2014-2015/T_STMG/Suites_fonctions/Derivation/Cours/derivation_revi.tex

\documentclass[a4paper,10pt, table]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2014-2015/tools/style/classDS}
\usepackage{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2014-2015/2014_2015}

% Title Page
\titre{Dérivation - révision}
% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
\classe{\TSTMG}
\date{Juin 2015}
%\duree{1 heure}
%\sujet{%{{infos.subj%}}}
% DS DSCorr DM DMCorr Other 
\typedoc{Other}

\begin{document}
\maketitle

\section{Tangente et dérivée}

\begin{Prop}
    Tableau des dérivées

    \begin{center}
        \begin{tabular}{|m{5cm}|m{5cm}|}
            \hline
            Fonction & Dérivée \\
            \hline
            $f(x) = a$ & $f'(x)  = $ \\
            \hline
            $f(x) = ax$ & $f'(x) = $ \\
            \hline
            $f(x) = ax^n$ & $f'(x) = $ \\
            \hline
            $f(x) = \frac{a}{x} $ & $f'(x) = $ \\
            \hline
        \end{tabular}
    \end{center}
\end{Prop}

\begin{Ex}
    Dérivation de $f(x) = 4x + 20 - \frac{10}{x}$
\\[2cm]
\end{Ex}

\begin{Prop}

    \begin{minipage}{0.4\textwidth}
        \begin{tikzpicture}
            \tkzInit[xmin=-3,xmax=3,xstep=1,
            ymin=-3,ymax=3,ystep=1]
            \tkzGrid
            \tkzAxeXY
            \tkzFct[thick,color=red,samples=30,domain = -3:3]{-\x*\x + 1}
            \draw (-2,-2) node[above left] {$\mathcal{C}_f$};
            \tkzFct[thick,color=blue,samples=30,domain = -3:3]{-2*\x+2}
            
        \end{tikzpicture}
    \end{minipage}
    \hspace{0.5cm}
    \begin{minipage}{0.5\textwidth}
    Soit $f$ une fonction, $\mathcal{C}_f$ sa représentation graphique  et $a$ un nombre. 
    
    Alors l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$ est donnée par
    \\[2cm]
    \end{minipage}
\end{Prop}

\begin{Ex}
    Calculer l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 1 quand la fonction est $f(x) = -x^2 + 1$
\end{Ex}

\clearpage


\begin{questions}
    \question

    \begin{center}
        \textbf{Exercice 4 du bac métropole septembre 2014}
    \end{center}
\textbf{Partie A}


On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l’intervalle [4~;~16] par :

\[f(x) = - x + 20 - \dfrac{64}{x}.\]
 
On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.


\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout $x$ de l’intervalle [4~;~16],  on a  :

\[f'(x) =\dfrac{64 - x^2}{x^2}.\]

\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le tableau de signes de $f'$ sur l’intervalle [4~;~16] est :

\begin{center}
    \begin{tikzpicture}
        \tkzTabInit[]{$x$/1,$f'(x)$/1}{4, 8, 16}
        \tkzTabLine{, +, z, -,}
    \end{tikzpicture}
\end{center}

		\item  Dresser le tableau de variations complet de la fonction $f$ sur l’intervalle [4~;~16].
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}


Une entreprise produit et commercialise entre 4 et 16 tonnes d’engrais par jour.

On admet que toute sa production est vendue.

Le bénéfice total (exprimé en centaines d’euros) réalisé pour une production de $x$ tonnes d’engrais, est modélisé à l’aide de la fonction $B$ définie par :

\[B(x) = - x^2 + 20x - 64.\]

\begin{enumerate}
\item En étudiant les variations de la fonction $B$ sur l’intervalle [4~;~16], déterminer la production permettant de réaliser un bénéfice total maximal.
Quel est ce bénéfice total ?
\item Le bénéfice unitaire pour une production de $x$ tonnes d’engrais est donné par $\dfrac{B(x)}{x}$.

Le bénéfice total et le bénéfice unitaire sont-ils maximaux pour la même production d’engrais ? On pourra utiliser les résultats obtenus dans la partie A.
\end{enumerate}

\question
On considère une fonction $f$ définie sur l'intervalle  $[-5~;~3]$ dont la représentation graphique $\mathcal{C}_{f}$ est donnée ci-dessous.

 
Soit A le point de $\mathcal{C}_{f}$ de coordonnées $(0~;~- 3)$, B et C les points de $\mathcal{C}_{f}$ d'abscisses respectivement égales à $1$ et à $- 3$. La tangente  $T_{0}$ en A à $\mathcal{C}_{f}$ passe par le point C. Les tangentes à $\mathcal{C}_{f}$ aux points B et C sont horizontales.


\begin{minipage}{0.5\textwidth}
    \begin{parts}
        \part $f(1)$ est égal à :
            \begin{multicols}{2}
                \begin{subparts}
                    \subpart $-3$
                    \subpart $2,3$
                    \subpart $-1$
                    \subpart $-4,6$
                \end{subparts}
            \end{multicols}

        \part Le nombre dérivé en 1 de la fonction $f$ est égal à : 

        \begin{multicols}{2}
            \begin{subparts}
                \subpart $-4,7$
                \subpart $-3$
                \subpart $0$ 
                \subpart $1$
            \end{subparts}
        \end{multicols}

        \part Une équation de  la tangente $T_{0}$ est : 
        \begin{multicols}{2}
            \begin{subparts}
                \subpart $y = - 3x - 3$
                \subpart $y =  - x - 3$
                \subpart $y = - 3x$
                \subpart $y = - 3$
            \end{subparts}
        \end{multicols}

        
        \part On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
        
        Sur l'intervalle $[-4~;~-2]$, on peut affirmer que :

        \begin{multicols}{2}
        \begin{subparts}
            \subpart$f'$ est positive
            \subpart$f'$ change de signe
            \subpart$f'$ est partout nulle
            \subpart$f'$ est négative
        \end{subparts}
        \end{multicols}
    \end{parts}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
    
    \begin{tikzpicture}[yscale = 0.7]
  \tkzInit[xmin=-5,xmax=3,xstep=1,
            ymin=-5,ymax=7,ystep=1]
    \tkzGrid
    \tkzAxeXY
    \tkzFct[thick,color=red,samples=100,domain = -5:3]{\x*\x*\x/3 + \x*\x - 3*\x - 3}
    \draw (3,6) node[below left] {$\mathcal{C}_f$};
    \draw (0,-3) node {$\bullet$} node[above right] {$A$};
    \draw (1,-4.65) node {$\bullet$} node[above] {$B$};
    \draw (-3,6) node {$\bullet$} node[above right] {$C$};
    \tkzFct[thick,color=blue,samples=30,domain = -5:3]{-3*\x - 3}
               
\end{tikzpicture}
\end{minipage}


\end{questions}

\end{document}

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%%% TeX-master: "master"
%%% End: