bernouilli avec comme succès que le feu soit vert avec probabilité $\frac{2}{3}$. Chacune de ces expériences sont indépendantes (les feux ne sont pas synchronisés). Et on la répète 6 fois.
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\end{solution}
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\subpart Est-ce que $T$ suit une loi binomiale? Justifier.
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\begin{solution}
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$T$ ne suit pas une loi binomiale car elle mesure un temps et ne compte pas le nombre de succès ou d'échecs.
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\end{solution}
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\end{subparts}
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\part
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\begin{subparts}
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\subpart Calculer la probabilité qu'il rencontre exactement 4 feux verts.
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\begin{solution}
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Probabilité d'avoir exactement 4 feux verts:
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\begin{eqnarray*}
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P(X = 4) & = & \coefBino{6}{4} \times \left( \frac{2}{3} \right)^4 \times \left( \frac{1}{3} \right)^2 \\
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&\approx& 0.33
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\end{eqnarray*}
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La probabilité qu'il ai exactement 4 feux vert est de 0,33.
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\end{solution}
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\subpart Combien de temps mettra-t-il alors pour aller au lycée?
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\begin{solution}
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15km/h correspond à $15:60 = 0,25km/min$.
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Si le parcourt se fait sans rencontrer de feu rouge (temps minimal de trajet pour parcourir les 3km)
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\begin{eqnarray*}
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\frac{3}{0,25} & = & 12 min
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\end{eqnarray*}
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Donc s'il rencontre 4 feux vert soit 2 feux rouges ou oranges
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\begin{eqnarray*}
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12 + 2\times1,5 & = & 15min
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\end{eqnarray*}
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Il mettra 15 minutes s'il rencontre 2 feux rouges ou oranges.
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\end{solution}
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\end{subparts}
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\part
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\begin{subparts}
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\subpart Calculer l'espérance de $X$. Interpréter le résultat.
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\begin{solution}
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Espérance de $X$: Comme $X$ suit une loi binomiale de paramètres 6 et $\frac{2}{3}$, on a
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\begin{eqnarray*}
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E[X] & = & 6\times \frac{2}{3} = 4
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\end{eqnarray*}
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En moyenne, il rencontrera 4 feux verts.
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\end{solution}
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\subpart Exprimer $T$ en fonction de $X$.
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\begin{solution}
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D'après la question 2.b, s'il ne rencontre pas de feux rouges ou orange il met 12 minutes. Chaque feu rouge rencontré lui fait perdre 1,5minutes de plus. Donc
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\begin{eqnarray*}
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T & = & 12 + (6-X)\times1,5\\
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T &=& 12 + 9 - 1,5X \\
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T &=& 21 - 1,5X
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\end{eqnarray*}
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\end{solution}
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\subpart Calculer l'espérance de $T$. Interpréter le résultat.
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\begin{solution}
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|
Espérance de $T$:
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\begin{eqnarray*}
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E[T] & = & 21 - 1,5\times E[X]\\
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E[T] & = & 21 - 1,5\times 4\\
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E[T] &=& 21 - 6 = 15
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\end{eqnarray*}
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Il mettra en moyenne 15 minutes pour aller au lycée.
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\end{solution}
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\end{subparts}
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\part L'élève part 17 minutes avant le début des cours. Quelle est la probabilité qu'il arrive à l'heure?
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\begin{solution}
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S'il y a que 2 feux verts, son parcours durera 18 minutes. S'il en a 3, son parcours durera 16,5min. Donc il sera en retard, dès que $X \leq 2$.
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\begin{eqnarray*}
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P(X\leq 2) & = & P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \\
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&=& 0,1
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\end{eqnarray*}
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Il a environ une chance sur 10 d'arriver en retard.
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\end{solution}
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\end{parts}
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\question[3]
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On suppose que $\coefBino{6}{2} = 15$. Vous répondrez aux questions suivantes sans utiliser la calculatrice.
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\begin{parts}
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\part Détailler le calcul de $\coefBino{6}{4}$ en rappelant la formule utilisée.
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\begin{solution}
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On utilise la formule: $\coefBino{n}{k} = \coefBino{n}{n-k}$. Donc
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\begin{eqnarray*}
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\coefBino{6}{4} & = & \coefBino{6}{6-4} = \coefBino{6}{2} = 15
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\end{eqnarray*}
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\end{solution}
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\part
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\begin{subparts}
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\subpart Combien vaut $\coefBino{6}{1}$.
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\begin{solution}
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D'après le cours
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\begin{eqnarray*}
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\coefBino{6}{1} & = & 6
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\end{eqnarray*}
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\end{solution}
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\subpart Détailler le calcul de $\coefBino{7}{2}$ en rappelant la formule utilisée.t
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\begin{solution}
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On utilise la formule de Pascale: $\coefBino{n+1}{k+1} = \coefBino{n}{k} + \coefBino{n}{k+1}$.
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Donc en remplaçant $n$ par 6 et $k$ par 1 on obtient
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\begin{eqnarray*}
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\coefBino{7}{2} & = & \coefBino{6}{1} + \coefBino{6}{2} = 6 + 15 = 21
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\end{eqnarray*}
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\end{solution}
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\end{subparts}
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\end{parts}
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\end{questions}
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|
\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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