2014-2015/1S/Proba_stat/Loi_bino/Cours/Loi_bino.tex

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% Title Page
\titre{Répétition d'expériences}
% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
\classe{\premiereS}
\date{Novembre 2014}

\begin{document}
\maketitle

\section{Répétition d'expériences}

\begin{Def}
    Deux expériences aléatoires sont dites \textbf{indépendantes} si le résultat de l'une n'a aucune influence sur le résultat de l'autre.
\end{Def}

\begin{Ex}
    Tirage avec ou sans remise
\end{Ex}

\begin{Rmq}
    La répétition d'expériences aléatoires se représente le plus souvent avec un arbre pondéré. Avec sur le noeud des branches les issues et sur les branches les probabilités correspondantes.
\end{Rmq}

\begin{Ex}
    Pièces défaillantes
\end{Ex}

\textbf{Exo asso} 7 8 9 p 295

\begin{Prop}
    Dans un arbre pondéré repésentant la répétition d'expériences, la probabilités d'une feuille est le produit des probabilités des branches depuis la racine.
\end{Prop}

\textbf{Exo asso} 10 11 p 295

\section{Variable de Bernoulli}
La variable aléatoire de Bernoulli est une variable aléatoire "type" qui permet de modéliser les situations de succès-échecs ou vrai-faux. On appelle ce genre d'expérience des épreuves de Bernoulli.
\begin{Def}
    Si $X$ une variable aléatoire qui suit une \textbf{loi de Bernoulli de paramètre $p$}, alors ça loi de probabilité est
    \begin{center}
        \begin{tabular}{|c|*{2}{c|}}
            \hline
        Valeur de $X$ & 0 (échec) & 1 (succès) \\
            \hline
            Probabilité & 1-p & p\\
            \hline
        \end{tabular}
    \end{center}
\end{Def}

\begin{Ex}
    \begin{itemize}
        \item On lance un dé non truqué. $X$ vaut 1 si le dé s'arrête sur 6, 0 sinon. Alors $X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p = \dfrac{1}{6}$.
        \item Dans une entreprise, il y a 60\% de femmes. On choisit au hasard une personne dans cette entreprise et on s'intéresse au fait que ce soit une femme ou pas. $X$ vaut 1 si c'est une femme, 0 sinon. Alors $X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p = 0.6$
    \end{itemize}
    
\end{Ex}


\begin{Prop}
    Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètre $p$ alors
    \begin{itemize}
        \item $E[X] = p$
        \item $V(X) = p(1-p)$
    \end{itemize}
\end{Prop}

\section{Schéma de Bernoulli}

\begin{Def}
    L'expérience aléatoire qui consiste à répéter $n$ fois de manière indépendante une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ est appelé \textbf{schéma de Bernoulli de paramètre n et p}.
\end{Def}

\begin{Ex}
    On choisit au hasard 10 personnes dans l'entreprise de l'exemple précédent. On estime qu'il y a suffisamment d'employés dans cette entreprise pour que le choix soit considéré comme un tirage avec remise. Cette expérience est donc un schéma de Bernoulli de paramètre 10 et 0.6.
\end{Ex}

\textbf{Exo asso} 12 13 14 p 295

\begin{Def}
    La loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ égale que nombre de succès au cours des $n$ épreuve de Bernoulli se nomme \textbf{loi de Bernoulli de paramètre n et p}. On la note $\mathcal{B}(n,p)$.
\end{Def}

\textbf{Exo asso} p397 autre bouquin


\section{Coefficient binomial}

\begin{Def}
    Soit $n$ un entier naturel non nul, $k$ un entier compris entre 0 et $n$. 
    
    Le \textbf{coefficient binomial} $\vectCoord{n}{k}$ est le nombre de chemin réalisant $k$ succès pour $n$ répétitions sur l'arbre d'un schéma de Bernoulli.
\end{Def}

\begin{Ex}
    On fait le calcul à la main pour des premiers cas simples.
\end{Ex}

\begin{Prop}
    Soit $n$ un entier naturel non nul, $k$ un entier compris entre 0 et $n$. 
    \begin{eqnarray*}
        \vectCoord{n}{k} & = & \vectCoord{n}{n-k}
    \end{eqnarray*}
\end{Prop}
\begin{Demo}
    Compter $k$ échecs revient à compter $n-k$ succès.
\end{Demo}

Regarder 23p296 avant de faire cette propriété.

\begin{Prop}
    Soit $n$ un entier naturel non nul, $k$ un entier compris entre 0 et $n-1$. 

    La \textbf{formule de Pascale:}
    \begin{eqnarray*}
        \vectCoord{n+1}{k+1} & = & \vectCoord{n}{k} + \vectCoord{n}{k+1}
    \end{eqnarray*}
\end{Prop}

\begin{Demo}
    Le dernier élément est soit $E$ soit $S$...
\end{Demo}

\begin{Prop}
    \textbf{Triangle de Pascal.}
\end{Prop}

\begin{Ex}
    Calcul des coefficients à partir du triangle
\end{Ex}

\begin{Ex}
    Calcul des coefficients avec la calculatrice.
\end{Ex}

\section{Loi binomiale}

\begin{Prop}
    Soit $X$ une variable aléatoire suivant $\mathcal{B}(n,p)$ alors pour tout $k$ entier compris entre 0 et $n$, on a 
    \begin{eqnarray*}
        P(X = k) & = & \coefBino{n}{k}p^k(n-p)^{n-k}
    \end{eqnarray*}
\end{Prop}

\begin{Ex}
    Un couple de vaches compte les voitures rouge au bord de la route. $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de voiture rouge. On suppose que $X$ suit une $\mathcal{B}(100, 0,3)$. Alors la probabilité pour qu'elles aient vue 40 voitures rouge est de 
    \begin{eqnarray*}
        P(X = 40) & = & \coefBino{100}{40} \times 0.3^{40} \times (1-0.3)^{100-40} \\
    \end{eqnarray*}
    On voit avec la calculatrice comment calculer $\coefBino{100}{40}$
\end{Ex}

\begin{Prop}
    Soit $X$ suit une $\mathcal{B}(n,p)$ alors
    \begin{eqnarray*}
        E[X] & = & np \\
        V(X) & = & np(1-p)
    \end{eqnarray*}
    
\end{Prop}


\end{document}

%%% Local Variables: 
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%%% TeX-master: "master"
%%% End: