2014-2015/1S/Analyse/gene_suite/Cours/gene_suites.tex

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% Title Page
\titre{Généralités sur les suites}
% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
\classe{\premiereS}
\date{Mai 2015}

\begin{document}
\maketitle

\section{Généralité sur les suites}

\begin{Def}
    Une suite numérique est un liste infinie de nombres réels, numérotés généralement avec des entiers naturelles (0, 1, 2, 3 ...) consécutifs.
\end{Def}

\begin{Ex}
    \begin{itemize}
        \item On note $u_n$ la taille d'une personne à son n-ième anniversaire.
            \begin{align*}
                u_0 = 50cm &\mbox{ taille à la naissance}\\
                u_1 = 85cm &\mbox{ taille pour son premier anniversaire} \\
                u_{17} = 180cm &\mbox{ taille pour son 17-ième anniversaire}
            \end{align*}

        \item On connait les suites arithmétiques: pour passer d'une terme au suivant, on ajoute toujours la même quantité.
        \item On connait les suites géométrique : pour passer d'une terme au suivant, on multiplie toujours par la même quantité.
    \end{itemize}
\end{Ex}

\paragraph{Deux façons de générer "classique" une suite}
\begin{itemize}
    \item \textbf{Explicitement}: quand pour calculer la valeur de $u_n$ on n'a besoin que de la valeur de $n$
        \begin{Ex}
            Soit $u_n = -n^2 + 3^n - 5$ pour calculer les termes $u_1$ et $u_{10}$ il suffit de remplacer $n$ par sa valeur.
            \begin{align*}
                u_1 &= -1^2 + 3^1 - 5 = -3 \\
                u_{10} &= -10^2 + 3^{10} - 5 = 58944
            \end{align*}
        \end{Ex}
    \item \textbf{Par récurence}: pour calculer un terme, il faut connaître les termes précédents.
        \begin{Ex}
            \begin{itemize}
                \item Soit $u_{n+1} = 2^{u_{n}}$ avec $u_0 = 1$ on calcule les premiers termes de la suite
                    \begin{align*}
                        u_1 &= 2^{u_0} = 2^1 = 2 \\
                        u_2 &= 2^{u_1} = 2^2 = 4 \\
                        u_3 &= 2^{u_2} = 2^4 = 16
                    \end{align*}
                \item Soit $u_{n+1} = u_n + n^2$ avec $u_0 = 2$ on calcule les premiers termes de la suite
                    \begin{align*}
                        u_1 &= u_0 + 0^2 = 2 \\
                        u_1 &= u_1 + 1^2 = 2 + 1^2 = 3 \\
                        u_2 &= u_2 + 2^2 = 3 + 4 = 7
                    \end{align*}
                \item (Suite de Fibonacci) Soit $u_{n+2} = u_{n+1} + u_n$ avec $u_0 = 1$ et $u_1 = 1$ on calcule les premiers termes de la suite
                    \begin{align*}
                        u_2 &= u_1 + u_0 = 1 + 1 = 2 \\
                        u_3 &= u_2 + u_1 = 2 + 1 = 3 \\
                        u_4 &= u_3 + u_2 = 3 + 2 = 5
                    \end{align*}
            \end{itemize}
        \end{Ex}
\end{itemize}

\paragraph{Reconnaître une suite arithmétique ou géométrique}
\begin{itemize}
    \item Pour démontrer qu'une suite est arithmétique, on calcule  l'écart entre deux termes consécutifs: $u_{n+1} - u_n$. Si cet écart ne dépend pas de $n$ alors la suite est arithmétique.
    \item Pour démontrer qu'une suite est géométrique, on calcule quotient de deux termes consécutifs: $\frac{u_{n+1}}{u_n}$. Si ce quotient ne dépend pas de $n$ alors la suite est géométrique.
\end{itemize}

\section{Variation d'une suite}

\begin{Def}
    Soit $(u_n)$ une suite numérique.
    \begin{itemize}
        \item $(u_n)$ est \textbf{croissante} ssi pour tout $n\in \N \qquad u_{n+1} \geq u_n$
        \item $(u_n)$ est \textbf{décroissante} ssi pour tout $n\in \N \qquad u_{n+1} \leq u_n$
        \item $(u_n)$ est \textbf{constante} ssi pour tout $n\in \N \qquad u_{n+1} = u_n$
    \end{itemize}
\end{Def}

\paragraph{Méthodes}
\begin{itemize}
    \item Si la suite est définie explicitement c'est à dire $u_n = f(n)$ alors $(u_n)$ a les mêmes variations que  $f(x)$ pour $x\in\R^+$ 

        \begin{Ex}
            Soit $u_n = n^2 + 1$. Cette suite est de la forme $u_n = f(n)$ avec $f(x) = x^2 + 1$. On va donc étudier les variations de $f$
            \begin{align*}
                f'(x) = 2x  \hspace{2cm}    f'(x) > 0 \equiv 2x > 0 \equiv x > 0
            \end{align*}
            Donc $f'(x)$ est positif quand $x$ est positif. On en déduit que la fonction $f$ est croissante sur $\R^+$ et donc que la suite $(u_n)$ est croissante. 
        \end{Ex}

    \item Si l'expression de $u_n$ contient essentiellement des additions ou des soustractions. Alors on étudie le signe de $u_{n+1} - u_n$.

        \begin{Ex}
            Soit $u_{n+1} = u_n^2 + u_n + 10$.
            \begin{align*}
                &u_{n+1} - u_n = u_n^2 + u_n + 10 - u_n = u_n^2 + 10 > 0 \\
                \mbox{Donc } & u_{n+1} - u_n > 0 \equiv u_{n+1} > u_n
            \end{align*}
            La suite $(u_n)$ est donc strictement croissante.
        \end{Ex}

    \item Si l'expression de $u_n$ contient essentiellement des multiplication ou des divisions et que $u_n$ n'est \textbf{jamais nulle}. Alors on compare $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ et 1.

        \begin{Ex}
            Soit $u_n = 5^n \times n$, donc $u_{n+1} = 5^{n+1} \times (n+1)$
            \begin{align*}
                \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{5^{n+1} \times (n+1)}{5^n \times n} = 5 \times \frac{n+1}{n} > 5 > 1
            \end{align*}
            Donc $\frac{u_{n+1}}{u_n} > 1$ donc $u_{n+1} > u_n$ donc la suite est croissante.
        \end{Ex}
\end{itemize}

\end{document}

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%%% TeX-master: "master"
%%% End: