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% Title Page
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\titre{DM7}
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% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
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\classe{\premiereS}
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\date{28 mai 2015}
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%\duree{1 heure}
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\sujet{10}
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% DS DSCorr DM DMCorr Corr
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\typedoc{DM}
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%\printanswers
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\begin{document}
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\maketitle
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Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. Vous rendrez le sujet avec la copie.
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\begin{questions}
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\question
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||||
\begin{parts}
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||||
\part Dessiner un cercle trigonométrique et y placer les angles suivants (détailler les calculs si vous utilisez la mesure principale de l'angle)
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||||
\begin{multicols}{2}
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||||
\begin{parts}
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||||
\part $\alpha = \frac{11\pi}{6}$
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|
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\part $\beta= \frac{4\pi}{6}$
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\part $\delta = \frac{-4\pi}{4}$
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\part $\sigma = \frac{28\pi}{3}$
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||||
\end{parts}
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\end{multicols}
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\begin{solution}
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||||
\begin{tikzpicture}
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||||
\cercleTrigo
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||||
\draw (330.0:1) node[rotate = 330.0] {-} node[above] {$\alpha$};
|
||||
\draw (120.0:1) node[rotate = 120.0] {-} node[below] {$\beta$};
|
||||
\draw (-180.0:1) node[rotate = -180.0] {-} node[right] {$\delta$};
|
||||
\draw (1680.0:1) node[rotate = 1680.0] {-} node[left] {$\sigma$};
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\end{tikzpicture}
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\end{solution}
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\part On pose $||\vec{u}|| = 1 $, $||\vec{v}|| = 5 $ et $\vec{u}.\vec{v} = -1.5$ calculer les quantités suivantes
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||||
\begin{multicols}{2}
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||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart $(\vec{u} - 4 \vec{v})(\vec{v} + 10 \vec{u})$
|
||||
\subpart $||10\vec{u} - 4 \vec{v}||$
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\end{subparts}
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\end{multicols}
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\end{parts}
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\question
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\begin{parts}
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||||
\part Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes
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% Il y aura toujours 2 racines
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||||
% Il y aura toujours 2 racines
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||||
% Il y aura toujours une valeur interdite à ajouter
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||||
\begin{multicols}{3}
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||||
\begin{subparts}
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||||
\subpart $f:x \mapsto \dfrac{1}{- 9 x^{ 2 } + 7 x - 4}$
|
||||
\subpart $g:x\mapsto \dfrac{1}{2 \sqrt{x} - 6}$
|
||||
\subpart $h:x \mapsto \sqrt{- 5 x^{ 2 } + 4 x - 3}$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\end{multicols}
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||||
\begin{solution}
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||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
On constate que $f$ est une fonction de la forme
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f(x) = \frac{1}{u(x)} &\mbox{ avec }& u(x) = - 9 x^{ 2 } + 7 x - 4
|
||||
\end{eqnarray*}
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||||
Comme $u(x)$ est un polynôme, son domaine de définition est $D_u = \R$. Il faut maintenant déterminer les valeurs de $x$ tels que $u(x) = 0$.
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||||
On résout l'équation $- 9 x^{ 2 } + 7 x - 4 = 0$:
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||||
On commence par calculer le discriminant de $P(x) = - 9 x^{ 2 } + 7 x - 4$.
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
\Delta & = & b^2-4ac \\
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||||
\Delta & = & 7^{ 2 } - 4 -9 \times ( -4 ) \\
|
||||
\Delta & = & 49 - 4 \times 36 \\
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||||
\Delta & = & 49 - 144 \\
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||||
\Delta & = & -95
|
||||
\end{eqnarray*}
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||||
Alors $\Delta = -95 < 0$ donc $P$ n'a pas de racine donc l'équation $- 9 x^{ 2 } + 7 x - 4 = 0$ n'a pas de solution.
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||||
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||||
|
||||
Donc finalement, $f$ est définie sur $D_f = \R \backslash \left\{ , \right\}$.
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{solution}
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||||
\part Soit $f$ un fonction définie par
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||||
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||||
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
f:x\mapsto \frac{6 x^{ 2 } + 3 x + 7}{- x - 7}
|
||||
\end{eqnarray*}
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||||
\begin{subparts}
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||||
\subpart Déterminer le domaine de définition de $f$
|
||||
|
||||
\subpart Démontrer que la dérivé de $f$ est $f('x) = \dfrac{- 6 x^{ 2 } - 84 x - 14}{(- x - 7)^2}$
|
||||
\subpart Étudier le signe de $f$.
|
||||
\subpart Calculer l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ (la courbe représentative de $f$) au point d'abscisse $x = 1$.
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||||
\end{subparts}
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\end{parts}
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\question
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||||
Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\N$ par
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\begin{eqnarray*}
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||||
u_0 = -4 \hspace{2cm} u_{n+1} = - 5 u_n - 6
|
||||
\end{eqnarray*}
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||||
\begin{parts}
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||||
\part Calculer les 4 premiers termes de la suite $(u_n)$.
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||||
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||||
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||||
\part On pose $v_n = u_n + 1$.
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||||
\begin{subparts}
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||||
\subpart Calculer les 4 premiers termes de la suite $(v_n)$
|
||||
\subpart Démontrer que $(v_n)$ est géométrique de raison $q = -5$.
|
||||
\subpart En déduire l'expression explicite de $(v_n)$.
|
||||
|
||||
\subpart En déduire que l'expression explicite de $(u_n)$ est $u_n = -3 \times ( -5 )^{ n } - 1$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\part Écrire un algorithme qui prend en argument un rang \texttt{n} et qui renvoie la la valeur de $v_n$ (vous ne pouvez pas utiliser la formule explicite)
|
||||
\part Écrire un algorithme qui prend en argument un rang \texttt{n} et qui renvoie la la valeur de $u_0 + u_1 +\cdots + u_n$ ( vous pouvez utiliser la formule explicite)
|
||||
\end{parts}
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\end{questions}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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1S/DM/DM_0528/11_DM_0528.tex
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1S/DM/DM_0528/11_DM_0528.tex
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\documentclass[a4paper,12pt, table]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/tools/style/classDS}
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\usepackage{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/2014_2015}
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% Title Page
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\titre{DM7}
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% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
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\classe{\premiereS}
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\date{28 mai 2015}
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%\duree{1 heure}
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\sujet{11}
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% DS DSCorr DM DMCorr Corr
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\typedoc{DM}
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%\printanswers
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\begin{document}
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\maketitle
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||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. Vous rendrez le sujet avec la copie.
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\begin{questions}
|
||||
\question
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Dessiner un cercle trigonométrique et y placer les angles suivants (détailler les calculs si vous utilisez la mesure principale de l'angle)
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{parts}
|
||||
|
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|
||||
\part $\alpha = \frac{22\pi}{6}$
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|
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||||
\part $\beta= \frac{44\pi}{6}$
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||||
|
||||
\part $\delta = \frac{23\pi}{3}$
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|
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|
||||
\part $\sigma = \frac{46\pi}{3}$
|
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\end{parts}
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||||
\end{multicols}
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||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{tikzpicture}
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||||
\cercleTrigo
|
||||
\draw (660.0:1) node[rotate = 660.0] {-} node[above] {$\alpha$};
|
||||
\draw (1320.0:1) node[rotate = 1320.0] {-} node[below] {$\beta$};
|
||||
\draw (1380.0:1) node[rotate = 1380.0] {-} node[right] {$\delta$};
|
||||
\draw (2760.0:1) node[rotate = 2760.0] {-} node[left] {$\sigma$};
|
||||
|
||||
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\end{solution}
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|
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||||
\part On pose $||\vec{u}|| = 6 $, $||\vec{v}|| = 1 $ et $\vec{u}.\vec{v} = 4.8$ calculer les quantités suivantes
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart $(\vec{u} - 6 \vec{v})(\vec{v} + 4 \vec{u})$
|
||||
\subpart $||4\vec{u} - 6 \vec{v}||$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
|
||||
\end{multicols}
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|
||||
\end{parts}
|
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|
||||
\question
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes
|
||||
% Il y aura toujours 2 racines
|
||||
|
||||
% Il y aura toujours 2 racines
|
||||
|
||||
% Il y aura toujours une valeur interdite à ajouter
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{3}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart $f:x \mapsto \dfrac{1}{2 x^{ 2 } - 10 x + 5}$
|
||||
\subpart $g:x\mapsto \dfrac{1}{- \sqrt{x} + 2}$
|
||||
\subpart $h:x \mapsto \sqrt{9 x^{ 2 } - 7 x - 3}$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
On constate que $f$ est une fonction de la forme
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f(x) = \frac{1}{u(x)} &\mbox{ avec }& u(x) = 2 x^{ 2 } - 10 x + 5
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Comme $u(x)$ est un polynôme, son domaine de définition est $D_u = \R$. Il faut maintenant déterminer les valeurs de $x$ tels que $u(x) = 0$.
|
||||
|
||||
On résout l'équation $2 x^{ 2 } - 10 x + 5 = 0$:
|
||||
|
||||
|
||||
On commence par calculer le discriminant de $P(x) = 2 x^{ 2 } - 10 x + 5$.
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\Delta & = & b^2-4ac \\
|
||||
\Delta & = & ( -10 )^{ 2 } - 4 \times 2 \times 5 \\
|
||||
\Delta & = & 100 - 4 \times 10 \\
|
||||
\Delta & = & 100 - 40 \\
|
||||
\Delta & = & 60
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
|
||||
comme $\Delta = 60 > 0$ donc $P$ a deux racines
|
||||
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-10 - \sqrt{60}}{2 \times 2} = - \frac{\sqrt{15}}{2} + \frac{5}{2} \\
|
||||
x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-10 + \sqrt{60}}{2 \times 2} = \frac{\sqrt{15}}{2} + \frac{5}{2}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
Les solutions de l'équation $2 x^{ 2 } - 10 x + 5 = 0$ sont donc $\mathcal{S} = \left\{ - \frac{\sqrt{15}}{2} + \frac{5}{2}; \frac{\sqrt{15}}{2} + \frac{5}{2} \right\}$
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Donc finalement, $f$ est définie sur $D_f = \R \backslash \left\{ - \frac{\sqrt{15}}{2} + \frac{5}{2}, \frac{\sqrt{15}}{2} + \frac{5}{2} \right\}$.
|
||||
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
\part Soit $f$ un fonction définie par
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f:x\mapsto \frac{- 10 x^{ 2 } - x - 5}{5 x + 4}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart Déterminer le domaine de définition de $f$
|
||||
|
||||
\subpart Démontrer que la dérivé de $f$ est $f('x) = \dfrac{- 50 x^{ 2 } - 80 x + 21}{(5 x + 4)^2}$
|
||||
\subpart Étudier le signe de $f$.
|
||||
\subpart Calculer l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ (la courbe représentative de $f$) au point d'abscisse $x = 1$.
|
||||
\end{subparts}
|
||||
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
|
||||
\question
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\N$ par
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u_0 = -5 \hspace{2cm} u_{n+1} = 5 u_n + 7
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Calculer les 4 premiers termes de la suite $(u_n)$.
|
||||
|
||||
|
||||
\part On pose $v_n = u_n + \frac{ 7 }{ 4 }$.
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart Calculer les 4 premiers termes de la suite $(v_n)$
|
||||
\subpart Démontrer que $(v_n)$ est géométrique de raison $q = 5$.
|
||||
\subpart En déduire l'expression explicite de $(v_n)$.
|
||||
|
||||
\subpart En déduire que l'expression explicite de $(u_n)$ est $u_n = \frac{ -13 }{ 4 } \times 5^{ n } + \frac{ -7 }{ 4 }$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\part Écrire un algorithme qui prend en argument un rang \texttt{n} et qui renvoie la la valeur de $v_n$ (vous ne pouvez pas utiliser la formule explicite)
|
||||
\part Écrire un algorithme qui prend en argument un rang \texttt{n} et qui renvoie la la valeur de $u_0 + u_1 +\cdots + u_n$ ( vous pouvez utiliser la formule explicite)
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
\end{questions}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "master"
|
||||
%%% End:
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1S/DM/DM_0528/12_DM_0528.tex
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1S/DM/DM_0528/12_DM_0528.tex
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@@ -0,0 +1,176 @@
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\documentclass[a4paper,12pt, table]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/tools/style/classDS}
|
||||
\usepackage{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/2014_2015}
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||||
% Title Page
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\titre{DM7}
|
||||
% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
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\classe{\premiereS}
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\date{28 mai 2015}
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%\duree{1 heure}
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\sujet{12}
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% DS DSCorr DM DMCorr Corr
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\typedoc{DM}
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%\printanswers
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\begin{document}
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||||
\maketitle
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|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. Vous rendrez le sujet avec la copie.
|
||||
|
||||
\begin{questions}
|
||||
\question
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Dessiner un cercle trigonométrique et y placer les angles suivants (détailler les calculs si vous utilisez la mesure principale de l'angle)
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{parts}
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\alpha = \frac{48\pi}{3}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\beta= \frac{-27\pi}{6}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\delta = \frac{3\pi}{6}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\sigma = \frac{-18\pi}{6}$
|
||||
\end{parts}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\cercleTrigo
|
||||
\draw (2880.0:1) node[rotate = 2880.0] {-} node[above] {$\alpha$};
|
||||
\draw (-810.0:1) node[rotate = -810.0] {-} node[below] {$\beta$};
|
||||
\draw (90.0:1) node[rotate = 90.0] {-} node[right] {$\delta$};
|
||||
\draw (-540.0:1) node[rotate = -540.0] {-} node[left] {$\sigma$};
|
||||
|
||||
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\part On pose $||\vec{u}|| = 7 $, $||\vec{v}|| = 9 $ et $\vec{u}.\vec{v} = 56.7$ calculer les quantités suivantes
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart $(\vec{u} - 6 \vec{v})(\vec{v} + 9 \vec{u})$
|
||||
\subpart $||9\vec{u} - 6 \vec{v}||$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
|
||||
\end{multicols}
|
||||
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
\question
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes
|
||||
% Il y aura toujours 2 racines
|
||||
|
||||
% Il y aura toujours 2 racines
|
||||
|
||||
% Il y aura toujours une valeur interdite à ajouter
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{3}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart $f:x \mapsto \dfrac{1}{9 x^{ 2 } - 4 x - 3}$
|
||||
\subpart $g:x\mapsto \dfrac{1}{- \sqrt{x} + 4}$
|
||||
\subpart $h:x \mapsto \sqrt{- 9 x^{ 2 } + 9 x - 6}$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
On constate que $f$ est une fonction de la forme
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f(x) = \frac{1}{u(x)} &\mbox{ avec }& u(x) = 9 x^{ 2 } - 4 x - 3
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Comme $u(x)$ est un polynôme, son domaine de définition est $D_u = \R$. Il faut maintenant déterminer les valeurs de $x$ tels que $u(x) = 0$.
|
||||
|
||||
On résout l'équation $9 x^{ 2 } - 4 x - 3 = 0$:
|
||||
|
||||
|
||||
On commence par calculer le discriminant de $P(x) = 9 x^{ 2 } - 4 x - 3$.
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\Delta & = & b^2-4ac \\
|
||||
\Delta & = & ( -4 )^{ 2 } - 4 \times 9 \times ( -3 ) \\
|
||||
\Delta & = & 16 - 4 \times ( -27 ) \\
|
||||
\Delta & = & 16 - ( -108 ) \\
|
||||
\Delta & = & 124
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
|
||||
comme $\Delta = 124 > 0$ donc $P$ a deux racines
|
||||
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{124}}{2 \times 9} = - \frac{\sqrt{31}}{9} + \frac{2}{9} \\
|
||||
x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{124}}{2 \times 9} = \frac{2}{9} + \frac{\sqrt{31}}{9}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
Les solutions de l'équation $9 x^{ 2 } - 4 x - 3 = 0$ sont donc $\mathcal{S} = \left\{ - \frac{\sqrt{31}}{9} + \frac{2}{9}; \frac{2}{9} + \frac{\sqrt{31}}{9} \right\}$
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Donc finalement, $f$ est définie sur $D_f = \R \backslash \left\{ - \frac{\sqrt{31}}{9} + \frac{2}{9}, \frac{2}{9} + \frac{\sqrt{31}}{9} \right\}$.
|
||||
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
\part Soit $f$ un fonction définie par
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f:x\mapsto \frac{2 x^{ 2 } + 8 x + 2}{- 4 x + 8}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart Déterminer le domaine de définition de $f$
|
||||
|
||||
\subpart Démontrer que la dérivé de $f$ est $f('x) = \dfrac{- 8 x^{ 2 } + 32 x + 72}{(- 4 x + 8)^2}$
|
||||
\subpart Étudier le signe de $f$.
|
||||
\subpart Calculer l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ (la courbe représentative de $f$) au point d'abscisse $x = 1$.
|
||||
\end{subparts}
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||||
|
||||
\end{parts}
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||||
|
||||
|
||||
\question
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||||
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||||
|
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|
||||
Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\N$ par
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u_0 = -10 \hspace{2cm} u_{n+1} = 9 u_n - 7
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Calculer les 4 premiers termes de la suite $(u_n)$.
|
||||
|
||||
|
||||
\part On pose $v_n = u_n - \frac{ 7 }{ 8 }$.
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart Calculer les 4 premiers termes de la suite $(v_n)$
|
||||
\subpart Démontrer que $(v_n)$ est géométrique de raison $q = 9$.
|
||||
\subpart En déduire l'expression explicite de $(v_n)$.
|
||||
|
||||
\subpart En déduire que l'expression explicite de $(u_n)$ est $u_n = \frac{ -87 }{ 8 } \times 9^{ n } + \frac{ 7 }{ 8 }$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\part Écrire un algorithme qui prend en argument un rang \texttt{n} et qui renvoie la la valeur de $v_n$ (vous ne pouvez pas utiliser la formule explicite)
|
||||
\part Écrire un algorithme qui prend en argument un rang \texttt{n} et qui renvoie la la valeur de $u_0 + u_1 +\cdots + u_n$ ( vous pouvez utiliser la formule explicite)
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
\end{questions}
|
||||
|
||||
\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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1S/DM/DM_0528/13_DM_0528.tex
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\documentclass[a4paper,12pt, table]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/tools/style/classDS}
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\usepackage{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/2014_2015}
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% Title Page
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\titre{DM7}
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% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
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\classe{\premiereS}
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\date{28 mai 2015}
|
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%\duree{1 heure}
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\sujet{13}
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% DS DSCorr DM DMCorr Corr
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\typedoc{DM}
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%\printanswers
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\begin{document}
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\maketitle
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Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. Vous rendrez le sujet avec la copie.
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||||
\begin{questions}
|
||||
\question
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Dessiner un cercle trigonométrique et y placer les angles suivants (détailler les calculs si vous utilisez la mesure principale de l'angle)
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{parts}
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\alpha = \frac{33\pi}{6}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\beta= \frac{34\pi}{4}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\delta = \frac{17\pi}{6}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\sigma = \frac{26\pi}{6}$
|
||||
\end{parts}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\cercleTrigo
|
||||
\draw (990.0:1) node[rotate = 990.0] {-} node[above] {$\alpha$};
|
||||
\draw (1530.0:1) node[rotate = 1530.0] {-} node[below] {$\beta$};
|
||||
\draw (510.0:1) node[rotate = 510.0] {-} node[right] {$\delta$};
|
||||
\draw (780.0:1) node[rotate = 780.0] {-} node[left] {$\sigma$};
|
||||
|
||||
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\part On pose $||\vec{u}|| = 2 $, $||\vec{v}|| = 1 $ et $\vec{u}.\vec{v} = -1.0$ calculer les quantités suivantes
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart $(\vec{u} - 5 \vec{v})(\vec{v} + 5 \vec{u})$
|
||||
\subpart $||5\vec{u} - 5 \vec{v}||$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
|
||||
\end{multicols}
|
||||
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
\question
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes
|
||||
% Il y aura toujours 2 racines
|
||||
|
||||
% Il y aura toujours 2 racines
|
||||
|
||||
% Il y aura toujours une valeur interdite à ajouter
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{3}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart $f:x \mapsto \dfrac{1}{4 x^{ 2 } - 8 x - 5}$
|
||||
\subpart $g:x\mapsto \dfrac{1}{\sqrt{x} - 9}$
|
||||
\subpart $h:x \mapsto \sqrt{10 x^{ 2 } - 5 x - 4}$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
On constate que $f$ est une fonction de la forme
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f(x) = \frac{1}{u(x)} &\mbox{ avec }& u(x) = 4 x^{ 2 } - 8 x - 5
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Comme $u(x)$ est un polynôme, son domaine de définition est $D_u = \R$. Il faut maintenant déterminer les valeurs de $x$ tels que $u(x) = 0$.
|
||||
|
||||
On résout l'équation $4 x^{ 2 } - 8 x - 5 = 0$:
|
||||
|
||||
|
||||
On commence par calculer le discriminant de $P(x) = 4 x^{ 2 } - 8 x - 5$.
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\Delta & = & b^2-4ac \\
|
||||
\Delta & = & ( -8 )^{ 2 } - 4 \times 4 \times ( -5 ) \\
|
||||
\Delta & = & 64 - 4 \times ( -20 ) \\
|
||||
\Delta & = & 64 - ( -80 ) \\
|
||||
\Delta & = & 144
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
|
||||
comme $\Delta = 144 > 0$ donc $P$ a deux racines
|
||||
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{144}}{2 \times 4} = - \frac{1}{2} \\
|
||||
x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{144}}{2 \times 4} = \frac{5}{2}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
Les solutions de l'équation $4 x^{ 2 } - 8 x - 5 = 0$ sont donc $\mathcal{S} = \left\{ - \frac{1}{2}; \frac{5}{2} \right\}$
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Donc finalement, $f$ est définie sur $D_f = \R \backslash \left\{ - \frac{1}{2}, \frac{5}{2} \right\}$.
|
||||
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
\part Soit $f$ un fonction définie par
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f:x\mapsto \frac{- 5 x^{ 2 } - 2 x + 2}{8 x + 10}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart Déterminer le domaine de définition de $f$
|
||||
|
||||
\subpart Démontrer que la dérivé de $f$ est $f('x) = \dfrac{- 40 x^{ 2 } - 100 x - 36}{(8 x + 10)^2}$
|
||||
\subpart Étudier le signe de $f$.
|
||||
\subpart Calculer l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ (la courbe représentative de $f$) au point d'abscisse $x = 1$.
|
||||
\end{subparts}
|
||||
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
|
||||
\question
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\N$ par
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u_0 = 1 \hspace{2cm} u_{n+1} = 9 u_n + 8
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Calculer les 4 premiers termes de la suite $(u_n)$.
|
||||
|
||||
|
||||
\part On pose $v_n = u_n + 1$.
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart Calculer les 4 premiers termes de la suite $(v_n)$
|
||||
\subpart Démontrer que $(v_n)$ est géométrique de raison $q = 9$.
|
||||
\subpart En déduire l'expression explicite de $(v_n)$.
|
||||
|
||||
\subpart En déduire que l'expression explicite de $(u_n)$ est $u_n = 2 \times 9^{ n } - 1$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\part Écrire un algorithme qui prend en argument un rang \texttt{n} et qui renvoie la la valeur de $v_n$ (vous ne pouvez pas utiliser la formule explicite)
|
||||
\part Écrire un algorithme qui prend en argument un rang \texttt{n} et qui renvoie la la valeur de $u_0 + u_1 +\cdots + u_n$ ( vous pouvez utiliser la formule explicite)
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
\end{questions}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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1S/DM/DM_0528/14_DM_0528.tex
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1S/DM/DM_0528/14_DM_0528.tex
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@@ -0,0 +1,176 @@
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\documentclass[a4paper,12pt, table]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/tools/style/classDS}
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||||
\usepackage{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/2014_2015}
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% Title Page
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\titre{DM7}
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||||
% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
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||||
\classe{\premiereS}
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||||
\date{28 mai 2015}
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||||
%\duree{1 heure}
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||||
\sujet{14}
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||||
% DS DSCorr DM DMCorr Corr
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||||
\typedoc{DM}
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|
||||
%\printanswers
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. Vous rendrez le sujet avec la copie.
|
||||
|
||||
\begin{questions}
|
||||
\question
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Dessiner un cercle trigonométrique et y placer les angles suivants (détailler les calculs si vous utilisez la mesure principale de l'angle)
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{parts}
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\alpha = \frac{28\pi}{3}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\beta= \frac{-19\pi}{4}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\delta = \frac{5\pi}{4}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\sigma = \frac{36\pi}{6}$
|
||||
\end{parts}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\cercleTrigo
|
||||
\draw (1680.0:1) node[rotate = 1680.0] {-} node[above] {$\alpha$};
|
||||
\draw (-855.0:1) node[rotate = -855.0] {-} node[below] {$\beta$};
|
||||
\draw (225.0:1) node[rotate = 225.0] {-} node[right] {$\delta$};
|
||||
\draw (1080.0:1) node[rotate = 1080.0] {-} node[left] {$\sigma$};
|
||||
|
||||
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\part On pose $||\vec{u}|| = 10 $, $||\vec{v}|| = 5 $ et $\vec{u}.\vec{v} = 15.0$ calculer les quantités suivantes
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart $(\vec{u} - 8 \vec{v})(\vec{v} + 10 \vec{u})$
|
||||
\subpart $||10\vec{u} - 8 \vec{v}||$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
|
||||
\end{multicols}
|
||||
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
\question
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes
|
||||
% Il y aura toujours 2 racines
|
||||
|
||||
% Il y aura toujours 2 racines
|
||||
|
||||
% Il y aura toujours une valeur interdite à ajouter
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{3}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart $f:x \mapsto \dfrac{1}{- x^{ 2 } + 6 x - 1}$
|
||||
\subpart $g:x\mapsto \dfrac{1}{- 9 \sqrt{x} + 1}$
|
||||
\subpart $h:x \mapsto \sqrt{- 10 x^{ 2 } + 9 x + 6}$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
On constate que $f$ est une fonction de la forme
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f(x) = \frac{1}{u(x)} &\mbox{ avec }& u(x) = - x^{ 2 } + 6 x - 1
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Comme $u(x)$ est un polynôme, son domaine de définition est $D_u = \R$. Il faut maintenant déterminer les valeurs de $x$ tels que $u(x) = 0$.
|
||||
|
||||
On résout l'équation $- x^{ 2 } + 6 x - 1 = 0$:
|
||||
|
||||
|
||||
On commence par calculer le discriminant de $P(x) = - x^{ 2 } + 6 x - 1$.
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\Delta & = & b^2-4ac \\
|
||||
\Delta & = & 6^{ 2 } - 4 -1 \times ( -1 ) \\
|
||||
\Delta & = & 36 - 4 \times 1 \\
|
||||
\Delta & = & 36 - 4 \\
|
||||
\Delta & = & 32
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
|
||||
comme $\Delta = 32 > 0$ donc $P$ a deux racines
|
||||
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{32}}{2 \times -1} = 2 \sqrt{2} + 3 \\
|
||||
x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{32}}{2 \times -1} = - 2 \sqrt{2} + 3
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
Les solutions de l'équation $- x^{ 2 } + 6 x - 1 = 0$ sont donc $\mathcal{S} = \left\{ 2 \sqrt{2} + 3; - 2 \sqrt{2} + 3 \right\}$
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Donc finalement, $f$ est définie sur $D_f = \R \backslash \left\{ 2 \sqrt{2} + 3, - 2 \sqrt{2} + 3 \right\}$.
|
||||
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
\part Soit $f$ un fonction définie par
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f:x\mapsto \frac{- 8 x^{ 2 } - 5 x + 7}{- 9 x - 2}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart Déterminer le domaine de définition de $f$
|
||||
|
||||
\subpart Démontrer que la dérivé de $f$ est $f('x) = \dfrac{72 x^{ 2 } + 32 x + 73}{(- 9 x - 2)^2}$
|
||||
\subpart Étudier le signe de $f$.
|
||||
\subpart Calculer l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ (la courbe représentative de $f$) au point d'abscisse $x = 1$.
|
||||
\end{subparts}
|
||||
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
|
||||
\question
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\N$ par
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u_0 = 1 \hspace{2cm} u_{n+1} = 8 u_n - 7
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Calculer les 4 premiers termes de la suite $(u_n)$.
|
||||
|
||||
|
||||
\part On pose $v_n = u_n - 1$.
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart Calculer les 4 premiers termes de la suite $(v_n)$
|
||||
\subpart Démontrer que $(v_n)$ est géométrique de raison $q = 8$.
|
||||
\subpart En déduire l'expression explicite de $(v_n)$.
|
||||
|
||||
\subpart En déduire que l'expression explicite de $(u_n)$ est $u_n = 0 \times 8^{ n } + 1$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\part Écrire un algorithme qui prend en argument un rang \texttt{n} et qui renvoie la la valeur de $v_n$ (vous ne pouvez pas utiliser la formule explicite)
|
||||
\part Écrire un algorithme qui prend en argument un rang \texttt{n} et qui renvoie la la valeur de $u_0 + u_1 +\cdots + u_n$ ( vous pouvez utiliser la formule explicite)
|
||||
\end{parts}
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\end{questions}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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% Title Page
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\titre{DM7}
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\classe{\premiereS}
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\date{28 mai 2015}
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\sujet{15}
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% DS DSCorr DM DMCorr Corr
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\typedoc{DM}
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%\printanswers
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\begin{document}
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\maketitle
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Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. Vous rendrez le sujet avec la copie.
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\begin{questions}
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\question
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||||
\begin{parts}
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||||
\part Dessiner un cercle trigonométrique et y placer les angles suivants (détailler les calculs si vous utilisez la mesure principale de l'angle)
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\begin{multicols}{2}
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||||
\begin{parts}
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||||
|
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|
||||
\part $\alpha = \frac{22\pi}{6}$
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\part $\beta= \frac{16\pi}{3}$
|
||||
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||||
\part $\delta = \frac{20\pi}{4}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\sigma = \frac{-13\pi}{6}$
|
||||
\end{parts}
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||||
\end{multicols}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\cercleTrigo
|
||||
\draw (660.0:1) node[rotate = 660.0] {-} node[above] {$\alpha$};
|
||||
\draw (960.0:1) node[rotate = 960.0] {-} node[below] {$\beta$};
|
||||
\draw (900.0:1) node[rotate = 900.0] {-} node[right] {$\delta$};
|
||||
\draw (-390.0:1) node[rotate = -390.0] {-} node[left] {$\sigma$};
|
||||
|
||||
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\end{solution}
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||||
|
||||
|
||||
|
||||
\part On pose $||\vec{u}|| = 4 $, $||\vec{v}|| = 1 $ et $\vec{u}.\vec{v} = -2.8$ calculer les quantités suivantes
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart $(\vec{u} - 4 \vec{v})(\vec{v} + 7 \vec{u})$
|
||||
\subpart $||7\vec{u} - 4 \vec{v}||$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
|
||||
\end{multicols}
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||||
|
||||
\end{parts}
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||||
|
||||
\question
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||||
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes
|
||||
% Il y aura toujours 2 racines
|
||||
|
||||
% Il y aura toujours 2 racines
|
||||
|
||||
% Il y aura toujours une valeur interdite à ajouter
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{3}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart $f:x \mapsto \dfrac{1}{- 2 x^{ 2 } - 10 x + 3}$
|
||||
\subpart $g:x\mapsto \dfrac{1}{- 6 \sqrt{x} + 5}$
|
||||
\subpart $h:x \mapsto \sqrt{- 2 x^{ 2 } + 10 x - 7}$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
On constate que $f$ est une fonction de la forme
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f(x) = \frac{1}{u(x)} &\mbox{ avec }& u(x) = - 2 x^{ 2 } - 10 x + 3
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Comme $u(x)$ est un polynôme, son domaine de définition est $D_u = \R$. Il faut maintenant déterminer les valeurs de $x$ tels que $u(x) = 0$.
|
||||
|
||||
On résout l'équation $- 2 x^{ 2 } - 10 x + 3 = 0$:
|
||||
|
||||
|
||||
On commence par calculer le discriminant de $P(x) = - 2 x^{ 2 } - 10 x + 3$.
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\Delta & = & b^2-4ac \\
|
||||
\Delta & = & ( -10 )^{ 2 } - 4 -2 \times 3 \\
|
||||
\Delta & = & 100 - 4 \times ( -6 ) \\
|
||||
\Delta & = & 100 - ( -24 ) \\
|
||||
\Delta & = & 124
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
|
||||
comme $\Delta = 124 > 0$ donc $P$ a deux racines
|
||||
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-10 - \sqrt{124}}{2 \times -2} = - \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{31}}{2} \\
|
||||
x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-10 + \sqrt{124}}{2 \times -2} = - \frac{\sqrt{31}}{2} - \frac{5}{2}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
Les solutions de l'équation $- 2 x^{ 2 } - 10 x + 3 = 0$ sont donc $\mathcal{S} = \left\{ - \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{31}}{2}; - \frac{\sqrt{31}}{2} - \frac{5}{2} \right\}$
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Donc finalement, $f$ est définie sur $D_f = \R \backslash \left\{ - \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{31}}{2}, - \frac{\sqrt{31}}{2} - \frac{5}{2} \right\}$.
|
||||
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
\part Soit $f$ un fonction définie par
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f:x\mapsto \frac{10 x^{ 2 } + 9 x + 2}{- 10 x + 3}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart Déterminer le domaine de définition de $f$
|
||||
|
||||
\subpart Démontrer que la dérivé de $f$ est $f('x) = \dfrac{- 100 x^{ 2 } + 60 x + 47}{(- 10 x + 3)^2}$
|
||||
\subpart Étudier le signe de $f$.
|
||||
\subpart Calculer l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ (la courbe représentative de $f$) au point d'abscisse $x = 1$.
|
||||
\end{subparts}
|
||||
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
|
||||
\question
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||||
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||||
|
||||
|
||||
Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\N$ par
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u_0 = 1 \hspace{2cm} u_{n+1} = - 10 u_n + 3
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Calculer les 4 premiers termes de la suite $(u_n)$.
|
||||
|
||||
|
||||
\part On pose $v_n = u_n - \frac{ 3 }{ 11 }$.
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart Calculer les 4 premiers termes de la suite $(v_n)$
|
||||
\subpart Démontrer que $(v_n)$ est géométrique de raison $q = -10$.
|
||||
\subpart En déduire l'expression explicite de $(v_n)$.
|
||||
|
||||
\subpart En déduire que l'expression explicite de $(u_n)$ est $u_n = \frac{ 8 }{ 11 } \times ( -10 )^{ n } + \frac{ 3 }{ 11 }$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\part Écrire un algorithme qui prend en argument un rang \texttt{n} et qui renvoie la la valeur de $v_n$ (vous ne pouvez pas utiliser la formule explicite)
|
||||
\part Écrire un algorithme qui prend en argument un rang \texttt{n} et qui renvoie la la valeur de $u_0 + u_1 +\cdots + u_n$ ( vous pouvez utiliser la formule explicite)
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
\end{questions}
|
||||
|
||||
\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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% Title Page
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\titre{DM7}
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% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
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\classe{\premiereS}
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\date{28 mai 2015}
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%\duree{1 heure}
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\sujet{16}
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% DS DSCorr DM DMCorr Corr
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\typedoc{DM}
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%\printanswers
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\begin{document}
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\maketitle
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||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. Vous rendrez le sujet avec la copie.
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\begin{questions}
|
||||
\question
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Dessiner un cercle trigonométrique et y placer les angles suivants (détailler les calculs si vous utilisez la mesure principale de l'angle)
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{parts}
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\alpha = \frac{-30\pi}{2}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\beta= \frac{-14\pi}{4}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\delta = \frac{22\pi}{3}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\sigma = \frac{33\pi}{3}$
|
||||
\end{parts}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\cercleTrigo
|
||||
\draw (-2700.0:1) node[rotate = -2700.0] {-} node[above] {$\alpha$};
|
||||
\draw (-630.0:1) node[rotate = -630.0] {-} node[below] {$\beta$};
|
||||
\draw (1320.0:1) node[rotate = 1320.0] {-} node[right] {$\delta$};
|
||||
\draw (1980.0:1) node[rotate = 1980.0] {-} node[left] {$\sigma$};
|
||||
|
||||
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\part On pose $||\vec{u}|| = 4 $, $||\vec{v}|| = 4 $ et $\vec{u}.\vec{v} = -4.8$ calculer les quantités suivantes
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart $(\vec{u} - 7 \vec{v})(\vec{v} + 2 \vec{u})$
|
||||
\subpart $||2\vec{u} - 7 \vec{v}||$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
|
||||
\end{multicols}
|
||||
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
\question
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes
|
||||
% Il y aura toujours 2 racines
|
||||
|
||||
% Il y aura toujours 2 racines
|
||||
|
||||
% Il y aura toujours une valeur interdite à ajouter
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{3}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart $f:x \mapsto \dfrac{1}{- 4 x^{ 2 } + 3 x + 10}$
|
||||
\subpart $g:x\mapsto \dfrac{1}{4 \sqrt{x} - 6}$
|
||||
\subpart $h:x \mapsto \sqrt{- 8 x^{ 2 } + 4 x - 6}$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
On constate que $f$ est une fonction de la forme
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f(x) = \frac{1}{u(x)} &\mbox{ avec }& u(x) = - 4 x^{ 2 } + 3 x + 10
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Comme $u(x)$ est un polynôme, son domaine de définition est $D_u = \R$. Il faut maintenant déterminer les valeurs de $x$ tels que $u(x) = 0$.
|
||||
|
||||
On résout l'équation $- 4 x^{ 2 } + 3 x + 10 = 0$:
|
||||
|
||||
|
||||
On commence par calculer le discriminant de $P(x) = - 4 x^{ 2 } + 3 x + 10$.
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\Delta & = & b^2-4ac \\
|
||||
\Delta & = & 3^{ 2 } - 4 -4 \times 10 \\
|
||||
\Delta & = & 9 - 4 \times ( -40 ) \\
|
||||
\Delta & = & 9 - ( -160 ) \\
|
||||
\Delta & = & 169
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
|
||||
comme $\Delta = 169 > 0$ donc $P$ a deux racines
|
||||
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{169}}{2 \times -4} = 2 \\
|
||||
x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{169}}{2 \times -4} = - \frac{5}{4}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
Les solutions de l'équation $- 4 x^{ 2 } + 3 x + 10 = 0$ sont donc $\mathcal{S} = \left\{ 2; - \frac{5}{4} \right\}$
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Donc finalement, $f$ est définie sur $D_f = \R \backslash \left\{ 2, - \frac{5}{4} \right\}$.
|
||||
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
\part Soit $f$ un fonction définie par
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f:x\mapsto \frac{- 7 x^{ 2 } - 5 x - 6}{- 4 x + 5}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart Déterminer le domaine de définition de $f$
|
||||
|
||||
\subpart Démontrer que la dérivé de $f$ est $f('x) = \dfrac{28 x^{ 2 } - 70 x - 49}{(- 4 x + 5)^2}$
|
||||
\subpart Étudier le signe de $f$.
|
||||
\subpart Calculer l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ (la courbe représentative de $f$) au point d'abscisse $x = 1$.
|
||||
\end{subparts}
|
||||
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
|
||||
\question
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\N$ par
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u_0 = 7 \hspace{2cm} u_{n+1} = 4 u_n - 9
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Calculer les 4 premiers termes de la suite $(u_n)$.
|
||||
|
||||
|
||||
\part On pose $v_n = u_n - 3$.
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart Calculer les 4 premiers termes de la suite $(v_n)$
|
||||
\subpart Démontrer que $(v_n)$ est géométrique de raison $q = 4$.
|
||||
\subpart En déduire l'expression explicite de $(v_n)$.
|
||||
|
||||
\subpart En déduire que l'expression explicite de $(u_n)$ est $u_n = 4 \times 4^{ n } + 3$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\part Écrire un algorithme qui prend en argument un rang \texttt{n} et qui renvoie la la valeur de $v_n$ (vous ne pouvez pas utiliser la formule explicite)
|
||||
\part Écrire un algorithme qui prend en argument un rang \texttt{n} et qui renvoie la la valeur de $u_0 + u_1 +\cdots + u_n$ ( vous pouvez utiliser la formule explicite)
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
\end{questions}
|
||||
|
||||
\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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176
1S/DM/DM_0528/17_DM_0528.tex
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1S/DM/DM_0528/17_DM_0528.tex
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@@ -0,0 +1,176 @@
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\documentclass[a4paper,12pt, table]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/tools/style/classDS}
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\usepackage{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/2014_2015}
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% Title Page
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\titre{DM7}
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% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
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\classe{\premiereS}
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\date{28 mai 2015}
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%\duree{1 heure}
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\sujet{17}
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% DS DSCorr DM DMCorr Corr
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\typedoc{DM}
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%\printanswers
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\begin{document}
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\maketitle
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||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. Vous rendrez le sujet avec la copie.
|
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||||
\begin{questions}
|
||||
\question
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Dessiner un cercle trigonométrique et y placer les angles suivants (détailler les calculs si vous utilisez la mesure principale de l'angle)
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{parts}
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\alpha = \frac{21\pi}{2}$
|
||||
|
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|
||||
\part $\beta= \frac{1\pi}{4}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\delta = \frac{-1\pi}{4}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\sigma = \frac{31\pi}{3}$
|
||||
\end{parts}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\cercleTrigo
|
||||
\draw (1890.0:1) node[rotate = 1890.0] {-} node[above] {$\alpha$};
|
||||
\draw (45.0:1) node[rotate = 45.0] {-} node[below] {$\beta$};
|
||||
\draw (-45.0:1) node[rotate = -45.0] {-} node[right] {$\delta$};
|
||||
\draw (1860.0:1) node[rotate = 1860.0] {-} node[left] {$\sigma$};
|
||||
|
||||
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\part On pose $||\vec{u}|| = 9 $, $||\vec{v}|| = 5 $ et $\vec{u}.\vec{v} = 40.5$ calculer les quantités suivantes
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart $(\vec{u} - 5 \vec{v})(\vec{v} + 6 \vec{u})$
|
||||
\subpart $||6\vec{u} - 5 \vec{v}||$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
|
||||
\end{multicols}
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|
||||
\end{parts}
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||||
|
||||
\question
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||||
|
||||
|
||||
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\begin{parts}
|
||||
\part Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes
|
||||
% Il y aura toujours 2 racines
|
||||
|
||||
% Il y aura toujours 2 racines
|
||||
|
||||
% Il y aura toujours une valeur interdite à ajouter
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{3}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart $f:x \mapsto \dfrac{1}{9 x^{ 2 } - 6 x - 5}$
|
||||
\subpart $g:x\mapsto \dfrac{1}{- 5 \sqrt{x} + 5}$
|
||||
\subpart $h:x \mapsto \sqrt{- 2 x^{ 2 } + 2 x + 10}$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
On constate que $f$ est une fonction de la forme
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f(x) = \frac{1}{u(x)} &\mbox{ avec }& u(x) = 9 x^{ 2 } - 6 x - 5
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Comme $u(x)$ est un polynôme, son domaine de définition est $D_u = \R$. Il faut maintenant déterminer les valeurs de $x$ tels que $u(x) = 0$.
|
||||
|
||||
On résout l'équation $9 x^{ 2 } - 6 x - 5 = 0$:
|
||||
|
||||
|
||||
On commence par calculer le discriminant de $P(x) = 9 x^{ 2 } - 6 x - 5$.
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\Delta & = & b^2-4ac \\
|
||||
\Delta & = & ( -6 )^{ 2 } - 4 \times 9 \times ( -5 ) \\
|
||||
\Delta & = & 36 - 4 \times ( -45 ) \\
|
||||
\Delta & = & 36 - ( -180 ) \\
|
||||
\Delta & = & 216
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
|
||||
comme $\Delta = 216 > 0$ donc $P$ a deux racines
|
||||
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-6 - \sqrt{216}}{2 \times 9} = - \frac{\sqrt{6}}{3} + \frac{1}{3} \\
|
||||
x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-6 + \sqrt{216}}{2 \times 9} = \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{6}}{3}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
Les solutions de l'équation $9 x^{ 2 } - 6 x - 5 = 0$ sont donc $\mathcal{S} = \left\{ - \frac{\sqrt{6}}{3} + \frac{1}{3}; \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{6}}{3} \right\}$
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Donc finalement, $f$ est définie sur $D_f = \R \backslash \left\{ - \frac{\sqrt{6}}{3} + \frac{1}{3}, \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{6}}{3} \right\}$.
|
||||
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
\part Soit $f$ un fonction définie par
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f:x\mapsto \frac{3 x^{ 2 } - x - 2}{x - 5}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart Déterminer le domaine de définition de $f$
|
||||
|
||||
\subpart Démontrer que la dérivé de $f$ est $f('x) = \dfrac{3 x^{ 2 } - 30 x + 7}{(x - 5)^2}$
|
||||
\subpart Étudier le signe de $f$.
|
||||
\subpart Calculer l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ (la courbe représentative de $f$) au point d'abscisse $x = 1$.
|
||||
\end{subparts}
|
||||
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
|
||||
\question
|
||||
|
||||
|
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|
||||
Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\N$ par
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u_0 = -5 \hspace{2cm} u_{n+1} = - 9 u_n + 10
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Calculer les 4 premiers termes de la suite $(u_n)$.
|
||||
|
||||
|
||||
\part On pose $v_n = u_n - 1$.
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart Calculer les 4 premiers termes de la suite $(v_n)$
|
||||
\subpart Démontrer que $(v_n)$ est géométrique de raison $q = -9$.
|
||||
\subpart En déduire l'expression explicite de $(v_n)$.
|
||||
|
||||
\subpart En déduire que l'expression explicite de $(u_n)$ est $u_n = -6 \times ( -9 )^{ n } + 1$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\part Écrire un algorithme qui prend en argument un rang \texttt{n} et qui renvoie la la valeur de $v_n$ (vous ne pouvez pas utiliser la formule explicite)
|
||||
\part Écrire un algorithme qui prend en argument un rang \texttt{n} et qui renvoie la la valeur de $u_0 + u_1 +\cdots + u_n$ ( vous pouvez utiliser la formule explicite)
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
\end{questions}
|
||||
|
||||
\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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\documentclass[a4paper,12pt, table]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/tools/style/classDS}
|
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|
||||
% Title Page
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\titre{DM7}
|
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% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
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\classe{\premiereS}
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\date{28 mai 2015}
|
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%\duree{1 heure}
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\sujet{18}
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||||
% DS DSCorr DM DMCorr Corr
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\typedoc{DM}
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%\printanswers
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\begin{document}
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\maketitle
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|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. Vous rendrez le sujet avec la copie.
|
||||
|
||||
\begin{questions}
|
||||
\question
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Dessiner un cercle trigonométrique et y placer les angles suivants (détailler les calculs si vous utilisez la mesure principale de l'angle)
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{parts}
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\alpha = \frac{26\pi}{6}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\beta= \frac{-34\pi}{4}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\delta = \frac{39\pi}{6}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\sigma = \frac{24\pi}{6}$
|
||||
\end{parts}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\cercleTrigo
|
||||
\draw (780.0:1) node[rotate = 780.0] {-} node[above] {$\alpha$};
|
||||
\draw (-1530.0:1) node[rotate = -1530.0] {-} node[below] {$\beta$};
|
||||
\draw (1170.0:1) node[rotate = 1170.0] {-} node[right] {$\delta$};
|
||||
\draw (720.0:1) node[rotate = 720.0] {-} node[left] {$\sigma$};
|
||||
|
||||
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\part On pose $||\vec{u}|| = 1 $, $||\vec{v}|| = 8 $ et $\vec{u}.\vec{v} = -0.8$ calculer les quantités suivantes
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart $(\vec{u} - 7 \vec{v})(\vec{v} + 8 \vec{u})$
|
||||
\subpart $||8\vec{u} - 7 \vec{v}||$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
|
||||
\end{multicols}
|
||||
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
\question
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes
|
||||
% Il y aura toujours 2 racines
|
||||
|
||||
% Il y aura toujours 2 racines
|
||||
|
||||
% Il y aura toujours une valeur interdite à ajouter
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{3}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart $f:x \mapsto \dfrac{1}{6 x^{ 2 } - 8 x + 4}$
|
||||
\subpart $g:x\mapsto \dfrac{1}{7 \sqrt{x} - 6}$
|
||||
\subpart $h:x \mapsto \sqrt{2 x^{ 2 } - 7 x - 9}$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
On constate que $f$ est une fonction de la forme
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f(x) = \frac{1}{u(x)} &\mbox{ avec }& u(x) = 6 x^{ 2 } - 8 x + 4
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Comme $u(x)$ est un polynôme, son domaine de définition est $D_u = \R$. Il faut maintenant déterminer les valeurs de $x$ tels que $u(x) = 0$.
|
||||
|
||||
On résout l'équation $6 x^{ 2 } - 8 x + 4 = 0$:
|
||||
|
||||
|
||||
On commence par calculer le discriminant de $P(x) = 6 x^{ 2 } - 8 x + 4$.
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\Delta & = & b^2-4ac \\
|
||||
\Delta & = & ( -8 )^{ 2 } - 4 \times 6 \times 4 \\
|
||||
\Delta & = & 64 - 4 \times 24 \\
|
||||
\Delta & = & 64 - 96 \\
|
||||
\Delta & = & -32
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
|
||||
Alors $\Delta = -32 < 0$ donc $P$ n'a pas de racine donc l'équation $6 x^{ 2 } - 8 x + 4 = 0$ n'a pas de solution.
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Donc finalement, $f$ est définie sur $D_f = \R \backslash \left\{ , \right\}$.
|
||||
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
\part Soit $f$ un fonction définie par
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f:x\mapsto \frac{5 x^{ 2 } + 4 x - 8}{- 4 x - 7}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart Déterminer le domaine de définition de $f$
|
||||
|
||||
\subpart Démontrer que la dérivé de $f$ est $f('x) = \dfrac{- 20 x^{ 2 } - 70 x - 60}{(- 4 x - 7)^2}$
|
||||
\subpart Étudier le signe de $f$.
|
||||
\subpart Calculer l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ (la courbe représentative de $f$) au point d'abscisse $x = 1$.
|
||||
\end{subparts}
|
||||
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
|
||||
\question
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\N$ par
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u_0 = 3 \hspace{2cm} u_{n+1} = - 8 u_n + 7
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Calculer les 4 premiers termes de la suite $(u_n)$.
|
||||
|
||||
|
||||
\part On pose $v_n = u_n - \frac{ 7 }{ 9 }$.
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart Calculer les 4 premiers termes de la suite $(v_n)$
|
||||
\subpart Démontrer que $(v_n)$ est géométrique de raison $q = -8$.
|
||||
\subpart En déduire l'expression explicite de $(v_n)$.
|
||||
|
||||
\subpart En déduire que l'expression explicite de $(u_n)$ est $u_n = \frac{ 20 }{ 9 } \times ( -8 )^{ n } + \frac{ 7 }{ 9 }$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\part Écrire un algorithme qui prend en argument un rang \texttt{n} et qui renvoie la la valeur de $v_n$ (vous ne pouvez pas utiliser la formule explicite)
|
||||
\part Écrire un algorithme qui prend en argument un rang \texttt{n} et qui renvoie la la valeur de $u_0 + u_1 +\cdots + u_n$ ( vous pouvez utiliser la formule explicite)
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
\end{questions}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
|
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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1S/DM/DM_0528/19_DM_0528.tex
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\documentclass[a4paper,12pt, table]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/tools/style/classDS}
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% Title Page
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\titre{DM7}
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% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
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\classe{\premiereS}
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\date{28 mai 2015}
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%\duree{1 heure}
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\sujet{19}
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||||
% DS DSCorr DM DMCorr Corr
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\typedoc{DM}
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%\printanswers
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\begin{document}
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||||
\maketitle
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||||
|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. Vous rendrez le sujet avec la copie.
|
||||
|
||||
\begin{questions}
|
||||
\question
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Dessiner un cercle trigonométrique et y placer les angles suivants (détailler les calculs si vous utilisez la mesure principale de l'angle)
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{parts}
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\alpha = \frac{16\pi}{3}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\beta= \frac{16\pi}{4}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\delta = \frac{-12\pi}{6}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\sigma = \frac{-7\pi}{6}$
|
||||
\end{parts}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\cercleTrigo
|
||||
\draw (960.0:1) node[rotate = 960.0] {-} node[above] {$\alpha$};
|
||||
\draw (720.0:1) node[rotate = 720.0] {-} node[below] {$\beta$};
|
||||
\draw (-360.0:1) node[rotate = -360.0] {-} node[right] {$\delta$};
|
||||
\draw (-210.0:1) node[rotate = -210.0] {-} node[left] {$\sigma$};
|
||||
|
||||
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\part On pose $||\vec{u}|| = 1 $, $||\vec{v}|| = 6 $ et $\vec{u}.\vec{v} = -1.2$ calculer les quantités suivantes
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart $(\vec{u} - 3 \vec{v})(\vec{v} + 10 \vec{u})$
|
||||
\subpart $||10\vec{u} - 3 \vec{v}||$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
|
||||
\end{multicols}
|
||||
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
\question
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes
|
||||
% Il y aura toujours 2 racines
|
||||
|
||||
% Il y aura toujours 2 racines
|
||||
|
||||
% Il y aura toujours une valeur interdite à ajouter
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{3}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart $f:x \mapsto \dfrac{1}{6 x^{ 2 } - 6 x + 3}$
|
||||
\subpart $g:x\mapsto \dfrac{1}{\sqrt{x} - 2}$
|
||||
\subpart $h:x \mapsto \sqrt{6 x^{ 2 } - 6 x - 5}$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
On constate que $f$ est une fonction de la forme
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f(x) = \frac{1}{u(x)} &\mbox{ avec }& u(x) = 6 x^{ 2 } - 6 x + 3
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Comme $u(x)$ est un polynôme, son domaine de définition est $D_u = \R$. Il faut maintenant déterminer les valeurs de $x$ tels que $u(x) = 0$.
|
||||
|
||||
On résout l'équation $6 x^{ 2 } - 6 x + 3 = 0$:
|
||||
|
||||
|
||||
On commence par calculer le discriminant de $P(x) = 6 x^{ 2 } - 6 x + 3$.
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\Delta & = & b^2-4ac \\
|
||||
\Delta & = & ( -6 )^{ 2 } - 4 \times 6 \times 3 \\
|
||||
\Delta & = & 36 - 4 \times 18 \\
|
||||
\Delta & = & 36 - 72 \\
|
||||
\Delta & = & -36
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
|
||||
Alors $\Delta = -36 < 0$ donc $P$ n'a pas de racine donc l'équation $6 x^{ 2 } - 6 x + 3 = 0$ n'a pas de solution.
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Donc finalement, $f$ est définie sur $D_f = \R \backslash \left\{ , \right\}$.
|
||||
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
\part Soit $f$ un fonction définie par
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f:x\mapsto \frac{5 x^{ 2 } - 4 x - 5}{- 6 x + 3}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart Déterminer le domaine de définition de $f$
|
||||
|
||||
\subpart Démontrer que la dérivé de $f$ est $f('x) = \dfrac{- 30 x^{ 2 } + 30 x - 42}{(- 6 x + 3)^2}$
|
||||
\subpart Étudier le signe de $f$.
|
||||
\subpart Calculer l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ (la courbe représentative de $f$) au point d'abscisse $x = 1$.
|
||||
\end{subparts}
|
||||
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
|
||||
\question
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\N$ par
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u_0 = 8 \hspace{2cm} u_{n+1} = - 4 u_n - 8
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Calculer les 4 premiers termes de la suite $(u_n)$.
|
||||
|
||||
|
||||
\part On pose $v_n = u_n + \frac{ 8 }{ 5 }$.
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart Calculer les 4 premiers termes de la suite $(v_n)$
|
||||
\subpart Démontrer que $(v_n)$ est géométrique de raison $q = -4$.
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||||
\subpart En déduire l'expression explicite de $(v_n)$.
|
||||
|
||||
\subpart En déduire que l'expression explicite de $(u_n)$ est $u_n = \frac{ 48 }{ 5 } \times ( -4 )^{ n } + \frac{ -8 }{ 5 }$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\part Écrire un algorithme qui prend en argument un rang \texttt{n} et qui renvoie la la valeur de $v_n$ (vous ne pouvez pas utiliser la formule explicite)
|
||||
\part Écrire un algorithme qui prend en argument un rang \texttt{n} et qui renvoie la la valeur de $u_0 + u_1 +\cdots + u_n$ ( vous pouvez utiliser la formule explicite)
|
||||
\end{parts}
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\end{questions}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% TeX-master: "master"
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\documentclass[a4paper,12pt, table]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/tools/style/classDS}
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\usepackage{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/2014_2015}
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% Title Page
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\titre{DM7}
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% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
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\date{28 mai 2015}
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\sujet{1}
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% DS DSCorr DM DMCorr Corr
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\typedoc{DM}
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%\printanswers
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\begin{document}
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\maketitle
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Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. Vous rendrez le sujet avec la copie.
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\begin{questions}
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\question
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Dessiner un cercle trigonométrique et y placer les angles suivants (détailler les calculs si vous utilisez la mesure principale de l'angle)
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{parts}
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\alpha = \frac{-1\pi}{6}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\beta= \frac{-32\pi}{3}$
|
||||
|
||||
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||||
\part $\delta = \frac{-2\pi}{4}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\sigma = \frac{49\pi}{6}$
|
||||
\end{parts}
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||||
\end{multicols}
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||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\cercleTrigo
|
||||
\draw (-30.0:1) node[rotate = -30.0] {-} node[above] {$\alpha$};
|
||||
\draw (-1920.0:1) node[rotate = -1920.0] {-} node[below] {$\beta$};
|
||||
\draw (-90.0:1) node[rotate = -90.0] {-} node[right] {$\delta$};
|
||||
\draw (1470.0:1) node[rotate = 1470.0] {-} node[left] {$\sigma$};
|
||||
|
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|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\end{solution}
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||||
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||||
|
||||
|
||||
\part On pose $||\vec{u}|| = 2 $, $||\vec{v}|| = 8 $ et $\vec{u}.\vec{v} = -11.2$ calculer les quantités suivantes
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart $(\vec{u} - 8 \vec{v})(\vec{v} + 8 \vec{u})$
|
||||
\subpart $||8\vec{u} - 8 \vec{v}||$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
|
||||
\end{multicols}
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||||
|
||||
\end{parts}
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||||
|
||||
\question
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||||
|
||||
|
||||
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||||
\begin{parts}
|
||||
\part Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes
|
||||
% Il y aura toujours 2 racines
|
||||
|
||||
% Il y aura toujours 2 racines
|
||||
|
||||
% Il y aura toujours une valeur interdite à ajouter
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{3}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart $f:x \mapsto \dfrac{1}{- 3 x^{ 2 } + 3 x + 5}$
|
||||
\subpart $g:x\mapsto \dfrac{1}{9 \sqrt{x} - 7}$
|
||||
\subpart $h:x \mapsto \sqrt{x^{ 2 } + 7 x - 4}$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
On constate que $f$ est une fonction de la forme
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f(x) = \frac{1}{u(x)} &\mbox{ avec }& u(x) = - 3 x^{ 2 } + 3 x + 5
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Comme $u(x)$ est un polynôme, son domaine de définition est $D_u = \R$. Il faut maintenant déterminer les valeurs de $x$ tels que $u(x) = 0$.
|
||||
|
||||
On résout l'équation $- 3 x^{ 2 } + 3 x + 5 = 0$:
|
||||
|
||||
|
||||
On commence par calculer le discriminant de $P(x) = - 3 x^{ 2 } + 3 x + 5$.
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\Delta & = & b^2-4ac \\
|
||||
\Delta & = & 3^{ 2 } - 4 -3 \times 5 \\
|
||||
\Delta & = & 9 - 4 \times ( -15 ) \\
|
||||
\Delta & = & 9 - ( -60 ) \\
|
||||
\Delta & = & 69
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
|
||||
comme $\Delta = 69 > 0$ donc $P$ a deux racines
|
||||
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{69}}{2 \times -3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{69}}{6} \\
|
||||
x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{69}}{2 \times -3} = - \frac{\sqrt{69}}{6} + \frac{1}{2}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
Les solutions de l'équation $- 3 x^{ 2 } + 3 x + 5 = 0$ sont donc $\mathcal{S} = \left\{ \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{69}}{6}; - \frac{\sqrt{69}}{6} + \frac{1}{2} \right\}$
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Donc finalement, $f$ est définie sur $D_f = \R \backslash \left\{ \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{69}}{6}, - \frac{\sqrt{69}}{6} + \frac{1}{2} \right\}$.
|
||||
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
\part Soit $f$ un fonction définie par
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f:x\mapsto \frac{9 x^{ 2 } + 4 x + 10}{- 6 x - 2}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart Déterminer le domaine de définition de $f$
|
||||
|
||||
\subpart Démontrer que la dérivé de $f$ est $f('x) = \dfrac{- 54 x^{ 2 } - 36 x + 52}{(- 6 x - 2)^2}$
|
||||
\subpart Étudier le signe de $f$.
|
||||
\subpart Calculer l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ (la courbe représentative de $f$) au point d'abscisse $x = 1$.
|
||||
\end{subparts}
|
||||
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
|
||||
\question
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\N$ par
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u_0 = 2 \hspace{2cm} u_{n+1} = 3 u_n + 8
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Calculer les 4 premiers termes de la suite $(u_n)$.
|
||||
|
||||
|
||||
\part On pose $v_n = u_n + 4$.
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart Calculer les 4 premiers termes de la suite $(v_n)$
|
||||
\subpart Démontrer que $(v_n)$ est géométrique de raison $q = 3$.
|
||||
\subpart En déduire l'expression explicite de $(v_n)$.
|
||||
|
||||
\subpart En déduire que l'expression explicite de $(u_n)$ est $u_n = 6 \times 3^{ n } - 4$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\part Écrire un algorithme qui prend en argument un rang \texttt{n} et qui renvoie la la valeur de $v_n$ (vous ne pouvez pas utiliser la formule explicite)
|
||||
\part Écrire un algorithme qui prend en argument un rang \texttt{n} et qui renvoie la la valeur de $u_0 + u_1 +\cdots + u_n$ ( vous pouvez utiliser la formule explicite)
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
\end{questions}
|
||||
|
||||
\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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\usepackage{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/2014_2015}
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% Title Page
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\titre{DM7}
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% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
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\classe{\premiereS}
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\date{28 mai 2015}
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%\duree{1 heure}
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\sujet{20}
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% DS DSCorr DM DMCorr Corr
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\typedoc{DM}
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%\printanswers
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\begin{document}
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\maketitle
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Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. Vous rendrez le sujet avec la copie.
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\begin{questions}
|
||||
\question
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Dessiner un cercle trigonométrique et y placer les angles suivants (détailler les calculs si vous utilisez la mesure principale de l'angle)
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{parts}
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\alpha = \frac{0\pi}{3}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\beta= \frac{-37\pi}{4}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\delta = \frac{43\pi}{4}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\sigma = \frac{-1\pi}{6}$
|
||||
\end{parts}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\cercleTrigo
|
||||
\draw (0.0:1) node[rotate = 0.0] {-} node[above] {$\alpha$};
|
||||
\draw (-1665.0:1) node[rotate = -1665.0] {-} node[below] {$\beta$};
|
||||
\draw (1935.0:1) node[rotate = 1935.0] {-} node[right] {$\delta$};
|
||||
\draw (-30.0:1) node[rotate = -30.0] {-} node[left] {$\sigma$};
|
||||
|
||||
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\part On pose $||\vec{u}|| = 2 $, $||\vec{v}|| = 10 $ et $\vec{u}.\vec{v} = -14.0$ calculer les quantités suivantes
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart $(\vec{u} - 6 \vec{v})(\vec{v} + 4 \vec{u})$
|
||||
\subpart $||4\vec{u} - 6 \vec{v}||$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
|
||||
\end{multicols}
|
||||
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
\question
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes
|
||||
% Il y aura toujours 2 racines
|
||||
|
||||
% Il y aura toujours 2 racines
|
||||
|
||||
% Il y aura toujours une valeur interdite à ajouter
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{3}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart $f:x \mapsto \dfrac{1}{5 x^{ 2 } - 2 x - 5}$
|
||||
\subpart $g:x\mapsto \dfrac{1}{9 \sqrt{x} - 5}$
|
||||
\subpart $h:x \mapsto \sqrt{- 6 x^{ 2 } + 6 x + 9}$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
On constate que $f$ est une fonction de la forme
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f(x) = \frac{1}{u(x)} &\mbox{ avec }& u(x) = 5 x^{ 2 } - 2 x - 5
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Comme $u(x)$ est un polynôme, son domaine de définition est $D_u = \R$. Il faut maintenant déterminer les valeurs de $x$ tels que $u(x) = 0$.
|
||||
|
||||
On résout l'équation $5 x^{ 2 } - 2 x - 5 = 0$:
|
||||
|
||||
|
||||
On commence par calculer le discriminant de $P(x) = 5 x^{ 2 } - 2 x - 5$.
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\Delta & = & b^2-4ac \\
|
||||
\Delta & = & ( -2 )^{ 2 } - 4 \times 5 \times ( -5 ) \\
|
||||
\Delta & = & 4 - 4 \times ( -25 ) \\
|
||||
\Delta & = & 4 - ( -100 ) \\
|
||||
\Delta & = & 104
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
|
||||
comme $\Delta = 104 > 0$ donc $P$ a deux racines
|
||||
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{104}}{2 \times 5} = - \frac{\sqrt{26}}{5} + \frac{1}{5} \\
|
||||
x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{104}}{2 \times 5} = \frac{1}{5} + \frac{\sqrt{26}}{5}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
Les solutions de l'équation $5 x^{ 2 } - 2 x - 5 = 0$ sont donc $\mathcal{S} = \left\{ - \frac{\sqrt{26}}{5} + \frac{1}{5}; \frac{1}{5} + \frac{\sqrt{26}}{5} \right\}$
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Donc finalement, $f$ est définie sur $D_f = \R \backslash \left\{ - \frac{\sqrt{26}}{5} + \frac{1}{5}, \frac{1}{5} + \frac{\sqrt{26}}{5} \right\}$.
|
||||
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
\part Soit $f$ un fonction définie par
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f:x\mapsto \frac{- 4 x^{ 2 } + 8 x + 6}{- 4 x - 2}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart Déterminer le domaine de définition de $f$
|
||||
|
||||
\subpart Démontrer que la dérivé de $f$ est $f('x) = \dfrac{16 x^{ 2 } + 16 x + 8}{(- 4 x - 2)^2}$
|
||||
\subpart Étudier le signe de $f$.
|
||||
\subpart Calculer l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ (la courbe représentative de $f$) au point d'abscisse $x = 1$.
|
||||
\end{subparts}
|
||||
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
|
||||
\question
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\N$ par
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u_0 = -4 \hspace{2cm} u_{n+1} = 9 u_n + 2
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Calculer les 4 premiers termes de la suite $(u_n)$.
|
||||
|
||||
|
||||
\part On pose $v_n = u_n + \frac{ 1 }{ 4 }$.
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart Calculer les 4 premiers termes de la suite $(v_n)$
|
||||
\subpart Démontrer que $(v_n)$ est géométrique de raison $q = 9$.
|
||||
\subpart En déduire l'expression explicite de $(v_n)$.
|
||||
|
||||
\subpart En déduire que l'expression explicite de $(u_n)$ est $u_n = \frac{ -15 }{ 4 } \times 9^{ n } + \frac{ -1 }{ 4 }$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\part Écrire un algorithme qui prend en argument un rang \texttt{n} et qui renvoie la la valeur de $v_n$ (vous ne pouvez pas utiliser la formule explicite)
|
||||
\part Écrire un algorithme qui prend en argument un rang \texttt{n} et qui renvoie la la valeur de $u_0 + u_1 +\cdots + u_n$ ( vous pouvez utiliser la formule explicite)
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
\end{questions}
|
||||
|
||||
\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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\documentclass[a4paper,12pt, table]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/tools/style/classDS}
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\usepackage{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/2014_2015}
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% Title Page
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\titre{DM7}
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% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
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\classe{\premiereS}
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\date{28 mai 2015}
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%\duree{1 heure}
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\sujet{21}
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% DS DSCorr DM DMCorr Corr
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\typedoc{DM}
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%\printanswers
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\begin{document}
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\maketitle
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|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. Vous rendrez le sujet avec la copie.
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||||
\begin{questions}
|
||||
\question
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Dessiner un cercle trigonométrique et y placer les angles suivants (détailler les calculs si vous utilisez la mesure principale de l'angle)
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{parts}
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\alpha = \frac{-39\pi}{6}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\beta= \frac{17\pi}{3}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\delta = \frac{-42\pi}{3}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\sigma = \frac{-30\pi}{6}$
|
||||
\end{parts}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\cercleTrigo
|
||||
\draw (-1170.0:1) node[rotate = -1170.0] {-} node[above] {$\alpha$};
|
||||
\draw (1020.0:1) node[rotate = 1020.0] {-} node[below] {$\beta$};
|
||||
\draw (-2520.0:1) node[rotate = -2520.0] {-} node[right] {$\delta$};
|
||||
\draw (-900.0:1) node[rotate = -900.0] {-} node[left] {$\sigma$};
|
||||
|
||||
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\end{solution}
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||||
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||||
\part On pose $||\vec{u}|| = 1 $, $||\vec{v}|| = 2 $ et $\vec{u}.\vec{v} = 1.8$ calculer les quantités suivantes
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|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart $(\vec{u} - 7 \vec{v})(\vec{v} + 5 \vec{u})$
|
||||
\subpart $||5\vec{u} - 7 \vec{v}||$
|
||||
\end{subparts}
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||||
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\end{multicols}
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\end{parts}
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||||
\question
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||||
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\begin{parts}
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||||
\part Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes
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% Il y aura toujours 2 racines
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||||
% Il y aura toujours 2 racines
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||||
|
||||
% Il y aura toujours une valeur interdite à ajouter
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\begin{multicols}{3}
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||||
\begin{subparts}
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||||
\subpart $f:x \mapsto \dfrac{1}{- 8 x^{ 2 } + 3 x + 3}$
|
||||
\subpart $g:x\mapsto \dfrac{1}{- 5 \sqrt{x} + 4}$
|
||||
\subpart $h:x \mapsto \sqrt{- 10 x^{ 2 } + 3 x - 9}$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\end{multicols}
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||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
On constate que $f$ est une fonction de la forme
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f(x) = \frac{1}{u(x)} &\mbox{ avec }& u(x) = - 8 x^{ 2 } + 3 x + 3
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Comme $u(x)$ est un polynôme, son domaine de définition est $D_u = \R$. Il faut maintenant déterminer les valeurs de $x$ tels que $u(x) = 0$.
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||||
|
||||
On résout l'équation $- 8 x^{ 2 } + 3 x + 3 = 0$:
|
||||
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|
||||
On commence par calculer le discriminant de $P(x) = - 8 x^{ 2 } + 3 x + 3$.
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\Delta & = & b^2-4ac \\
|
||||
\Delta & = & 3^{ 2 } - 4 -8 \times 3 \\
|
||||
\Delta & = & 9 - 4 \times ( -24 ) \\
|
||||
\Delta & = & 9 - ( -96 ) \\
|
||||
\Delta & = & 105
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
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|
||||
comme $\Delta = 105 > 0$ donc $P$ a deux racines
|
||||
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{105}}{2 \times -8} = \frac{3}{16} + \frac{\sqrt{105}}{16} \\
|
||||
x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{105}}{2 \times -8} = - \frac{\sqrt{105}}{16} + \frac{3}{16}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
Les solutions de l'équation $- 8 x^{ 2 } + 3 x + 3 = 0$ sont donc $\mathcal{S} = \left\{ \frac{3}{16} + \frac{\sqrt{105}}{16}; - \frac{\sqrt{105}}{16} + \frac{3}{16} \right\}$
|
||||
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||||
|
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||||
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||||
|
||||
Donc finalement, $f$ est définie sur $D_f = \R \backslash \left\{ \frac{3}{16} + \frac{\sqrt{105}}{16}, - \frac{\sqrt{105}}{16} + \frac{3}{16} \right\}$.
|
||||
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
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||||
\part Soit $f$ un fonction définie par
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f:x\mapsto \frac{- 2 x^{ 2 } + 6 x - 10}{- 8 x + 7}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart Déterminer le domaine de définition de $f$
|
||||
|
||||
\subpart Démontrer que la dérivé de $f$ est $f('x) = \dfrac{16 x^{ 2 } - 28 x - 38}{(- 8 x + 7)^2}$
|
||||
\subpart Étudier le signe de $f$.
|
||||
\subpart Calculer l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ (la courbe représentative de $f$) au point d'abscisse $x = 1$.
|
||||
\end{subparts}
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||||
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||||
\end{parts}
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||||
|
||||
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||||
\question
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||||
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||||
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||||
Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\N$ par
|
||||
\begin{eqnarray*}
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||||
u_0 = 3 \hspace{2cm} u_{n+1} = - 7 u_n + 6
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Calculer les 4 premiers termes de la suite $(u_n)$.
|
||||
|
||||
|
||||
\part On pose $v_n = u_n - \frac{ 3 }{ 4 }$.
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart Calculer les 4 premiers termes de la suite $(v_n)$
|
||||
\subpart Démontrer que $(v_n)$ est géométrique de raison $q = -7$.
|
||||
\subpart En déduire l'expression explicite de $(v_n)$.
|
||||
|
||||
\subpart En déduire que l'expression explicite de $(u_n)$ est $u_n = \frac{ 9 }{ 4 } \times ( -7 )^{ n } + \frac{ 3 }{ 4 }$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\part Écrire un algorithme qui prend en argument un rang \texttt{n} et qui renvoie la la valeur de $v_n$ (vous ne pouvez pas utiliser la formule explicite)
|
||||
\part Écrire un algorithme qui prend en argument un rang \texttt{n} et qui renvoie la la valeur de $u_0 + u_1 +\cdots + u_n$ ( vous pouvez utiliser la formule explicite)
|
||||
\end{parts}
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||||
\end{questions}
|
||||
|
||||
\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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% Title Page
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\titre{DM7}
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% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
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\classe{\premiereS}
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\date{28 mai 2015}
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%\duree{1 heure}
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\sujet{22}
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% DS DSCorr DM DMCorr Corr
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\typedoc{DM}
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%\printanswers
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\begin{document}
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\maketitle
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||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. Vous rendrez le sujet avec la copie.
|
||||
|
||||
\begin{questions}
|
||||
\question
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Dessiner un cercle trigonométrique et y placer les angles suivants (détailler les calculs si vous utilisez la mesure principale de l'angle)
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{parts}
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\alpha = \frac{-4\pi}{6}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\beta= \frac{9\pi}{6}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\delta = \frac{-21\pi}{3}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\sigma = \frac{34\pi}{3}$
|
||||
\end{parts}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\cercleTrigo
|
||||
\draw (-120.0:1) node[rotate = -120.0] {-} node[above] {$\alpha$};
|
||||
\draw (270.0:1) node[rotate = 270.0] {-} node[below] {$\beta$};
|
||||
\draw (-1260.0:1) node[rotate = -1260.0] {-} node[right] {$\delta$};
|
||||
\draw (2040.0:1) node[rotate = 2040.0] {-} node[left] {$\sigma$};
|
||||
|
||||
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\part On pose $||\vec{u}|| = 10 $, $||\vec{v}|| = 8 $ et $\vec{u}.\vec{v} = 24.0$ calculer les quantités suivantes
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart $(\vec{u} - 4 \vec{v})(\vec{v} + 4 \vec{u})$
|
||||
\subpart $||4\vec{u} - 4 \vec{v}||$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
|
||||
\end{multicols}
|
||||
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
\question
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes
|
||||
% Il y aura toujours 2 racines
|
||||
|
||||
% Il y aura toujours 2 racines
|
||||
|
||||
% Il y aura toujours une valeur interdite à ajouter
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{3}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart $f:x \mapsto \dfrac{1}{- 4 x^{ 2 } + 3 x + 8}$
|
||||
\subpart $g:x\mapsto \dfrac{1}{- 2 \sqrt{x} + 9}$
|
||||
\subpart $h:x \mapsto \sqrt{- 2 x^{ 2 } - 10 x - 1}$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
On constate que $f$ est une fonction de la forme
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f(x) = \frac{1}{u(x)} &\mbox{ avec }& u(x) = - 4 x^{ 2 } + 3 x + 8
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Comme $u(x)$ est un polynôme, son domaine de définition est $D_u = \R$. Il faut maintenant déterminer les valeurs de $x$ tels que $u(x) = 0$.
|
||||
|
||||
On résout l'équation $- 4 x^{ 2 } + 3 x + 8 = 0$:
|
||||
|
||||
|
||||
On commence par calculer le discriminant de $P(x) = - 4 x^{ 2 } + 3 x + 8$.
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\Delta & = & b^2-4ac \\
|
||||
\Delta & = & 3^{ 2 } - 4 -4 \times 8 \\
|
||||
\Delta & = & 9 - 4 \times ( -32 ) \\
|
||||
\Delta & = & 9 - ( -128 ) \\
|
||||
\Delta & = & 137
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
|
||||
comme $\Delta = 137 > 0$ donc $P$ a deux racines
|
||||
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{137}}{2 \times -4} = \frac{3}{8} + \frac{\sqrt{137}}{8} \\
|
||||
x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{137}}{2 \times -4} = - \frac{\sqrt{137}}{8} + \frac{3}{8}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
Les solutions de l'équation $- 4 x^{ 2 } + 3 x + 8 = 0$ sont donc $\mathcal{S} = \left\{ \frac{3}{8} + \frac{\sqrt{137}}{8}; - \frac{\sqrt{137}}{8} + \frac{3}{8} \right\}$
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Donc finalement, $f$ est définie sur $D_f = \R \backslash \left\{ \frac{3}{8} + \frac{\sqrt{137}}{8}, - \frac{\sqrt{137}}{8} + \frac{3}{8} \right\}$.
|
||||
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
\part Soit $f$ un fonction définie par
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f:x\mapsto \frac{- 9 x^{ 2 } + 7 x + 9}{- 7 x + 6}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart Déterminer le domaine de définition de $f$
|
||||
|
||||
\subpart Démontrer que la dérivé de $f$ est $f('x) = \dfrac{63 x^{ 2 } - 108 x + 105}{(- 7 x + 6)^2}$
|
||||
\subpart Étudier le signe de $f$.
|
||||
\subpart Calculer l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ (la courbe représentative de $f$) au point d'abscisse $x = 1$.
|
||||
\end{subparts}
|
||||
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
|
||||
\question
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\N$ par
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u_0 = 4 \hspace{2cm} u_{n+1} = 10 u_n + 7
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Calculer les 4 premiers termes de la suite $(u_n)$.
|
||||
|
||||
|
||||
\part On pose $v_n = u_n + \frac{ 7 }{ 9 }$.
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart Calculer les 4 premiers termes de la suite $(v_n)$
|
||||
\subpart Démontrer que $(v_n)$ est géométrique de raison $q = 10$.
|
||||
\subpart En déduire l'expression explicite de $(v_n)$.
|
||||
|
||||
\subpart En déduire que l'expression explicite de $(u_n)$ est $u_n = \frac{ 43 }{ 9 } \times 10^{ n } + \frac{ -7 }{ 9 }$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\part Écrire un algorithme qui prend en argument un rang \texttt{n} et qui renvoie la la valeur de $v_n$ (vous ne pouvez pas utiliser la formule explicite)
|
||||
\part Écrire un algorithme qui prend en argument un rang \texttt{n} et qui renvoie la la valeur de $u_0 + u_1 +\cdots + u_n$ ( vous pouvez utiliser la formule explicite)
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
\end{questions}
|
||||
|
||||
\end{document}
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|
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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\documentclass[a4paper,12pt, table]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/tools/style/classDS}
|
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% Title Page
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\titre{DM7}
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% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
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||||
\classe{\premiereS}
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||||
\date{28 mai 2015}
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||||
%\duree{1 heure}
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||||
\sujet{23}
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||||
% DS DSCorr DM DMCorr Corr
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\typedoc{DM}
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%\printanswers
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\begin{document}
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||||
\maketitle
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||||
|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. Vous rendrez le sujet avec la copie.
|
||||
|
||||
\begin{questions}
|
||||
\question
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Dessiner un cercle trigonométrique et y placer les angles suivants (détailler les calculs si vous utilisez la mesure principale de l'angle)
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{parts}
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\alpha = \frac{4\pi}{4}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\beta= \frac{-9\pi}{6}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\delta = \frac{41\pi}{3}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\sigma = \frac{23\pi}{3}$
|
||||
\end{parts}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\cercleTrigo
|
||||
\draw (180.0:1) node[rotate = 180.0] {-} node[above] {$\alpha$};
|
||||
\draw (-270.0:1) node[rotate = -270.0] {-} node[below] {$\beta$};
|
||||
\draw (2460.0:1) node[rotate = 2460.0] {-} node[right] {$\delta$};
|
||||
\draw (1380.0:1) node[rotate = 1380.0] {-} node[left] {$\sigma$};
|
||||
|
||||
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\part On pose $||\vec{u}|| = 4 $, $||\vec{v}|| = 10 $ et $\vec{u}.\vec{v} = 32.0$ calculer les quantités suivantes
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart $(\vec{u} - 10 \vec{v})(\vec{v} + 3 \vec{u})$
|
||||
\subpart $||3\vec{u} - 10 \vec{v}||$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
|
||||
\end{multicols}
|
||||
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
\question
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes
|
||||
% Il y aura toujours 2 racines
|
||||
|
||||
% Il y aura toujours 2 racines
|
||||
|
||||
% Il y aura toujours une valeur interdite à ajouter
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{3}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart $f:x \mapsto \dfrac{1}{5 x^{ 2 } - 2 x + 3}$
|
||||
\subpart $g:x\mapsto \dfrac{1}{\sqrt{x} - 9}$
|
||||
\subpart $h:x \mapsto \sqrt{x^{ 2 } + 5 x - 9}$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
On constate que $f$ est une fonction de la forme
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f(x) = \frac{1}{u(x)} &\mbox{ avec }& u(x) = 5 x^{ 2 } - 2 x + 3
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Comme $u(x)$ est un polynôme, son domaine de définition est $D_u = \R$. Il faut maintenant déterminer les valeurs de $x$ tels que $u(x) = 0$.
|
||||
|
||||
On résout l'équation $5 x^{ 2 } - 2 x + 3 = 0$:
|
||||
|
||||
|
||||
On commence par calculer le discriminant de $P(x) = 5 x^{ 2 } - 2 x + 3$.
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\Delta & = & b^2-4ac \\
|
||||
\Delta & = & ( -2 )^{ 2 } - 4 \times 5 \times 3 \\
|
||||
\Delta & = & 4 - 4 \times 15 \\
|
||||
\Delta & = & 4 - 60 \\
|
||||
\Delta & = & -56
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
|
||||
Alors $\Delta = -56 < 0$ donc $P$ n'a pas de racine donc l'équation $5 x^{ 2 } - 2 x + 3 = 0$ n'a pas de solution.
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Donc finalement, $f$ est définie sur $D_f = \R \backslash \left\{ , \right\}$.
|
||||
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
\part Soit $f$ un fonction définie par
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f:x\mapsto \frac{2 x^{ 2 } - 7 x + 9}{3 x - 10}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart Déterminer le domaine de définition de $f$
|
||||
|
||||
\subpart Démontrer que la dérivé de $f$ est $f('x) = \dfrac{6 x^{ 2 } - 40 x + 43}{(3 x - 10)^2}$
|
||||
\subpart Étudier le signe de $f$.
|
||||
\subpart Calculer l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ (la courbe représentative de $f$) au point d'abscisse $x = 1$.
|
||||
\end{subparts}
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\end{parts}
|
||||
|
||||
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\question
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||||
Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\N$ par
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
u_0 = 2 \hspace{2cm} u_{n+1} = - 8 u_n + 9
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Calculer les 4 premiers termes de la suite $(u_n)$.
|
||||
|
||||
|
||||
\part On pose $v_n = u_n - 1$.
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart Calculer les 4 premiers termes de la suite $(v_n)$
|
||||
\subpart Démontrer que $(v_n)$ est géométrique de raison $q = -8$.
|
||||
\subpart En déduire l'expression explicite de $(v_n)$.
|
||||
|
||||
\subpart En déduire que l'expression explicite de $(u_n)$ est $u_n = 1 \times ( -8 )^{ n } + 1$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\part Écrire un algorithme qui prend en argument un rang \texttt{n} et qui renvoie la la valeur de $v_n$ (vous ne pouvez pas utiliser la formule explicite)
|
||||
\part Écrire un algorithme qui prend en argument un rang \texttt{n} et qui renvoie la la valeur de $u_0 + u_1 +\cdots + u_n$ ( vous pouvez utiliser la formule explicite)
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
\end{questions}
|
||||
|
||||
\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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1S/DM/DM_0528/24_DM_0528.tex
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\documentclass[a4paper,12pt, table]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/tools/style/classDS}
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\usepackage{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/2014_2015}
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% Title Page
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\titre{DM7}
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% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
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\classe{\premiereS}
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\date{28 mai 2015}
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%\duree{1 heure}
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\sujet{24}
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% DS DSCorr DM DMCorr Corr
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\typedoc{DM}
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%\printanswers
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\begin{document}
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\maketitle
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Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. Vous rendrez le sujet avec la copie.
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\begin{questions}
|
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\question
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Dessiner un cercle trigonométrique et y placer les angles suivants (détailler les calculs si vous utilisez la mesure principale de l'angle)
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{parts}
|
||||
|
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|
||||
\part $\alpha = \frac{10\pi}{3}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\beta= \frac{11\pi}{3}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\delta = \frac{-12\pi}{3}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\sigma = \frac{14\pi}{6}$
|
||||
\end{parts}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\cercleTrigo
|
||||
\draw (600.0:1) node[rotate = 600.0] {-} node[above] {$\alpha$};
|
||||
\draw (660.0:1) node[rotate = 660.0] {-} node[below] {$\beta$};
|
||||
\draw (-720.0:1) node[rotate = -720.0] {-} node[right] {$\delta$};
|
||||
\draw (420.0:1) node[rotate = 420.0] {-} node[left] {$\sigma$};
|
||||
|
||||
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\part On pose $||\vec{u}|| = 10 $, $||\vec{v}|| = 9 $ et $\vec{u}.\vec{v} = -45.0$ calculer les quantités suivantes
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart $(\vec{u} - 6 \vec{v})(\vec{v} + 6 \vec{u})$
|
||||
\subpart $||6\vec{u} - 6 \vec{v}||$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
|
||||
\end{multicols}
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||||
|
||||
\end{parts}
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||||
|
||||
\question
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes
|
||||
% Il y aura toujours 2 racines
|
||||
|
||||
% Il y aura toujours 2 racines
|
||||
|
||||
% Il y aura toujours une valeur interdite à ajouter
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{3}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart $f:x \mapsto \dfrac{1}{- 9 x^{ 2 } + 3 x + 3}$
|
||||
\subpart $g:x\mapsto \dfrac{1}{\sqrt{x} - 3}$
|
||||
\subpart $h:x \mapsto \sqrt{- 5 x^{ 2 } + 10 x - 8}$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
On constate que $f$ est une fonction de la forme
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f(x) = \frac{1}{u(x)} &\mbox{ avec }& u(x) = - 9 x^{ 2 } + 3 x + 3
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Comme $u(x)$ est un polynôme, son domaine de définition est $D_u = \R$. Il faut maintenant déterminer les valeurs de $x$ tels que $u(x) = 0$.
|
||||
|
||||
On résout l'équation $- 9 x^{ 2 } + 3 x + 3 = 0$:
|
||||
|
||||
|
||||
On commence par calculer le discriminant de $P(x) = - 9 x^{ 2 } + 3 x + 3$.
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\Delta & = & b^2-4ac \\
|
||||
\Delta & = & 3^{ 2 } - 4 -9 \times 3 \\
|
||||
\Delta & = & 9 - 4 \times ( -27 ) \\
|
||||
\Delta & = & 9 - ( -108 ) \\
|
||||
\Delta & = & 117
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
|
||||
comme $\Delta = 117 > 0$ donc $P$ a deux racines
|
||||
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{117}}{2 \times -9} = \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{13}}{6} \\
|
||||
x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{117}}{2 \times -9} = - \frac{\sqrt{13}}{6} + \frac{1}{6}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
Les solutions de l'équation $- 9 x^{ 2 } + 3 x + 3 = 0$ sont donc $\mathcal{S} = \left\{ \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{13}}{6}; - \frac{\sqrt{13}}{6} + \frac{1}{6} \right\}$
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Donc finalement, $f$ est définie sur $D_f = \R \backslash \left\{ \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{13}}{6}, - \frac{\sqrt{13}}{6} + \frac{1}{6} \right\}$.
|
||||
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
\part Soit $f$ un fonction définie par
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f:x\mapsto \frac{- 10 x^{ 2 } - 6 x - 3}{- 8 x - 8}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart Déterminer le domaine de définition de $f$
|
||||
|
||||
\subpart Démontrer que la dérivé de $f$ est $f('x) = \dfrac{80 x^{ 2 } + 160 x + 24}{(- 8 x - 8)^2}$
|
||||
\subpart Étudier le signe de $f$.
|
||||
\subpart Calculer l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ (la courbe représentative de $f$) au point d'abscisse $x = 1$.
|
||||
\end{subparts}
|
||||
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
|
||||
\question
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\N$ par
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u_0 = -8 \hspace{2cm} u_{n+1} = - 4 u_n + 4
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Calculer les 4 premiers termes de la suite $(u_n)$.
|
||||
|
||||
|
||||
\part On pose $v_n = u_n - \frac{ 4 }{ 5 }$.
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart Calculer les 4 premiers termes de la suite $(v_n)$
|
||||
\subpart Démontrer que $(v_n)$ est géométrique de raison $q = -4$.
|
||||
\subpart En déduire l'expression explicite de $(v_n)$.
|
||||
|
||||
\subpart En déduire que l'expression explicite de $(u_n)$ est $u_n = \frac{ -44 }{ 5 } \times ( -4 )^{ n } + \frac{ 4 }{ 5 }$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\part Écrire un algorithme qui prend en argument un rang \texttt{n} et qui renvoie la la valeur de $v_n$ (vous ne pouvez pas utiliser la formule explicite)
|
||||
\part Écrire un algorithme qui prend en argument un rang \texttt{n} et qui renvoie la la valeur de $u_0 + u_1 +\cdots + u_n$ ( vous pouvez utiliser la formule explicite)
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
\end{questions}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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1S/DM/DM_0528/25_DM_0528.tex
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\documentclass[a4paper,12pt, table]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/tools/style/classDS}
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% Title Page
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\titre{DM7}
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% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
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\classe{\premiereS}
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\date{28 mai 2015}
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%\duree{1 heure}
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\sujet{25}
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% DS DSCorr DM DMCorr Corr
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\typedoc{DM}
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%\printanswers
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\begin{document}
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\maketitle
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|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. Vous rendrez le sujet avec la copie.
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||||
|
||||
\begin{questions}
|
||||
\question
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Dessiner un cercle trigonométrique et y placer les angles suivants (détailler les calculs si vous utilisez la mesure principale de l'angle)
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{parts}
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\alpha = \frac{18\pi}{6}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\beta= \frac{1\pi}{4}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\delta = \frac{29\pi}{3}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\sigma = \frac{12\pi}{3}$
|
||||
\end{parts}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\cercleTrigo
|
||||
\draw (540.0:1) node[rotate = 540.0] {-} node[above] {$\alpha$};
|
||||
\draw (45.0:1) node[rotate = 45.0] {-} node[below] {$\beta$};
|
||||
\draw (1740.0:1) node[rotate = 1740.0] {-} node[right] {$\delta$};
|
||||
\draw (720.0:1) node[rotate = 720.0] {-} node[left] {$\sigma$};
|
||||
|
||||
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\part On pose $||\vec{u}|| = 1 $, $||\vec{v}|| = 3 $ et $\vec{u}.\vec{v} = -0.9$ calculer les quantités suivantes
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart $(\vec{u} - 2 \vec{v})(\vec{v} + 10 \vec{u})$
|
||||
\subpart $||10\vec{u} - 2 \vec{v}||$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
|
||||
\end{multicols}
|
||||
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
\question
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes
|
||||
% Il y aura toujours 2 racines
|
||||
|
||||
% Il y aura toujours 2 racines
|
||||
|
||||
% Il y aura toujours une valeur interdite à ajouter
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{3}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart $f:x \mapsto \dfrac{1}{x^{ 2 } - 7 x + 3}$
|
||||
\subpart $g:x\mapsto \dfrac{1}{- 3 \sqrt{x} + 2}$
|
||||
\subpart $h:x \mapsto \sqrt{9 x^{ 2 } - x - 7}$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
On constate que $f$ est une fonction de la forme
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f(x) = \frac{1}{u(x)} &\mbox{ avec }& u(x) = x^{ 2 } - 7 x + 3
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Comme $u(x)$ est un polynôme, son domaine de définition est $D_u = \R$. Il faut maintenant déterminer les valeurs de $x$ tels que $u(x) = 0$.
|
||||
|
||||
On résout l'équation $x^{ 2 } - 7 x + 3 = 0$:
|
||||
|
||||
|
||||
On commence par calculer le discriminant de $P(x) = x^{ 2 } - 7 x + 3$.
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\Delta & = & b^2-4ac \\
|
||||
\Delta & = & ( -7 )^{ 2 } - 4 \times 1 \times 3 \\
|
||||
\Delta & = & 49 - 4 \times 3 \\
|
||||
\Delta & = & 49 - 12 \\
|
||||
\Delta & = & 37
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
|
||||
comme $\Delta = 37 > 0$ donc $P$ a deux racines
|
||||
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{37}}{2 \times 1} = - \frac{\sqrt{37}}{2} + \frac{7}{2} \\
|
||||
x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{37}}{2 \times 1} = \frac{\sqrt{37}}{2} + \frac{7}{2}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
Les solutions de l'équation $x^{ 2 } - 7 x + 3 = 0$ sont donc $\mathcal{S} = \left\{ - \frac{\sqrt{37}}{2} + \frac{7}{2}; \frac{\sqrt{37}}{2} + \frac{7}{2} \right\}$
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Donc finalement, $f$ est définie sur $D_f = \R \backslash \left\{ - \frac{\sqrt{37}}{2} + \frac{7}{2}, \frac{\sqrt{37}}{2} + \frac{7}{2} \right\}$.
|
||||
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
\part Soit $f$ un fonction définie par
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f:x\mapsto \frac{- 2 x^{ 2 } + 9 x - 7}{4 x + 1}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart Déterminer le domaine de définition de $f$
|
||||
|
||||
\subpart Démontrer que la dérivé de $f$ est $f('x) = \dfrac{- 8 x^{ 2 } - 4 x + 37}{(4 x + 1)^2}$
|
||||
\subpart Étudier le signe de $f$.
|
||||
\subpart Calculer l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ (la courbe représentative de $f$) au point d'abscisse $x = 1$.
|
||||
\end{subparts}
|
||||
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
|
||||
\question
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\N$ par
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u_0 = -10 \hspace{2cm} u_{n+1} = 9 u_n - 10
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Calculer les 4 premiers termes de la suite $(u_n)$.
|
||||
|
||||
|
||||
\part On pose $v_n = u_n - \frac{ 5 }{ 4 }$.
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart Calculer les 4 premiers termes de la suite $(v_n)$
|
||||
\subpart Démontrer que $(v_n)$ est géométrique de raison $q = 9$.
|
||||
\subpart En déduire l'expression explicite de $(v_n)$.
|
||||
|
||||
\subpart En déduire que l'expression explicite de $(u_n)$ est $u_n = \frac{ -45 }{ 4 } \times 9^{ n } + \frac{ 5 }{ 4 }$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\part Écrire un algorithme qui prend en argument un rang \texttt{n} et qui renvoie la la valeur de $v_n$ (vous ne pouvez pas utiliser la formule explicite)
|
||||
\part Écrire un algorithme qui prend en argument un rang \texttt{n} et qui renvoie la la valeur de $u_0 + u_1 +\cdots + u_n$ ( vous pouvez utiliser la formule explicite)
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
\end{questions}
|
||||
|
||||
\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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% Title Page
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\titre{DM7}
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% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
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\classe{\premiereS}
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\date{28 mai 2015}
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%\duree{1 heure}
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\sujet{26}
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% DS DSCorr DM DMCorr Corr
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\typedoc{DM}
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%\printanswers
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\begin{document}
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\maketitle
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Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. Vous rendrez le sujet avec la copie.
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\begin{questions}
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\question
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\begin{parts}
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||||
\part Dessiner un cercle trigonométrique et y placer les angles suivants (détailler les calculs si vous utilisez la mesure principale de l'angle)
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||||
\begin{multicols}{2}
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\begin{parts}
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\part $\alpha = \frac{0\pi}{4}$
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||||
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\part $\beta= \frac{-7\pi}{6}$
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||||
|
||||
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||||
\part $\delta = \frac{-10\pi}{6}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\sigma = \frac{-16\pi}{3}$
|
||||
\end{parts}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\cercleTrigo
|
||||
\draw (0.0:1) node[rotate = 0.0] {-} node[above] {$\alpha$};
|
||||
\draw (-210.0:1) node[rotate = -210.0] {-} node[below] {$\beta$};
|
||||
\draw (-300.0:1) node[rotate = -300.0] {-} node[right] {$\delta$};
|
||||
\draw (-960.0:1) node[rotate = -960.0] {-} node[left] {$\sigma$};
|
||||
|
||||
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\end{solution}
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||||
|
||||
|
||||
|
||||
\part On pose $||\vec{u}|| = 8 $, $||\vec{v}|| = 7 $ et $\vec{u}.\vec{v} = 0.0$ calculer les quantités suivantes
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart $(\vec{u} - 7 \vec{v})(\vec{v} + 4 \vec{u})$
|
||||
\subpart $||4\vec{u} - 7 \vec{v}||$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
|
||||
\end{multicols}
|
||||
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
\question
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes
|
||||
% Il y aura toujours 2 racines
|
||||
|
||||
% Il y aura toujours 2 racines
|
||||
|
||||
% Il y aura toujours une valeur interdite à ajouter
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{3}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart $f:x \mapsto \dfrac{1}{- 5 x^{ 2 } + x - 8}$
|
||||
\subpart $g:x\mapsto \dfrac{1}{- 3 \sqrt{x} + 4}$
|
||||
\subpart $h:x \mapsto \sqrt{5 x^{ 2 } - 7 x - 3}$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
On constate que $f$ est une fonction de la forme
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f(x) = \frac{1}{u(x)} &\mbox{ avec }& u(x) = - 5 x^{ 2 } + x - 8
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Comme $u(x)$ est un polynôme, son domaine de définition est $D_u = \R$. Il faut maintenant déterminer les valeurs de $x$ tels que $u(x) = 0$.
|
||||
|
||||
On résout l'équation $- 5 x^{ 2 } + x - 8 = 0$:
|
||||
|
||||
|
||||
On commence par calculer le discriminant de $P(x) = - 5 x^{ 2 } + x - 8$.
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\Delta & = & b^2-4ac \\
|
||||
\Delta & = & 1^{ 2 } - 4 -5 \times ( -8 ) \\
|
||||
\Delta & = & 1 - 4 \times 40 \\
|
||||
\Delta & = & 1 - 160 \\
|
||||
\Delta & = & -159
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
|
||||
Alors $\Delta = -159 < 0$ donc $P$ n'a pas de racine donc l'équation $- 5 x^{ 2 } + x - 8 = 0$ n'a pas de solution.
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Donc finalement, $f$ est définie sur $D_f = \R \backslash \left\{ , \right\}$.
|
||||
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
\part Soit $f$ un fonction définie par
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f:x\mapsto \frac{- 3 x^{ 2 } + 9 x + 6}{- 3 x - 10}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart Déterminer le domaine de définition de $f$
|
||||
|
||||
\subpart Démontrer que la dérivé de $f$ est $f('x) = \dfrac{9 x^{ 2 } + 60 x - 72}{(- 3 x - 10)^2}$
|
||||
\subpart Étudier le signe de $f$.
|
||||
\subpart Calculer l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ (la courbe représentative de $f$) au point d'abscisse $x = 1$.
|
||||
\end{subparts}
|
||||
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
|
||||
\question
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\N$ par
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u_0 = 5 \hspace{2cm} u_{n+1} = - 7 u_n + 4
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Calculer les 4 premiers termes de la suite $(u_n)$.
|
||||
|
||||
|
||||
\part On pose $v_n = u_n - \frac{ 1 }{ 2 }$.
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart Calculer les 4 premiers termes de la suite $(v_n)$
|
||||
\subpart Démontrer que $(v_n)$ est géométrique de raison $q = -7$.
|
||||
\subpart En déduire l'expression explicite de $(v_n)$.
|
||||
|
||||
\subpart En déduire que l'expression explicite de $(u_n)$ est $u_n = \frac{ 9 }{ 2 } \times ( -7 )^{ n } + \frac{ 1 }{ 2 }$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\part Écrire un algorithme qui prend en argument un rang \texttt{n} et qui renvoie la la valeur de $v_n$ (vous ne pouvez pas utiliser la formule explicite)
|
||||
\part Écrire un algorithme qui prend en argument un rang \texttt{n} et qui renvoie la la valeur de $u_0 + u_1 +\cdots + u_n$ ( vous pouvez utiliser la formule explicite)
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
\end{questions}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
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|
||||
%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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\documentclass[a4paper,12pt, table]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/tools/style/classDS}
|
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\usepackage{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/2014_2015}
|
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|
||||
% Title Page
|
||||
\titre{DM7}
|
||||
% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
|
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\classe{\premiereS}
|
||||
\date{28 mai 2015}
|
||||
%\duree{1 heure}
|
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\sujet{27}
|
||||
% DS DSCorr DM DMCorr Corr
|
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\typedoc{DM}
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%\printanswers
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\begin{document}
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\maketitle
|
||||
|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. Vous rendrez le sujet avec la copie.
|
||||
|
||||
\begin{questions}
|
||||
\question
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Dessiner un cercle trigonométrique et y placer les angles suivants (détailler les calculs si vous utilisez la mesure principale de l'angle)
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{parts}
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\alpha = \frac{18\pi}{6}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\beta= \frac{35\pi}{4}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\delta = \frac{-22\pi}{6}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\sigma = \frac{-16\pi}{6}$
|
||||
\end{parts}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\cercleTrigo
|
||||
\draw (540.0:1) node[rotate = 540.0] {-} node[above] {$\alpha$};
|
||||
\draw (1575.0:1) node[rotate = 1575.0] {-} node[below] {$\beta$};
|
||||
\draw (-660.0:1) node[rotate = -660.0] {-} node[right] {$\delta$};
|
||||
\draw (-480.0:1) node[rotate = -480.0] {-} node[left] {$\sigma$};
|
||||
|
||||
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\part On pose $||\vec{u}|| = 10 $, $||\vec{v}|| = 1 $ et $\vec{u}.\vec{v} = -3.0$ calculer les quantités suivantes
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart $(\vec{u} - 3 \vec{v})(\vec{v} + 7 \vec{u})$
|
||||
\subpart $||7\vec{u} - 3 \vec{v}||$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
|
||||
\end{multicols}
|
||||
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
\question
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes
|
||||
% Il y aura toujours 2 racines
|
||||
|
||||
% Il y aura toujours 2 racines
|
||||
|
||||
% Il y aura toujours une valeur interdite à ajouter
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{3}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart $f:x \mapsto \dfrac{1}{6 x^{ 2 } - x - 7}$
|
||||
\subpart $g:x\mapsto \dfrac{1}{- 3 \sqrt{x} + 5}$
|
||||
\subpart $h:x \mapsto \sqrt{- 4 x^{ 2 } + 2 x - 7}$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
On constate que $f$ est une fonction de la forme
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f(x) = \frac{1}{u(x)} &\mbox{ avec }& u(x) = 6 x^{ 2 } - x - 7
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Comme $u(x)$ est un polynôme, son domaine de définition est $D_u = \R$. Il faut maintenant déterminer les valeurs de $x$ tels que $u(x) = 0$.
|
||||
|
||||
On résout l'équation $6 x^{ 2 } - x - 7 = 0$:
|
||||
|
||||
|
||||
On commence par calculer le discriminant de $P(x) = 6 x^{ 2 } - x - 7$.
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\Delta & = & b^2-4ac \\
|
||||
\Delta & = & ( -1 )^{ 2 } - 4 \times 6 \times ( -7 ) \\
|
||||
\Delta & = & 1 - 4 \times ( -42 ) \\
|
||||
\Delta & = & 1 - ( -168 ) \\
|
||||
\Delta & = & 169
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
|
||||
comme $\Delta = 169 > 0$ donc $P$ a deux racines
|
||||
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{169}}{2 \times 6} = -1 \\
|
||||
x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{169}}{2 \times 6} = \frac{7}{6}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
Les solutions de l'équation $6 x^{ 2 } - x - 7 = 0$ sont donc $\mathcal{S} = \left\{ -1; \frac{7}{6} \right\}$
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Donc finalement, $f$ est définie sur $D_f = \R \backslash \left\{ -1, \frac{7}{6} \right\}$.
|
||||
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
\part Soit $f$ un fonction définie par
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f:x\mapsto \frac{- 5 x^{ 2 } + 10 x - 3}{6 x - 10}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart Déterminer le domaine de définition de $f$
|
||||
|
||||
\subpart Démontrer que la dérivé de $f$ est $f('x) = \dfrac{- 30 x^{ 2 } + 100 x - 82}{(6 x - 10)^2}$
|
||||
\subpart Étudier le signe de $f$.
|
||||
\subpart Calculer l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ (la courbe représentative de $f$) au point d'abscisse $x = 1$.
|
||||
\end{subparts}
|
||||
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
|
||||
\question
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\N$ par
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u_0 = 1 \hspace{2cm} u_{n+1} = - 6 u_n - 2
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Calculer les 4 premiers termes de la suite $(u_n)$.
|
||||
|
||||
|
||||
\part On pose $v_n = u_n + \frac{ 2 }{ 7 }$.
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart Calculer les 4 premiers termes de la suite $(v_n)$
|
||||
\subpart Démontrer que $(v_n)$ est géométrique de raison $q = -6$.
|
||||
\subpart En déduire l'expression explicite de $(v_n)$.
|
||||
|
||||
\subpart En déduire que l'expression explicite de $(u_n)$ est $u_n = \frac{ 9 }{ 7 } \times ( -6 )^{ n } + \frac{ -2 }{ 7 }$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\part Écrire un algorithme qui prend en argument un rang \texttt{n} et qui renvoie la la valeur de $v_n$ (vous ne pouvez pas utiliser la formule explicite)
|
||||
\part Écrire un algorithme qui prend en argument un rang \texttt{n} et qui renvoie la la valeur de $u_0 + u_1 +\cdots + u_n$ ( vous pouvez utiliser la formule explicite)
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
\end{questions}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "master"
|
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%%% End:
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1S/DM/DM_0528/28_DM_0528.tex
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\documentclass[a4paper,12pt, table]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/tools/style/classDS}
|
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% Title Page
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\titre{DM7}
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||||
% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
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||||
\classe{\premiereS}
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||||
\date{28 mai 2015}
|
||||
%\duree{1 heure}
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||||
\sujet{28}
|
||||
% DS DSCorr DM DMCorr Corr
|
||||
\typedoc{DM}
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||||
|
||||
%\printanswers
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. Vous rendrez le sujet avec la copie.
|
||||
|
||||
\begin{questions}
|
||||
\question
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Dessiner un cercle trigonométrique et y placer les angles suivants (détailler les calculs si vous utilisez la mesure principale de l'angle)
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{parts}
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\alpha = \frac{-17\pi}{6}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\beta= \frac{-26\pi}{6}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\delta = \frac{-29\pi}{6}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\sigma = \frac{33\pi}{3}$
|
||||
\end{parts}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\cercleTrigo
|
||||
\draw (-510.0:1) node[rotate = -510.0] {-} node[above] {$\alpha$};
|
||||
\draw (-780.0:1) node[rotate = -780.0] {-} node[below] {$\beta$};
|
||||
\draw (-870.0:1) node[rotate = -870.0] {-} node[right] {$\delta$};
|
||||
\draw (1980.0:1) node[rotate = 1980.0] {-} node[left] {$\sigma$};
|
||||
|
||||
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\part On pose $||\vec{u}|| = 4 $, $||\vec{v}|| = 6 $ et $\vec{u}.\vec{v} = 16.8$ calculer les quantités suivantes
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart $(\vec{u} - 7 \vec{v})(\vec{v} + 5 \vec{u})$
|
||||
\subpart $||5\vec{u} - 7 \vec{v}||$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
|
||||
\end{multicols}
|
||||
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
\question
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes
|
||||
% Il y aura toujours 2 racines
|
||||
|
||||
% Il y aura toujours 2 racines
|
||||
|
||||
% Il y aura toujours une valeur interdite à ajouter
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{3}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart $f:x \mapsto \dfrac{1}{2 x^{ 2 } - 10 x + 9}$
|
||||
\subpart $g:x\mapsto \dfrac{1}{- \sqrt{x} + 9}$
|
||||
\subpart $h:x \mapsto \sqrt{6 x^{ 2 } - 4 x + 5}$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
On constate que $f$ est une fonction de la forme
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f(x) = \frac{1}{u(x)} &\mbox{ avec }& u(x) = 2 x^{ 2 } - 10 x + 9
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Comme $u(x)$ est un polynôme, son domaine de définition est $D_u = \R$. Il faut maintenant déterminer les valeurs de $x$ tels que $u(x) = 0$.
|
||||
|
||||
On résout l'équation $2 x^{ 2 } - 10 x + 9 = 0$:
|
||||
|
||||
|
||||
On commence par calculer le discriminant de $P(x) = 2 x^{ 2 } - 10 x + 9$.
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\Delta & = & b^2-4ac \\
|
||||
\Delta & = & ( -10 )^{ 2 } - 4 \times 2 \times 9 \\
|
||||
\Delta & = & 100 - 4 \times 18 \\
|
||||
\Delta & = & 100 - 72 \\
|
||||
\Delta & = & 28
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
|
||||
comme $\Delta = 28 > 0$ donc $P$ a deux racines
|
||||
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-10 - \sqrt{28}}{2 \times 2} = - \frac{\sqrt{7}}{2} + \frac{5}{2} \\
|
||||
x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-10 + \sqrt{28}}{2 \times 2} = \frac{\sqrt{7}}{2} + \frac{5}{2}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
Les solutions de l'équation $2 x^{ 2 } - 10 x + 9 = 0$ sont donc $\mathcal{S} = \left\{ - \frac{\sqrt{7}}{2} + \frac{5}{2}; \frac{\sqrt{7}}{2} + \frac{5}{2} \right\}$
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||||
Donc finalement, $f$ est définie sur $D_f = \R \backslash \left\{ - \frac{\sqrt{7}}{2} + \frac{5}{2}, \frac{\sqrt{7}}{2} + \frac{5}{2} \right\}$.
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||||
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{solution}
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||||
\part Soit $f$ un fonction définie par
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
f:x\mapsto \frac{- 5 x^{ 2 } - 6 x + 6}{- 6 x - 6}
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||||
\end{eqnarray*}
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||||
\begin{subparts}
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||||
\subpart Déterminer le domaine de définition de $f$
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||||
|
||||
\subpart Démontrer que la dérivé de $f$ est $f('x) = \dfrac{30 x^{ 2 } + 60 x + 72}{(- 6 x - 6)^2}$
|
||||
\subpart Étudier le signe de $f$.
|
||||
\subpart Calculer l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ (la courbe représentative de $f$) au point d'abscisse $x = 1$.
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||||
\end{subparts}
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\end{parts}
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||||
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||||
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\question
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||||
Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\N$ par
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
u_0 = 2 \hspace{2cm} u_{n+1} = 5 u_n - 4
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||||
\end{eqnarray*}
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||||
\begin{parts}
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||||
\part Calculer les 4 premiers termes de la suite $(u_n)$.
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||||
|
||||
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||||
\part On pose $v_n = u_n - 1$.
|
||||
\begin{subparts}
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||||
\subpart Calculer les 4 premiers termes de la suite $(v_n)$
|
||||
\subpart Démontrer que $(v_n)$ est géométrique de raison $q = 5$.
|
||||
\subpart En déduire l'expression explicite de $(v_n)$.
|
||||
|
||||
\subpart En déduire que l'expression explicite de $(u_n)$ est $u_n = 1 \times 5^{ n } + 1$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\part Écrire un algorithme qui prend en argument un rang \texttt{n} et qui renvoie la la valeur de $v_n$ (vous ne pouvez pas utiliser la formule explicite)
|
||||
\part Écrire un algorithme qui prend en argument un rang \texttt{n} et qui renvoie la la valeur de $u_0 + u_1 +\cdots + u_n$ ( vous pouvez utiliser la formule explicite)
|
||||
\end{parts}
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\end{questions}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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\documentclass[a4paper,12pt, table]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/tools/style/classDS}
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% Title Page
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\titre{DM7}
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% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
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\classe{\premiereS}
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\date{28 mai 2015}
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%\duree{1 heure}
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\sujet{29}
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% DS DSCorr DM DMCorr Corr
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\typedoc{DM}
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%\printanswers
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\begin{document}
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\maketitle
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Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. Vous rendrez le sujet avec la copie.
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\begin{questions}
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\question
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||||
\begin{parts}
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||||
\part Dessiner un cercle trigonométrique et y placer les angles suivants (détailler les calculs si vous utilisez la mesure principale de l'angle)
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||||
\begin{multicols}{2}
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||||
\begin{parts}
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||||
|
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|
||||
\part $\alpha = \frac{8\pi}{6}$
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||||
|
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\part $\beta= \frac{-38\pi}{6}$
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||||
\part $\delta = \frac{3\pi}{4}$
|
||||
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|
||||
\part $\sigma = \frac{-25\pi}{6}$
|
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\end{parts}
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\end{multicols}
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||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{tikzpicture}
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||||
\cercleTrigo
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||||
\draw (240.0:1) node[rotate = 240.0] {-} node[above] {$\alpha$};
|
||||
\draw (-1140.0:1) node[rotate = -1140.0] {-} node[below] {$\beta$};
|
||||
\draw (135.0:1) node[rotate = 135.0] {-} node[right] {$\delta$};
|
||||
\draw (-750.0:1) node[rotate = -750.0] {-} node[left] {$\sigma$};
|
||||
|
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||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\end{solution}
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||||
|
||||
|
||||
|
||||
\part On pose $||\vec{u}|| = 5 $, $||\vec{v}|| = 2 $ et $\vec{u}.\vec{v} = -4.0$ calculer les quantités suivantes
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart $(\vec{u} - 7 \vec{v})(\vec{v} + 4 \vec{u})$
|
||||
\subpart $||4\vec{u} - 7 \vec{v}||$
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||||
\end{subparts}
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\end{multicols}
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||||
\end{parts}
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||||
\question
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||||
|
||||
|
||||
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||||
\begin{parts}
|
||||
\part Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes
|
||||
% Il y aura toujours 2 racines
|
||||
|
||||
% Il y aura toujours 2 racines
|
||||
|
||||
% Il y aura toujours une valeur interdite à ajouter
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{3}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart $f:x \mapsto \dfrac{1}{- 3 x^{ 2 } + 5 x + 9}$
|
||||
\subpart $g:x\mapsto \dfrac{1}{- 4 \sqrt{x} + 3}$
|
||||
\subpart $h:x \mapsto \sqrt{- 9 x^{ 2 } + 5 x + 3}$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
On constate que $f$ est une fonction de la forme
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f(x) = \frac{1}{u(x)} &\mbox{ avec }& u(x) = - 3 x^{ 2 } + 5 x + 9
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Comme $u(x)$ est un polynôme, son domaine de définition est $D_u = \R$. Il faut maintenant déterminer les valeurs de $x$ tels que $u(x) = 0$.
|
||||
|
||||
On résout l'équation $- 3 x^{ 2 } + 5 x + 9 = 0$:
|
||||
|
||||
|
||||
On commence par calculer le discriminant de $P(x) = - 3 x^{ 2 } + 5 x + 9$.
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\Delta & = & b^2-4ac \\
|
||||
\Delta & = & 5^{ 2 } - 4 -3 \times 9 \\
|
||||
\Delta & = & 25 - 4 \times ( -27 ) \\
|
||||
\Delta & = & 25 - ( -108 ) \\
|
||||
\Delta & = & 133
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
|
||||
comme $\Delta = 133 > 0$ donc $P$ a deux racines
|
||||
|
||||
\begin{eqnarray*}
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||||
x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{133}}{2 \times -3} = \frac{5}{6} + \frac{\sqrt{133}}{6} \\
|
||||
x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{133}}{2 \times -3} = - \frac{\sqrt{133}}{6} + \frac{5}{6}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
Les solutions de l'équation $- 3 x^{ 2 } + 5 x + 9 = 0$ sont donc $\mathcal{S} = \left\{ \frac{5}{6} + \frac{\sqrt{133}}{6}; - \frac{\sqrt{133}}{6} + \frac{5}{6} \right\}$
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Donc finalement, $f$ est définie sur $D_f = \R \backslash \left\{ \frac{5}{6} + \frac{\sqrt{133}}{6}, - \frac{\sqrt{133}}{6} + \frac{5}{6} \right\}$.
|
||||
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
\part Soit $f$ un fonction définie par
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f:x\mapsto \frac{x^{ 2 } - x + 4}{3 x + 7}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart Déterminer le domaine de définition de $f$
|
||||
|
||||
\subpart Démontrer que la dérivé de $f$ est $f('x) = \dfrac{3 x^{ 2 } + 14 x - 19}{(3 x + 7)^2}$
|
||||
\subpart Étudier le signe de $f$.
|
||||
\subpart Calculer l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ (la courbe représentative de $f$) au point d'abscisse $x = 1$.
|
||||
\end{subparts}
|
||||
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
|
||||
\question
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\N$ par
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u_0 = 7 \hspace{2cm} u_{n+1} = - u_n + 1
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Calculer les 4 premiers termes de la suite $(u_n)$.
|
||||
|
||||
|
||||
\part On pose $v_n = u_n - \frac{ 1 }{ 2 }$.
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart Calculer les 4 premiers termes de la suite $(v_n)$
|
||||
\subpart Démontrer que $(v_n)$ est géométrique de raison $q = -1$.
|
||||
\subpart En déduire l'expression explicite de $(v_n)$.
|
||||
|
||||
\subpart En déduire que l'expression explicite de $(u_n)$ est $u_n = \frac{ 13 }{ 2 } \times ( -1 )^{ n } + \frac{ 1 }{ 2 }$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\part Écrire un algorithme qui prend en argument un rang \texttt{n} et qui renvoie la la valeur de $v_n$ (vous ne pouvez pas utiliser la formule explicite)
|
||||
\part Écrire un algorithme qui prend en argument un rang \texttt{n} et qui renvoie la la valeur de $u_0 + u_1 +\cdots + u_n$ ( vous pouvez utiliser la formule explicite)
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
\end{questions}
|
||||
|
||||
\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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\documentclass[a4paper,12pt, table]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/tools/style/classDS}
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% Title Page
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\titre{DM7}
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% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
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\classe{\premiereS}
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\date{28 mai 2015}
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%\duree{1 heure}
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\sujet{2}
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% DS DSCorr DM DMCorr Corr
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\typedoc{DM}
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%\printanswers
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|
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\begin{document}
|
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||||
\maketitle
|
||||
|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. Vous rendrez le sujet avec la copie.
|
||||
|
||||
\begin{questions}
|
||||
\question
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Dessiner un cercle trigonométrique et y placer les angles suivants (détailler les calculs si vous utilisez la mesure principale de l'angle)
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{parts}
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\alpha = \frac{31\pi}{2}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\beta= \frac{-32\pi}{6}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\delta = \frac{32\pi}{3}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\sigma = \frac{-18\pi}{3}$
|
||||
\end{parts}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\cercleTrigo
|
||||
\draw (2790.0:1) node[rotate = 2790.0] {-} node[above] {$\alpha$};
|
||||
\draw (-960.0:1) node[rotate = -960.0] {-} node[below] {$\beta$};
|
||||
\draw (1920.0:1) node[rotate = 1920.0] {-} node[right] {$\delta$};
|
||||
\draw (-1080.0:1) node[rotate = -1080.0] {-} node[left] {$\sigma$};
|
||||
|
||||
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\part On pose $||\vec{u}|| = 7 $, $||\vec{v}|| = 8 $ et $\vec{u}.\vec{v} = -22.4$ calculer les quantités suivantes
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart $(\vec{u} - 10 \vec{v})(\vec{v} + 10 \vec{u})$
|
||||
\subpart $||10\vec{u} - 10 \vec{v}||$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
|
||||
\end{multicols}
|
||||
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
\question
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes
|
||||
% Il y aura toujours 2 racines
|
||||
|
||||
% Il y aura toujours 2 racines
|
||||
|
||||
% Il y aura toujours une valeur interdite à ajouter
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{3}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart $f:x \mapsto \dfrac{1}{- 10 x^{ 2 } + 3 x + 2}$
|
||||
\subpart $g:x\mapsto \dfrac{1}{- 10 \sqrt{x} + 4}$
|
||||
\subpart $h:x \mapsto \sqrt{- x^{ 2 } + 2 x + 7}$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
On constate que $f$ est une fonction de la forme
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f(x) = \frac{1}{u(x)} &\mbox{ avec }& u(x) = - 10 x^{ 2 } + 3 x + 2
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Comme $u(x)$ est un polynôme, son domaine de définition est $D_u = \R$. Il faut maintenant déterminer les valeurs de $x$ tels que $u(x) = 0$.
|
||||
|
||||
On résout l'équation $- 10 x^{ 2 } + 3 x + 2 = 0$:
|
||||
|
||||
|
||||
On commence par calculer le discriminant de $P(x) = - 10 x^{ 2 } + 3 x + 2$.
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\Delta & = & b^2-4ac \\
|
||||
\Delta & = & 3^{ 2 } - 4 -10 \times 2 \\
|
||||
\Delta & = & 9 - 4 \times ( -20 ) \\
|
||||
\Delta & = & 9 - ( -80 ) \\
|
||||
\Delta & = & 89
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
|
||||
comme $\Delta = 89 > 0$ donc $P$ a deux racines
|
||||
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{89}}{2 \times -10} = \frac{3}{20} + \frac{\sqrt{89}}{20} \\
|
||||
x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{89}}{2 \times -10} = - \frac{\sqrt{89}}{20} + \frac{3}{20}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
Les solutions de l'équation $- 10 x^{ 2 } + 3 x + 2 = 0$ sont donc $\mathcal{S} = \left\{ \frac{3}{20} + \frac{\sqrt{89}}{20}; - \frac{\sqrt{89}}{20} + \frac{3}{20} \right\}$
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Donc finalement, $f$ est définie sur $D_f = \R \backslash \left\{ \frac{3}{20} + \frac{\sqrt{89}}{20}, - \frac{\sqrt{89}}{20} + \frac{3}{20} \right\}$.
|
||||
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
\part Soit $f$ un fonction définie par
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f:x\mapsto \frac{- 2 x^{ 2 } - 2 x - 10}{- 3 x - 5}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart Déterminer le domaine de définition de $f$
|
||||
|
||||
\subpart Démontrer que la dérivé de $f$ est $f('x) = \dfrac{6 x^{ 2 } + 20 x - 20}{(- 3 x - 5)^2}$
|
||||
\subpart Étudier le signe de $f$.
|
||||
\subpart Calculer l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ (la courbe représentative de $f$) au point d'abscisse $x = 1$.
|
||||
\end{subparts}
|
||||
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
|
||||
\question
|
||||
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|
||||
|
||||
Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\N$ par
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u_0 = -4 \hspace{2cm} u_{n+1} = - 2 u_n - 7
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Calculer les 4 premiers termes de la suite $(u_n)$.
|
||||
|
||||
|
||||
\part On pose $v_n = u_n + \frac{ 7 }{ 3 }$.
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart Calculer les 4 premiers termes de la suite $(v_n)$
|
||||
\subpart Démontrer que $(v_n)$ est géométrique de raison $q = -2$.
|
||||
\subpart En déduire l'expression explicite de $(v_n)$.
|
||||
|
||||
\subpart En déduire que l'expression explicite de $(u_n)$ est $u_n = \frac{ -5 }{ 3 } \times ( -2 )^{ n } + \frac{ -7 }{ 3 }$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\part Écrire un algorithme qui prend en argument un rang \texttt{n} et qui renvoie la la valeur de $v_n$ (vous ne pouvez pas utiliser la formule explicite)
|
||||
\part Écrire un algorithme qui prend en argument un rang \texttt{n} et qui renvoie la la valeur de $u_0 + u_1 +\cdots + u_n$ ( vous pouvez utiliser la formule explicite)
|
||||
\end{parts}
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||||
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||||
\end{questions}
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||||
\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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\usepackage{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/2014_2015}
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% Title Page
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\titre{DM7}
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% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
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\classe{\premiereS}
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\date{28 mai 2015}
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%\duree{1 heure}
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\sujet{30}
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% DS DSCorr DM DMCorr Corr
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\typedoc{DM}
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%\printanswers
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\begin{document}
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\maketitle
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Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. Vous rendrez le sujet avec la copie.
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\begin{questions}
|
||||
\question
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Dessiner un cercle trigonométrique et y placer les angles suivants (détailler les calculs si vous utilisez la mesure principale de l'angle)
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{parts}
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\alpha = \frac{-35\pi}{4}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\beta= \frac{32\pi}{3}$
|
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|
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\part $\delta = \frac{14\pi}{6}$
|
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|
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\part $\sigma = \frac{-3\pi}{3}$
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\end{parts}
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\end{multicols}
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\begin{solution}
|
||||
\begin{tikzpicture}
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||||
\cercleTrigo
|
||||
\draw (-1575.0:1) node[rotate = -1575.0] {-} node[above] {$\alpha$};
|
||||
\draw (1920.0:1) node[rotate = 1920.0] {-} node[below] {$\beta$};
|
||||
\draw (420.0:1) node[rotate = 420.0] {-} node[right] {$\delta$};
|
||||
\draw (-180.0:1) node[rotate = -180.0] {-} node[left] {$\sigma$};
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||||
\end{tikzpicture}
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||||
\end{solution}
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||||
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||||
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||||
\part On pose $||\vec{u}|| = 5 $, $||\vec{v}|| = 4 $ et $\vec{u}.\vec{v} = 6.0$ calculer les quantités suivantes
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart $(\vec{u} - 8 \vec{v})(\vec{v} + 3 \vec{u})$
|
||||
\subpart $||3\vec{u} - 8 \vec{v}||$
|
||||
\end{subparts}
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||||
|
||||
\end{multicols}
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|
||||
\end{parts}
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||||
\question
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||||
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||||
|
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||||
\begin{parts}
|
||||
\part Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes
|
||||
% Il y aura toujours 2 racines
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||||
|
||||
% Il y aura toujours 2 racines
|
||||
|
||||
% Il y aura toujours une valeur interdite à ajouter
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{3}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart $f:x \mapsto \dfrac{1}{- 5 x^{ 2 } + x - 2}$
|
||||
\subpart $g:x\mapsto \dfrac{1}{- 4 \sqrt{x} + 3}$
|
||||
\subpart $h:x \mapsto \sqrt{4 x^{ 2 } - 10 x + 6}$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
On constate que $f$ est une fonction de la forme
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f(x) = \frac{1}{u(x)} &\mbox{ avec }& u(x) = - 5 x^{ 2 } + x - 2
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Comme $u(x)$ est un polynôme, son domaine de définition est $D_u = \R$. Il faut maintenant déterminer les valeurs de $x$ tels que $u(x) = 0$.
|
||||
|
||||
On résout l'équation $- 5 x^{ 2 } + x - 2 = 0$:
|
||||
|
||||
|
||||
On commence par calculer le discriminant de $P(x) = - 5 x^{ 2 } + x - 2$.
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\Delta & = & b^2-4ac \\
|
||||
\Delta & = & 1^{ 2 } - 4 -5 \times ( -2 ) \\
|
||||
\Delta & = & 1 - 4 \times 10 \\
|
||||
\Delta & = & 1 - 40 \\
|
||||
\Delta & = & -39
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
|
||||
Alors $\Delta = -39 < 0$ donc $P$ n'a pas de racine donc l'équation $- 5 x^{ 2 } + x - 2 = 0$ n'a pas de solution.
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||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Donc finalement, $f$ est définie sur $D_f = \R \backslash \left\{ , \right\}$.
|
||||
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
\part Soit $f$ un fonction définie par
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f:x\mapsto \frac{- 5 x^{ 2 } + 5 x - 8}{- 8 x - 5}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart Déterminer le domaine de définition de $f$
|
||||
|
||||
\subpart Démontrer que la dérivé de $f$ est $f('x) = \dfrac{40 x^{ 2 } + 50 x - 89}{(- 8 x - 5)^2}$
|
||||
\subpart Étudier le signe de $f$.
|
||||
\subpart Calculer l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ (la courbe représentative de $f$) au point d'abscisse $x = 1$.
|
||||
\end{subparts}
|
||||
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
|
||||
\question
|
||||
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||||
|
||||
|
||||
Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\N$ par
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u_0 = -5 \hspace{2cm} u_{n+1} = 10 u_n + 4
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Calculer les 4 premiers termes de la suite $(u_n)$.
|
||||
|
||||
|
||||
\part On pose $v_n = u_n + \frac{ 4 }{ 9 }$.
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart Calculer les 4 premiers termes de la suite $(v_n)$
|
||||
\subpart Démontrer que $(v_n)$ est géométrique de raison $q = 10$.
|
||||
\subpart En déduire l'expression explicite de $(v_n)$.
|
||||
|
||||
\subpart En déduire que l'expression explicite de $(u_n)$ est $u_n = \frac{ -41 }{ 9 } \times 10^{ n } + \frac{ -4 }{ 9 }$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\part Écrire un algorithme qui prend en argument un rang \texttt{n} et qui renvoie la la valeur de $v_n$ (vous ne pouvez pas utiliser la formule explicite)
|
||||
\part Écrire un algorithme qui prend en argument un rang \texttt{n} et qui renvoie la la valeur de $u_0 + u_1 +\cdots + u_n$ ( vous pouvez utiliser la formule explicite)
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
\end{questions}
|
||||
|
||||
\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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1S/DM/DM_0528/3_DM_0528.tex
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\documentclass[a4paper,12pt, table]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/tools/style/classDS}
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% Title Page
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\titre{DM7}
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% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
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\classe{\premiereS}
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\date{28 mai 2015}
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%\duree{1 heure}
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\sujet{3}
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% DS DSCorr DM DMCorr Corr
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\typedoc{DM}
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%\printanswers
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\begin{document}
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\maketitle
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||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. Vous rendrez le sujet avec la copie.
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||||
\begin{questions}
|
||||
\question
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Dessiner un cercle trigonométrique et y placer les angles suivants (détailler les calculs si vous utilisez la mesure principale de l'angle)
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{parts}
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\alpha = \frac{-16\pi}{3}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\beta= \frac{1\pi}{4}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\delta = \frac{-5\pi}{4}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\sigma = \frac{0\pi}{3}$
|
||||
\end{parts}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\cercleTrigo
|
||||
\draw (-960.0:1) node[rotate = -960.0] {-} node[above] {$\alpha$};
|
||||
\draw (45.0:1) node[rotate = 45.0] {-} node[below] {$\beta$};
|
||||
\draw (-225.0:1) node[rotate = -225.0] {-} node[right] {$\delta$};
|
||||
\draw (0.0:1) node[rotate = 0.0] {-} node[left] {$\sigma$};
|
||||
|
||||
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\part On pose $||\vec{u}|| = 7 $, $||\vec{v}|| = 4 $ et $\vec{u}.\vec{v} = -19.6$ calculer les quantités suivantes
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart $(\vec{u} - 1 \vec{v})(\vec{v} + 3 \vec{u})$
|
||||
\subpart $||3\vec{u} - 1 \vec{v}||$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
|
||||
\end{multicols}
|
||||
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
\question
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes
|
||||
% Il y aura toujours 2 racines
|
||||
|
||||
% Il y aura toujours 2 racines
|
||||
|
||||
% Il y aura toujours une valeur interdite à ajouter
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{3}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart $f:x \mapsto \dfrac{1}{- 4 x^{ 2 } + 9 x - 3}$
|
||||
\subpart $g:x\mapsto \dfrac{1}{7 \sqrt{x} - 3}$
|
||||
\subpart $h:x \mapsto \sqrt{7 x^{ 2 } - 6 x + 4}$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
On constate que $f$ est une fonction de la forme
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f(x) = \frac{1}{u(x)} &\mbox{ avec }& u(x) = - 4 x^{ 2 } + 9 x - 3
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Comme $u(x)$ est un polynôme, son domaine de définition est $D_u = \R$. Il faut maintenant déterminer les valeurs de $x$ tels que $u(x) = 0$.
|
||||
|
||||
On résout l'équation $- 4 x^{ 2 } + 9 x - 3 = 0$:
|
||||
|
||||
|
||||
On commence par calculer le discriminant de $P(x) = - 4 x^{ 2 } + 9 x - 3$.
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\Delta & = & b^2-4ac \\
|
||||
\Delta & = & 9^{ 2 } - 4 -4 \times ( -3 ) \\
|
||||
\Delta & = & 81 - 4 \times 12 \\
|
||||
\Delta & = & 81 - 48 \\
|
||||
\Delta & = & 33
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
|
||||
comme $\Delta = 33 > 0$ donc $P$ a deux racines
|
||||
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{9 - \sqrt{33}}{2 \times -4} = \frac{\sqrt{33}}{8} + \frac{9}{8} \\
|
||||
x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{9 + \sqrt{33}}{2 \times -4} = - \frac{\sqrt{33}}{8} + \frac{9}{8}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
Les solutions de l'équation $- 4 x^{ 2 } + 9 x - 3 = 0$ sont donc $\mathcal{S} = \left\{ \frac{\sqrt{33}}{8} + \frac{9}{8}; - \frac{\sqrt{33}}{8} + \frac{9}{8} \right\}$
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Donc finalement, $f$ est définie sur $D_f = \R \backslash \left\{ \frac{\sqrt{33}}{8} + \frac{9}{8}, - \frac{\sqrt{33}}{8} + \frac{9}{8} \right\}$.
|
||||
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
\part Soit $f$ un fonction définie par
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f:x\mapsto \frac{- 5 x^{ 2 } + 4 x + 10}{- 3 x + 8}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart Déterminer le domaine de définition de $f$
|
||||
|
||||
\subpart Démontrer que la dérivé de $f$ est $f('x) = \dfrac{15 x^{ 2 } - 80 x + 62}{(- 3 x + 8)^2}$
|
||||
\subpart Étudier le signe de $f$.
|
||||
\subpart Calculer l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ (la courbe représentative de $f$) au point d'abscisse $x = 1$.
|
||||
\end{subparts}
|
||||
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
|
||||
\question
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\N$ par
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u_0 = 6 \hspace{2cm} u_{n+1} = - 9 u_n + 7
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Calculer les 4 premiers termes de la suite $(u_n)$.
|
||||
|
||||
|
||||
\part On pose $v_n = u_n - \frac{ 7 }{ 10 }$.
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart Calculer les 4 premiers termes de la suite $(v_n)$
|
||||
\subpart Démontrer que $(v_n)$ est géométrique de raison $q = -9$.
|
||||
\subpart En déduire l'expression explicite de $(v_n)$.
|
||||
|
||||
\subpart En déduire que l'expression explicite de $(u_n)$ est $u_n = \frac{ 53 }{ 10 } \times ( -9 )^{ n } + \frac{ 7 }{ 10 }$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\part Écrire un algorithme qui prend en argument un rang \texttt{n} et qui renvoie la la valeur de $v_n$ (vous ne pouvez pas utiliser la formule explicite)
|
||||
\part Écrire un algorithme qui prend en argument un rang \texttt{n} et qui renvoie la la valeur de $u_0 + u_1 +\cdots + u_n$ ( vous pouvez utiliser la formule explicite)
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
\end{questions}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
|
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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1S/DM/DM_0528/4_DM_0528.tex
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1S/DM/DM_0528/4_DM_0528.tex
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@@ -0,0 +1,169 @@
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\documentclass[a4paper,12pt, table]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/tools/style/classDS}
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\usepackage{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/2014_2015}
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% Title Page
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\titre{DM7}
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% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
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\classe{\premiereS}
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\date{28 mai 2015}
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%\duree{1 heure}
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\sujet{4}
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% DS DSCorr DM DMCorr Corr
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\typedoc{DM}
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%\printanswers
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\begin{document}
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\maketitle
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||||
|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. Vous rendrez le sujet avec la copie.
|
||||
|
||||
\begin{questions}
|
||||
\question
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Dessiner un cercle trigonométrique et y placer les angles suivants (détailler les calculs si vous utilisez la mesure principale de l'angle)
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{parts}
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\alpha = \frac{-1\pi}{2}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\beta= \frac{-2\pi}{4}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\delta = \frac{18\pi}{4}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\sigma = \frac{26\pi}{3}$
|
||||
\end{parts}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\cercleTrigo
|
||||
\draw (-90.0:1) node[rotate = -90.0] {-} node[above] {$\alpha$};
|
||||
\draw (-90.0:1) node[rotate = -90.0] {-} node[below] {$\beta$};
|
||||
\draw (810.0:1) node[rotate = 810.0] {-} node[right] {$\delta$};
|
||||
\draw (1560.0:1) node[rotate = 1560.0] {-} node[left] {$\sigma$};
|
||||
|
||||
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\part On pose $||\vec{u}|| = 3 $, $||\vec{v}|| = 5 $ et $\vec{u}.\vec{v} = -9.0$ calculer les quantités suivantes
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart $(\vec{u} - 2 \vec{v})(\vec{v} + 5 \vec{u})$
|
||||
\subpart $||5\vec{u} - 2 \vec{v}||$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
|
||||
\end{multicols}
|
||||
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
\question
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes
|
||||
% Il y aura toujours 2 racines
|
||||
|
||||
% Il y aura toujours 2 racines
|
||||
|
||||
% Il y aura toujours une valeur interdite à ajouter
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{3}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart $f:x \mapsto \dfrac{1}{4 x^{ 2 } - 10 x + 7}$
|
||||
\subpart $g:x\mapsto \dfrac{1}{9 \sqrt{x} - 8}$
|
||||
\subpart $h:x \mapsto \sqrt{- 5 x^{ 2 } + 3 x + 1}$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
On constate que $f$ est une fonction de la forme
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f(x) = \frac{1}{u(x)} &\mbox{ avec }& u(x) = 4 x^{ 2 } - 10 x + 7
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Comme $u(x)$ est un polynôme, son domaine de définition est $D_u = \R$. Il faut maintenant déterminer les valeurs de $x$ tels que $u(x) = 0$.
|
||||
|
||||
On résout l'équation $4 x^{ 2 } - 10 x + 7 = 0$:
|
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On commence par calculer le discriminant de $P(x) = 4 x^{ 2 } - 10 x + 7$.
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\begin{eqnarray*}
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||||
\Delta & = & b^2-4ac \\
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||||
\Delta & = & ( -10 )^{ 2 } - 4 \times 4 \times 7 \\
|
||||
\Delta & = & 100 - 4 \times 28 \\
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||||
\Delta & = & 100 - 112 \\
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||||
\Delta & = & -12
|
||||
\end{eqnarray*}
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||||
Alors $\Delta = -12 < 0$ donc $P$ n'a pas de racine donc l'équation $4 x^{ 2 } - 10 x + 7 = 0$ n'a pas de solution.
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||||
Donc finalement, $f$ est définie sur $D_f = \R \backslash \left\{ , \right\}$.
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{solution}
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||||
\part Soit $f$ un fonction définie par
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
f:x\mapsto \frac{- x^{ 2 } + 8 x - 8}{- 3 x + 4}
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||||
\end{eqnarray*}
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||||
\begin{subparts}
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||||
\subpart Déterminer le domaine de définition de $f$
|
||||
|
||||
\subpart Démontrer que la dérivé de $f$ est $f('x) = \dfrac{3 x^{ 2 } - 8 x + 8}{(- 3 x + 4)^2}$
|
||||
\subpart Étudier le signe de $f$.
|
||||
\subpart Calculer l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ (la courbe représentative de $f$) au point d'abscisse $x = 1$.
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||||
\end{subparts}
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\end{parts}
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||||
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\question
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||||
Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\N$ par
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
u_0 = 1 \hspace{2cm} u_{n+1} = - 10 u_n - 2
|
||||
\end{eqnarray*}
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||||
\begin{parts}
|
||||
\part Calculer les 4 premiers termes de la suite $(u_n)$.
|
||||
|
||||
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||||
\part On pose $v_n = u_n + \frac{ 2 }{ 11 }$.
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart Calculer les 4 premiers termes de la suite $(v_n)$
|
||||
\subpart Démontrer que $(v_n)$ est géométrique de raison $q = -10$.
|
||||
\subpart En déduire l'expression explicite de $(v_n)$.
|
||||
|
||||
\subpart En déduire que l'expression explicite de $(u_n)$ est $u_n = \frac{ 13 }{ 11 } \times ( -10 )^{ n } + \frac{ -2 }{ 11 }$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\part Écrire un algorithme qui prend en argument un rang \texttt{n} et qui renvoie la la valeur de $v_n$ (vous ne pouvez pas utiliser la formule explicite)
|
||||
\part Écrire un algorithme qui prend en argument un rang \texttt{n} et qui renvoie la la valeur de $u_0 + u_1 +\cdots + u_n$ ( vous pouvez utiliser la formule explicite)
|
||||
\end{parts}
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\end{questions}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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\documentclass[a4paper,12pt, table]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/tools/style/classDS}
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% Title Page
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\titre{DM7}
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% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
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\classe{\premiereS}
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\date{28 mai 2015}
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%\duree{1 heure}
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\sujet{5}
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% DS DSCorr DM DMCorr Corr
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\typedoc{DM}
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%\printanswers
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\begin{document}
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\maketitle
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Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. Vous rendrez le sujet avec la copie.
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||||
\begin{questions}
|
||||
\question
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Dessiner un cercle trigonométrique et y placer les angles suivants (détailler les calculs si vous utilisez la mesure principale de l'angle)
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{parts}
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\alpha = \frac{10\pi}{3}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\beta= \frac{38\pi}{3}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\delta = \frac{-30\pi}{3}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\sigma = \frac{-9\pi}{6}$
|
||||
\end{parts}
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||||
\end{multicols}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\cercleTrigo
|
||||
\draw (600.0:1) node[rotate = 600.0] {-} node[above] {$\alpha$};
|
||||
\draw (2280.0:1) node[rotate = 2280.0] {-} node[below] {$\beta$};
|
||||
\draw (-1800.0:1) node[rotate = -1800.0] {-} node[right] {$\delta$};
|
||||
\draw (-270.0:1) node[rotate = -270.0] {-} node[left] {$\sigma$};
|
||||
|
||||
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\part On pose $||\vec{u}|| = 3 $, $||\vec{v}|| = 6 $ et $\vec{u}.\vec{v} = 9.0$ calculer les quantités suivantes
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart $(\vec{u} - 6 \vec{v})(\vec{v} + 3 \vec{u})$
|
||||
\subpart $||3\vec{u} - 6 \vec{v}||$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
|
||||
\end{multicols}
|
||||
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
\question
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes
|
||||
% Il y aura toujours 2 racines
|
||||
|
||||
% Il y aura toujours 2 racines
|
||||
|
||||
% Il y aura toujours une valeur interdite à ajouter
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{3}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart $f:x \mapsto \dfrac{1}{- 8 x^{ 2 } + 9 x + 1}$
|
||||
\subpart $g:x\mapsto \dfrac{1}{- 2 \sqrt{x} + 2}$
|
||||
\subpart $h:x \mapsto \sqrt{- 7 x^{ 2 } + x - 9}$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
On constate que $f$ est une fonction de la forme
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f(x) = \frac{1}{u(x)} &\mbox{ avec }& u(x) = - 8 x^{ 2 } + 9 x + 1
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Comme $u(x)$ est un polynôme, son domaine de définition est $D_u = \R$. Il faut maintenant déterminer les valeurs de $x$ tels que $u(x) = 0$.
|
||||
|
||||
On résout l'équation $- 8 x^{ 2 } + 9 x + 1 = 0$:
|
||||
|
||||
|
||||
On commence par calculer le discriminant de $P(x) = - 8 x^{ 2 } + 9 x + 1$.
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\Delta & = & b^2-4ac \\
|
||||
\Delta & = & 9^{ 2 } - 4 -8 \times 1 \\
|
||||
\Delta & = & 81 - 4 \times ( -8 ) \\
|
||||
\Delta & = & 81 - ( -32 ) \\
|
||||
\Delta & = & 113
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
|
||||
comme $\Delta = 113 > 0$ donc $P$ a deux racines
|
||||
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{9 - \sqrt{113}}{2 \times -8} = \frac{9}{16} + \frac{\sqrt{113}}{16} \\
|
||||
x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{9 + \sqrt{113}}{2 \times -8} = - \frac{\sqrt{113}}{16} + \frac{9}{16}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
Les solutions de l'équation $- 8 x^{ 2 } + 9 x + 1 = 0$ sont donc $\mathcal{S} = \left\{ \frac{9}{16} + \frac{\sqrt{113}}{16}; - \frac{\sqrt{113}}{16} + \frac{9}{16} \right\}$
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Donc finalement, $f$ est définie sur $D_f = \R \backslash \left\{ \frac{9}{16} + \frac{\sqrt{113}}{16}, - \frac{\sqrt{113}}{16} + \frac{9}{16} \right\}$.
|
||||
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
\part Soit $f$ un fonction définie par
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f:x\mapsto \frac{- 4 x^{ 2 } - 4 x + 2}{4 x - 10}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart Déterminer le domaine de définition de $f$
|
||||
|
||||
\subpart Démontrer que la dérivé de $f$ est $f('x) = \dfrac{- 16 x^{ 2 } + 80 x + 32}{(4 x - 10)^2}$
|
||||
\subpart Étudier le signe de $f$.
|
||||
\subpart Calculer l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ (la courbe représentative de $f$) au point d'abscisse $x = 1$.
|
||||
\end{subparts}
|
||||
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
|
||||
\question
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\N$ par
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u_0 = -7 \hspace{2cm} u_{n+1} = 9 u_n - 3
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Calculer les 4 premiers termes de la suite $(u_n)$.
|
||||
|
||||
|
||||
\part On pose $v_n = u_n - \frac{ 3 }{ 8 }$.
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart Calculer les 4 premiers termes de la suite $(v_n)$
|
||||
\subpart Démontrer que $(v_n)$ est géométrique de raison $q = 9$.
|
||||
\subpart En déduire l'expression explicite de $(v_n)$.
|
||||
|
||||
\subpart En déduire que l'expression explicite de $(u_n)$ est $u_n = \frac{ -59 }{ 8 } \times 9^{ n } + \frac{ 3 }{ 8 }$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\part Écrire un algorithme qui prend en argument un rang \texttt{n} et qui renvoie la la valeur de $v_n$ (vous ne pouvez pas utiliser la formule explicite)
|
||||
\part Écrire un algorithme qui prend en argument un rang \texttt{n} et qui renvoie la la valeur de $u_0 + u_1 +\cdots + u_n$ ( vous pouvez utiliser la formule explicite)
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
\end{questions}
|
||||
|
||||
\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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\documentclass[a4paper,12pt, table]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/tools/style/classDS}
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% Title Page
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\titre{DM7}
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% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
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\classe{\premiereS}
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\date{28 mai 2015}
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%\duree{1 heure}
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\sujet{6}
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% DS DSCorr DM DMCorr Corr
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\typedoc{DM}
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%\printanswers
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\begin{document}
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\maketitle
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|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. Vous rendrez le sujet avec la copie.
|
||||
|
||||
\begin{questions}
|
||||
\question
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Dessiner un cercle trigonométrique et y placer les angles suivants (détailler les calculs si vous utilisez la mesure principale de l'angle)
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{parts}
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\alpha = \frac{2\pi}{2}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\beta= \frac{-21\pi}{3}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\delta = \frac{-23\pi}{4}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\sigma = \frac{16\pi}{3}$
|
||||
\end{parts}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\cercleTrigo
|
||||
\draw (180.0:1) node[rotate = 180.0] {-} node[above] {$\alpha$};
|
||||
\draw (-1260.0:1) node[rotate = -1260.0] {-} node[below] {$\beta$};
|
||||
\draw (-1035.0:1) node[rotate = -1035.0] {-} node[right] {$\delta$};
|
||||
\draw (960.0:1) node[rotate = 960.0] {-} node[left] {$\sigma$};
|
||||
|
||||
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\part On pose $||\vec{u}|| = 8 $, $||\vec{v}|| = 1 $ et $\vec{u}.\vec{v} = -0.8$ calculer les quantités suivantes
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart $(\vec{u} - 6 \vec{v})(\vec{v} + 4 \vec{u})$
|
||||
\subpart $||4\vec{u} - 6 \vec{v}||$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
|
||||
\end{multicols}
|
||||
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
\question
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes
|
||||
% Il y aura toujours 2 racines
|
||||
|
||||
% Il y aura toujours 2 racines
|
||||
|
||||
% Il y aura toujours une valeur interdite à ajouter
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{3}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart $f:x \mapsto \dfrac{1}{- 4 x^{ 2 } + 5 x + 10}$
|
||||
\subpart $g:x\mapsto \dfrac{1}{7 \sqrt{x} - 8}$
|
||||
\subpart $h:x \mapsto \sqrt{- 4 x^{ 2 } + 6 x + 6}$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
On constate que $f$ est une fonction de la forme
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f(x) = \frac{1}{u(x)} &\mbox{ avec }& u(x) = - 4 x^{ 2 } + 5 x + 10
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Comme $u(x)$ est un polynôme, son domaine de définition est $D_u = \R$. Il faut maintenant déterminer les valeurs de $x$ tels que $u(x) = 0$.
|
||||
|
||||
On résout l'équation $- 4 x^{ 2 } + 5 x + 10 = 0$:
|
||||
|
||||
|
||||
On commence par calculer le discriminant de $P(x) = - 4 x^{ 2 } + 5 x + 10$.
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\Delta & = & b^2-4ac \\
|
||||
\Delta & = & 5^{ 2 } - 4 -4 \times 10 \\
|
||||
\Delta & = & 25 - 4 \times ( -40 ) \\
|
||||
\Delta & = & 25 - ( -160 ) \\
|
||||
\Delta & = & 185
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
|
||||
comme $\Delta = 185 > 0$ donc $P$ a deux racines
|
||||
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{185}}{2 \times -4} = \frac{5}{8} + \frac{\sqrt{185}}{8} \\
|
||||
x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{185}}{2 \times -4} = - \frac{\sqrt{185}}{8} + \frac{5}{8}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
Les solutions de l'équation $- 4 x^{ 2 } + 5 x + 10 = 0$ sont donc $\mathcal{S} = \left\{ \frac{5}{8} + \frac{\sqrt{185}}{8}; - \frac{\sqrt{185}}{8} + \frac{5}{8} \right\}$
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Donc finalement, $f$ est définie sur $D_f = \R \backslash \left\{ \frac{5}{8} + \frac{\sqrt{185}}{8}, - \frac{\sqrt{185}}{8} + \frac{5}{8} \right\}$.
|
||||
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
\part Soit $f$ un fonction définie par
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f:x\mapsto \frac{- x^{ 2 } + x + 4}{- 4 x - 2}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart Déterminer le domaine de définition de $f$
|
||||
|
||||
\subpart Démontrer que la dérivé de $f$ est $f('x) = \dfrac{4 x^{ 2 } + 4 x + 14}{(- 4 x - 2)^2}$
|
||||
\subpart Étudier le signe de $f$.
|
||||
\subpart Calculer l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ (la courbe représentative de $f$) au point d'abscisse $x = 1$.
|
||||
\end{subparts}
|
||||
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
|
||||
\question
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\N$ par
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u_0 = 4 \hspace{2cm} u_{n+1} = 3 u_n + 2
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Calculer les 4 premiers termes de la suite $(u_n)$.
|
||||
|
||||
|
||||
\part On pose $v_n = u_n + 1$.
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart Calculer les 4 premiers termes de la suite $(v_n)$
|
||||
\subpart Démontrer que $(v_n)$ est géométrique de raison $q = 3$.
|
||||
\subpart En déduire l'expression explicite de $(v_n)$.
|
||||
|
||||
\subpart En déduire que l'expression explicite de $(u_n)$ est $u_n = 5 \times 3^{ n } - 1$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\part Écrire un algorithme qui prend en argument un rang \texttt{n} et qui renvoie la la valeur de $v_n$ (vous ne pouvez pas utiliser la formule explicite)
|
||||
\part Écrire un algorithme qui prend en argument un rang \texttt{n} et qui renvoie la la valeur de $u_0 + u_1 +\cdots + u_n$ ( vous pouvez utiliser la formule explicite)
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
\end{questions}
|
||||
|
||||
\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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1S/DM/DM_0528/7_DM_0528.tex
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\documentclass[a4paper,12pt, table]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/tools/style/classDS}
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\usepackage{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/2014_2015}
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% Title Page
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\titre{DM7}
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% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
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\classe{\premiereS}
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\date{28 mai 2015}
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%\duree{1 heure}
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\sujet{7}
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% DS DSCorr DM DMCorr Corr
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\typedoc{DM}
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%\printanswers
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\begin{document}
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\maketitle
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Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. Vous rendrez le sujet avec la copie.
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\begin{questions}
|
||||
\question
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Dessiner un cercle trigonométrique et y placer les angles suivants (détailler les calculs si vous utilisez la mesure principale de l'angle)
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{parts}
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\alpha = \frac{18\pi}{6}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\beta= \frac{-44\pi}{3}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\delta = \frac{47\pi}{4}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\sigma = \frac{-10\pi}{3}$
|
||||
\end{parts}
|
||||
\end{multicols}
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||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\cercleTrigo
|
||||
\draw (540.0:1) node[rotate = 540.0] {-} node[above] {$\alpha$};
|
||||
\draw (-2640.0:1) node[rotate = -2640.0] {-} node[below] {$\beta$};
|
||||
\draw (2115.0:1) node[rotate = 2115.0] {-} node[right] {$\delta$};
|
||||
\draw (-600.0:1) node[rotate = -600.0] {-} node[left] {$\sigma$};
|
||||
|
||||
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\end{solution}
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||||
|
||||
|
||||
|
||||
\part On pose $||\vec{u}|| = 10 $, $||\vec{v}|| = 6 $ et $\vec{u}.\vec{v} = 48.0$ calculer les quantités suivantes
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart $(\vec{u} - 3 \vec{v})(\vec{v} + 6 \vec{u})$
|
||||
\subpart $||6\vec{u} - 3 \vec{v}||$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
|
||||
\end{multicols}
|
||||
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
\question
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes
|
||||
% Il y aura toujours 2 racines
|
||||
|
||||
% Il y aura toujours 2 racines
|
||||
|
||||
% Il y aura toujours une valeur interdite à ajouter
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{3}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart $f:x \mapsto \dfrac{1}{- 5 x^{ 2 } + 3 x + 1}$
|
||||
\subpart $g:x\mapsto \dfrac{1}{9 \sqrt{x} - 1}$
|
||||
\subpart $h:x \mapsto \sqrt{5 x^{ 2 } - 4 x - 3}$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
On constate que $f$ est une fonction de la forme
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f(x) = \frac{1}{u(x)} &\mbox{ avec }& u(x) = - 5 x^{ 2 } + 3 x + 1
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Comme $u(x)$ est un polynôme, son domaine de définition est $D_u = \R$. Il faut maintenant déterminer les valeurs de $x$ tels que $u(x) = 0$.
|
||||
|
||||
On résout l'équation $- 5 x^{ 2 } + 3 x + 1 = 0$:
|
||||
|
||||
|
||||
On commence par calculer le discriminant de $P(x) = - 5 x^{ 2 } + 3 x + 1$.
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\Delta & = & b^2-4ac \\
|
||||
\Delta & = & 3^{ 2 } - 4 -5 \times 1 \\
|
||||
\Delta & = & 9 - 4 \times ( -5 ) \\
|
||||
\Delta & = & 9 - ( -20 ) \\
|
||||
\Delta & = & 29
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
|
||||
comme $\Delta = 29 > 0$ donc $P$ a deux racines
|
||||
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{29}}{2 \times -5} = \frac{3}{10} + \frac{\sqrt{29}}{10} \\
|
||||
x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{29}}{2 \times -5} = - \frac{\sqrt{29}}{10} + \frac{3}{10}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
Les solutions de l'équation $- 5 x^{ 2 } + 3 x + 1 = 0$ sont donc $\mathcal{S} = \left\{ \frac{3}{10} + \frac{\sqrt{29}}{10}; - \frac{\sqrt{29}}{10} + \frac{3}{10} \right\}$
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Donc finalement, $f$ est définie sur $D_f = \R \backslash \left\{ \frac{3}{10} + \frac{\sqrt{29}}{10}, - \frac{\sqrt{29}}{10} + \frac{3}{10} \right\}$.
|
||||
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
\part Soit $f$ un fonction définie par
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f:x\mapsto \frac{- 6 x^{ 2 } + 9 x - 7}{- 8 x - 3}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart Déterminer le domaine de définition de $f$
|
||||
|
||||
\subpart Démontrer que la dérivé de $f$ est $f('x) = \dfrac{48 x^{ 2 } + 36 x - 83}{(- 8 x - 3)^2}$
|
||||
\subpart Étudier le signe de $f$.
|
||||
\subpart Calculer l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ (la courbe représentative de $f$) au point d'abscisse $x = 1$.
|
||||
\end{subparts}
|
||||
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
|
||||
\question
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\N$ par
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u_0 = 4 \hspace{2cm} u_{n+1} = 3 u_n - 8
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Calculer les 4 premiers termes de la suite $(u_n)$.
|
||||
|
||||
|
||||
\part On pose $v_n = u_n - 4$.
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart Calculer les 4 premiers termes de la suite $(v_n)$
|
||||
\subpart Démontrer que $(v_n)$ est géométrique de raison $q = 3$.
|
||||
\subpart En déduire l'expression explicite de $(v_n)$.
|
||||
|
||||
\subpart En déduire que l'expression explicite de $(u_n)$ est $u_n = 0 \times 3^{ n } + 4$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\part Écrire un algorithme qui prend en argument un rang \texttt{n} et qui renvoie la la valeur de $v_n$ (vous ne pouvez pas utiliser la formule explicite)
|
||||
\part Écrire un algorithme qui prend en argument un rang \texttt{n} et qui renvoie la la valeur de $u_0 + u_1 +\cdots + u_n$ ( vous pouvez utiliser la formule explicite)
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
\end{questions}
|
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|
||||
\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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1S/DM/DM_0528/8_DM_0528.tex
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\documentclass[a4paper,12pt, table]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/tools/style/classDS}
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\usepackage{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/2014_2015}
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% Title Page
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\titre{DM7}
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% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
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\classe{\premiereS}
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\date{28 mai 2015}
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%\duree{1 heure}
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\sujet{8}
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% DS DSCorr DM DMCorr Corr
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\typedoc{DM}
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%\printanswers
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\begin{document}
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\maketitle
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||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. Vous rendrez le sujet avec la copie.
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||||
\begin{questions}
|
||||
\question
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Dessiner un cercle trigonométrique et y placer les angles suivants (détailler les calculs si vous utilisez la mesure principale de l'angle)
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{parts}
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\alpha = \frac{-9\pi}{3}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\beta= \frac{17\pi}{6}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\delta = \frac{-17\pi}{4}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\sigma = \frac{-5\pi}{6}$
|
||||
\end{parts}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\cercleTrigo
|
||||
\draw (-540.0:1) node[rotate = -540.0] {-} node[above] {$\alpha$};
|
||||
\draw (510.0:1) node[rotate = 510.0] {-} node[below] {$\beta$};
|
||||
\draw (-765.0:1) node[rotate = -765.0] {-} node[right] {$\delta$};
|
||||
\draw (-150.0:1) node[rotate = -150.0] {-} node[left] {$\sigma$};
|
||||
|
||||
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\part On pose $||\vec{u}|| = 8 $, $||\vec{v}|| = 9 $ et $\vec{u}.\vec{v} = 0.0$ calculer les quantités suivantes
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart $(\vec{u} - 2 \vec{v})(\vec{v} + 3 \vec{u})$
|
||||
\subpart $||3\vec{u} - 2 \vec{v}||$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
|
||||
\end{multicols}
|
||||
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
\question
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes
|
||||
% Il y aura toujours 2 racines
|
||||
|
||||
% Il y aura toujours 2 racines
|
||||
|
||||
% Il y aura toujours une valeur interdite à ajouter
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{3}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart $f:x \mapsto \dfrac{1}{5 x^{ 2 } - 6 x + 8}$
|
||||
\subpart $g:x\mapsto \dfrac{1}{\sqrt{x} - 5}$
|
||||
\subpart $h:x \mapsto \sqrt{- 8 x^{ 2 } + 9 x - 1}$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
On constate que $f$ est une fonction de la forme
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f(x) = \frac{1}{u(x)} &\mbox{ avec }& u(x) = 5 x^{ 2 } - 6 x + 8
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Comme $u(x)$ est un polynôme, son domaine de définition est $D_u = \R$. Il faut maintenant déterminer les valeurs de $x$ tels que $u(x) = 0$.
|
||||
|
||||
On résout l'équation $5 x^{ 2 } - 6 x + 8 = 0$:
|
||||
|
||||
|
||||
On commence par calculer le discriminant de $P(x) = 5 x^{ 2 } - 6 x + 8$.
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\Delta & = & b^2-4ac \\
|
||||
\Delta & = & ( -6 )^{ 2 } - 4 \times 5 \times 8 \\
|
||||
\Delta & = & 36 - 4 \times 40 \\
|
||||
\Delta & = & 36 - 160 \\
|
||||
\Delta & = & -124
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
|
||||
Alors $\Delta = -124 < 0$ donc $P$ n'a pas de racine donc l'équation $5 x^{ 2 } - 6 x + 8 = 0$ n'a pas de solution.
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Donc finalement, $f$ est définie sur $D_f = \R \backslash \left\{ , \right\}$.
|
||||
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
\part Soit $f$ un fonction définie par
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f:x\mapsto \frac{- 4 x^{ 2 } - 9 x - 1}{9 x + 2}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart Déterminer le domaine de définition de $f$
|
||||
|
||||
\subpart Démontrer que la dérivé de $f$ est $f('x) = \dfrac{- 36 x^{ 2 } - 16 x - 9}{(9 x + 2)^2}$
|
||||
\subpart Étudier le signe de $f$.
|
||||
\subpart Calculer l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ (la courbe représentative de $f$) au point d'abscisse $x = 1$.
|
||||
\end{subparts}
|
||||
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
|
||||
\question
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\N$ par
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u_0 = -10 \hspace{2cm} u_{n+1} = - 10 u_n + 1
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Calculer les 4 premiers termes de la suite $(u_n)$.
|
||||
|
||||
|
||||
\part On pose $v_n = u_n - \frac{ 1 }{ 11 }$.
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart Calculer les 4 premiers termes de la suite $(v_n)$
|
||||
\subpart Démontrer que $(v_n)$ est géométrique de raison $q = -10$.
|
||||
\subpart En déduire l'expression explicite de $(v_n)$.
|
||||
|
||||
\subpart En déduire que l'expression explicite de $(u_n)$ est $u_n = \frac{ -111 }{ 11 } \times ( -10 )^{ n } + \frac{ 1 }{ 11 }$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\part Écrire un algorithme qui prend en argument un rang \texttt{n} et qui renvoie la la valeur de $v_n$ (vous ne pouvez pas utiliser la formule explicite)
|
||||
\part Écrire un algorithme qui prend en argument un rang \texttt{n} et qui renvoie la la valeur de $u_0 + u_1 +\cdots + u_n$ ( vous pouvez utiliser la formule explicite)
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
\end{questions}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
|
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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1S/DM/DM_0528/9_DM_0528.tex
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@@ -0,0 +1,169 @@
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||||
\documentclass[a4paper,12pt, table]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/tools/style/classDS}
|
||||
\usepackage{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/2014_2015}
|
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|
||||
% Title Page
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||||
\titre{DM7}
|
||||
% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
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\classe{\premiereS}
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||||
\date{28 mai 2015}
|
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%\duree{1 heure}
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\sujet{9}
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% DS DSCorr DM DMCorr Corr
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\typedoc{DM}
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%\printanswers
|
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\begin{document}
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||||
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. Vous rendrez le sujet avec la copie.
|
||||
|
||||
\begin{questions}
|
||||
\question
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Dessiner un cercle trigonométrique et y placer les angles suivants (détailler les calculs si vous utilisez la mesure principale de l'angle)
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{parts}
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\alpha = \frac{-8\pi}{3}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\beta= \frac{33\pi}{4}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\delta = \frac{12\pi}{4}$
|
||||
|
||||
|
||||
\part $\sigma = \frac{-24\pi}{6}$
|
||||
\end{parts}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\cercleTrigo
|
||||
\draw (-480.0:1) node[rotate = -480.0] {-} node[above] {$\alpha$};
|
||||
\draw (1485.0:1) node[rotate = 1485.0] {-} node[below] {$\beta$};
|
||||
\draw (540.0:1) node[rotate = 540.0] {-} node[right] {$\delta$};
|
||||
\draw (-720.0:1) node[rotate = -720.0] {-} node[left] {$\sigma$};
|
||||
|
||||
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\part On pose $||\vec{u}|| = 8 $, $||\vec{v}|| = 8 $ et $\vec{u}.\vec{v} = -0.0$ calculer les quantités suivantes
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart $(\vec{u} - 8 \vec{v})(\vec{v} + 3 \vec{u})$
|
||||
\subpart $||3\vec{u} - 8 \vec{v}||$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
|
||||
\end{multicols}
|
||||
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
\question
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes
|
||||
% Il y aura toujours 2 racines
|
||||
|
||||
% Il y aura toujours 2 racines
|
||||
|
||||
% Il y aura toujours une valeur interdite à ajouter
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{3}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart $f:x \mapsto \dfrac{1}{- 10 x^{ 2 } + 4 x - 2}$
|
||||
\subpart $g:x\mapsto \dfrac{1}{- 6 \sqrt{x} + 5}$
|
||||
\subpart $h:x \mapsto \sqrt{- 3 x^{ 2 } + 4 x - 6}$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
On constate que $f$ est une fonction de la forme
|
||||
\begin{eqnarray*}
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||||
f(x) = \frac{1}{u(x)} &\mbox{ avec }& u(x) = - 10 x^{ 2 } + 4 x - 2
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Comme $u(x)$ est un polynôme, son domaine de définition est $D_u = \R$. Il faut maintenant déterminer les valeurs de $x$ tels que $u(x) = 0$.
|
||||
|
||||
On résout l'équation $- 10 x^{ 2 } + 4 x - 2 = 0$:
|
||||
|
||||
|
||||
On commence par calculer le discriminant de $P(x) = - 10 x^{ 2 } + 4 x - 2$.
|
||||
\begin{eqnarray*}
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||||
\Delta & = & b^2-4ac \\
|
||||
\Delta & = & 4^{ 2 } - 4 -10 \times ( -2 ) \\
|
||||
\Delta & = & 16 - 4 \times 20 \\
|
||||
\Delta & = & 16 - 80 \\
|
||||
\Delta & = & -64
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
|
||||
Alors $\Delta = -64 < 0$ donc $P$ n'a pas de racine donc l'équation $- 10 x^{ 2 } + 4 x - 2 = 0$ n'a pas de solution.
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Donc finalement, $f$ est définie sur $D_f = \R \backslash \left\{ , \right\}$.
|
||||
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
\part Soit $f$ un fonction définie par
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{eqnarray*}
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||||
f:x\mapsto \frac{- 5 x^{ 2 } - 3 x - 5}{6 x - 10}
|
||||
\end{eqnarray*}
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||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart Déterminer le domaine de définition de $f$
|
||||
|
||||
\subpart Démontrer que la dérivé de $f$ est $f('x) = \dfrac{- 30 x^{ 2 } + 100 x + 60}{(6 x - 10)^2}$
|
||||
\subpart Étudier le signe de $f$.
|
||||
\subpart Calculer l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ (la courbe représentative de $f$) au point d'abscisse $x = 1$.
|
||||
\end{subparts}
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||||
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||||
\end{parts}
|
||||
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||||
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\question
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||||
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||||
Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\N$ par
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
u_0 = 9 \hspace{2cm} u_{n+1} = 9 u_n + 10
|
||||
\end{eqnarray*}
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||||
\begin{parts}
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||||
\part Calculer les 4 premiers termes de la suite $(u_n)$.
|
||||
|
||||
|
||||
\part On pose $v_n = u_n + \frac{ 5 }{ 4 }$.
|
||||
\begin{subparts}
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||||
\subpart Calculer les 4 premiers termes de la suite $(v_n)$
|
||||
\subpart Démontrer que $(v_n)$ est géométrique de raison $q = 9$.
|
||||
\subpart En déduire l'expression explicite de $(v_n)$.
|
||||
|
||||
\subpart En déduire que l'expression explicite de $(u_n)$ est $u_n = \frac{ 41 }{ 4 } \times 9^{ n } + \frac{ -5 }{ 4 }$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\part Écrire un algorithme qui prend en argument un rang \texttt{n} et qui renvoie la la valeur de $v_n$ (vous ne pouvez pas utiliser la formule explicite)
|
||||
\part Écrire un algorithme qui prend en argument un rang \texttt{n} et qui renvoie la la valeur de $u_0 + u_1 +\cdots + u_n$ ( vous pouvez utiliser la formule explicite)
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
\end{questions}
|
||||
|
||||
\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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558
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File diff suppressed because one or more lines are too long
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Binary file not shown.
3073
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3073
1S/DM/DM_0528/Bilan/bilan.tex
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File diff suppressed because it is too large
Load Diff
79
1S/DM/DM_0528/Bilan/tpl_bilan.tex
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79
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@@ -0,0 +1,79 @@
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\usepackage{multicol}
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% Title Page
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\titre{\Var{latex_info['titre']}}
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% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
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\classe{\Var{latex_info['classe']}}
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\date{\Var{latex_info['date']}}
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\begin{document}
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\Block{for (name, notes) in eleves.iterrows()}
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\maketitle
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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\large
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\Var{name}
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.3\linewidth}
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||||
\begin{flushright}
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||||
\Large \Var{notes[ds_name]} / \Var{barem[ds_name][0]}
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||||
\end{flushright}
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\end{minipage}
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\vfill
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\fbox{%
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\begin{minipage}{0.9\linewidth}
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\hfill
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\vspace{3cm}
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\end{minipage}
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}
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\vfill
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\scriptsize
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\begin{multicols}{2}
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\begin{tabular}{|p{3cm}|c|c|}
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||||
\hline
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||||
\rowcolor{highlightbg} Exercices & Réussite & Barème \\
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||||
\hline
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||||
\Block{for question in barem.T[1:(nbr_questions//2)+1].T}
|
||||
\Var{question} & \Var{notes[question]} & \Var{barem[question][0]} \\
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||||
\hline
|
||||
\Block{endfor}
|
||||
\end{tabular}
|
||||
|
||||
\begin{tabular}{|p{3cm}|c|c|}
|
||||
\hline
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||||
\rowcolor{highlightbg} Exercices & Réussite & Barème \\
|
||||
\hline
|
||||
\Block{for question in barem.T[(nbr_questions//2) + 1:].T}
|
||||
\Var{question} & \Var{notes[question]} & \Var{barem[question][0]} \\
|
||||
\hline
|
||||
\Block{endfor}
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
|
||||
%\begin{tabular}{|p{2cm}|p{2cm}|p{2cm}|p{2cm}|p{2cm}|}
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||||
% \hline
|
||||
% Pas de réponse & Faux & Peu juste & Partiellement juste & Juste \\
|
||||
% \hline
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||||
% \NoRep & \RepZ & \RepU & \RepD & \RepT \\
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% \hline
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||||
%\end{tabular}
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\normalsize
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\pagebreak
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\Block{endfor}
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87
1S/DM/DM_0528/index.rst
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@@ -0,0 +1,87 @@
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||||
Notes sur DM_0528
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#################
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||||
:date: 2015-07-01
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||||
:modified: 2015-07-01
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||||
:tags: DM, Angles, Dérivation, Suites
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||||
:category: 1S
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||||
:authors: Benjamin Bertrand
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:summary: Pas de résumé, note créée automatiquement parce que je ne l'avais pas bien fait...
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`Lien vers 28_DM_0528.tex <28_DM_0528.tex>`_
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`Lien vers poly2Deg.tex <poly2Deg.tex>`_
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`Lien vers 2_DM_0528.tex <2_DM_0528.tex>`_
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`Lien vers 27_DM_0528.tex <27_DM_0528.tex>`_
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`Lien vers 3_DM_0528.tex <3_DM_0528.tex>`_
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`Lien vers 12_DM_0528.tex <12_DM_0528.tex>`_
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`Lien vers 24_DM_0528.tex <24_DM_0528.tex>`_
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||||
Erreurs des élèves
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------------------
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- Ils sont très peu à avoir démontrer que la suite :math:`v_n` était géométrique. Beaucoup se satisfont de quelques exemples. Certaines mêmes utilisent des exemples pour retrouver la formule explicite de :math:`u_n`
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||||
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||||
Erreurs du sujet
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||||
-----------------
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||||
|
||||
- Sujet 14 et 7: l'exercice sur les suites donnait une suite stationnaire à cause d'un mauvais choix de :math:`u_0`
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||||
33
1S/DM/DM_0528/poly2Deg.tex
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33
1S/DM/DM_0528/poly2Deg.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,33 @@
|
||||
\Block{macro solveEquation(P)}
|
||||
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||||
On commence par calculer le discriminant de $P(x) = \Var{P}$.
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
\Delta & = & b^2-4ac \\
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||||
\Var{P.delta.explain()|calculus(name="\\Delta")}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
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||||
\Block{if P.delta > 0}
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||||
comme $\Delta = \Var{P.delta} > 0$ donc $P$ a deux racines
|
||||
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{\Var{-P.b} - \sqrt{\Var{P.delta}}}{2 \times \Var{P.a}} = \Var{P.roots()[0] } \\
|
||||
x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{\Var{-P.b} + \sqrt{\Var{P.delta}}}{2 \times \Var{P.a}} = \Var{P.roots()[1] }
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
Les solutions de l'équation $\Var{P} = 0$ sont donc $\mathcal{S} = \left\{ \Var{P.roots()[0]}; \Var{P.roots()[1]} \right\}$
|
||||
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||||
\Block{elif P.delta == 0}
|
||||
Comme $\Delta = 0$ donc $P$ a une racine
|
||||
|
||||
\begin{eqnarray*}
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||||
x_1 = \frac{-b}{2a} = \frac{-\Var{P.b}}{2\times \Var{P.a}} = \Var{P.roots()[0]} \\
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
La solution de $\Var{P} = 0$ est donc $\mathcal{S} = \left\{ \Var{P.roots()[0]}\right\}$
|
||||
|
||||
\Block{else}
|
||||
Alors $\Delta = \Var{P.delta} < 0$ donc $P$ n'a pas de racine donc l'équation $\Var{P} = 0$ n'a pas de solution.
|
||||
|
||||
\Block{endif}
|
||||
|
||||
\Block{endmacro}
|
||||
154
1S/DM/DM_0528/tpl_DM_0528.tex
Normal file
154
1S/DM/DM_0528/tpl_DM_0528.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,154 @@
|
||||
\documentclass[a4paper,12pt, table]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/tools/style/classDS}
|
||||
\usepackage{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/2014_2015}
|
||||
|
||||
% Title Page
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||||
\titre{DM7}
|
||||
% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
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||||
\classe{\premiereS}
|
||||
\date{28 mai 2015}
|
||||
%\duree{1 heure}
|
||||
\sujet{\Var{infos.num}}
|
||||
% DS DSCorr DM DMCorr Corr
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||||
\typedoc{DM}
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||||
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||||
%\printanswers
|
||||
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||||
\begin{document}
|
||||
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||||
\maketitle
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||||
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||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. Vous rendrez le sujet avec la copie.
|
||||
|
||||
\begin{questions}
|
||||
\question
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Dessiner un cercle trigonométrique et y placer les angles suivants (détailler les calculs si vous utilisez la mesure principale de l'angle)
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\Block{set denom1 = choice([2, 3, 4, 6])}
|
||||
\Block{set num1 = randint(-50, 50)}
|
||||
\part $\alpha = \frac{\Var{num1}\pi}{\Var{denom1}}$
|
||||
\Block{set denom2 = choice([3, 4, 6])}
|
||||
\Block{set num2 = randint(-50, 50)}
|
||||
\part $\beta= \frac{\Var{num2}\pi}{\Var{denom2}}$
|
||||
\Block{set denom3 = choice([3, 4, 6])}
|
||||
\Block{set num3 = randint(-50, 50)}
|
||||
\part $\delta = \frac{\Var{num3}\pi}{\Var{denom3}}$
|
||||
\Block{set denom4 = choice([3, 6])}
|
||||
\Block{set num4 = randint(-50, 50)}
|
||||
\part $\sigma = \frac{\Var{num4}\pi}{\Var{denom4}}$
|
||||
\end{parts}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\cercleTrigo
|
||||
\draw (\Var{num1*180/denom1}:1) node[rotate = \Var{num1*180/denom1}] {-} node[above] {$\alpha$};
|
||||
\draw (\Var{num2*180/denom2}:1) node[rotate = \Var{num2*180/denom2}] {-} node[below] {$\beta$};
|
||||
\draw (\Var{num3*180/denom3}:1) node[rotate = \Var{num3*180/denom3}] {-} node[right] {$\delta$};
|
||||
\draw (\Var{num4*180/denom4}:1) node[rotate = \Var{num4*180/denom4}] {-} node[left] {$\sigma$};
|
||||
|
||||
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\Block{set u, v = random_str("{u},{v}",conditions = ["{u} > 0", "{v} > 0"]).split(',')}
|
||||
\Block{set c = round(2*random()-1,1)}
|
||||
\part On pose $||\vec{u}|| = \Var{u} $, $||\vec{v}|| = \Var{v} $ et $\vec{u}.\vec{v} = \Var{round(int(u)*int(v)*c, 1)}$ calculer les quantités suivantes
|
||||
\Block{set a, b = random_str("{a},{b}",conditions = ["{a} > 1", "{b} > 0"]).split(',')}
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart $(\vec{u} - \Var{b} \vec{v})(\vec{v} + \Var{a} \vec{u})$
|
||||
\subpart $||\Var{a}\vec{u} - \Var{b} \vec{v}||$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
|
||||
\end{multicols}
|
||||
|
||||
\end{parts}
|
||||
|
||||
\question
|
||||
|
||||
\Block{from "poly2Deg.tex" import solveEquation}
|
||||
|
||||
\begin{parts}
|
||||
\part Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes
|
||||
% Il y aura toujours 2 racines
|
||||
\Block{set P = Polynom.random(degree = 2, conditions = ["{b**2-4*a*b} > 0"])}
|
||||
% Il y aura toujours 2 racines
|
||||
\Block{set Q = Polynom.random(degree = 2, conditions = ["{b**2-4*a*b} > 0"])}
|
||||
% Il y aura toujours une valeur interdite à ajouter
|
||||
\Block{set R = Polynom.random(degree = 1, letter = "\\sqrt{x}", conditions = ["{a*b}<0"])}
|
||||
\begin{multicols}{3}
|
||||
\begin{subparts}
|
||||
\subpart $f:x \mapsto \dfrac{1}{\Var{P}}$
|
||||
\subpart $g:x\mapsto \dfrac{1}{\Var{R}}$
|
||||
\subpart $h:x \mapsto \sqrt{\Var{Q}}$
|
||||
\end{subparts}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
On constate que $f$ est une fonction de la forme
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f(x) = \frac{1}{u(x)} &\mbox{ avec }& u(x) = \Var{P}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Comme $u(x)$ est un polynôme, son domaine de définition est $D_u = \R$. Il faut maintenant déterminer les valeurs de $x$ tels que $u(x) = 0$.
|
||||
|
||||
On résout l'équation $\Var{P} = 0$:
|
||||
\Var{solveEquation(P)}
|
||||
|
||||
Donc finalement, $f$ est définie sur $D_f = \R \backslash \left\{ \Var{P.roots()[0]}, \Var{P.roots()[1]} \right\}$.
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\part Soit $f$ un fonction définie par
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\Block{set P = Polynom.random(degree = 2 )}
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\Block{set Q = Polynom.random(degree = 1 , conditions = ["{a+b} != 0"])}
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\begin{eqnarray*}
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f:x\mapsto \frac{\Var{P}}{\Var{Q}}
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\end{eqnarray*}
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\begin{subparts}
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\subpart Déterminer le domaine de définition de $f$
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\Block{set N = (P.derivate() * Q - P * Q.derivate()).simplify()}
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\subpart Démontrer que la dérivé de $f$ est $f('x) = \dfrac{\Var{N}}{(\Var{Q})^2}$
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\subpart Étudier le signe de $f$.
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\subpart Calculer l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ (la courbe représentative de $f$) au point d'abscisse $x = 1$.
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\end{subparts}
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\end{parts}
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\question
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\Block{set u0 = random_str("{u}")}
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\Block{set u = Polynom.random(degree = 1, conditions=["{a} != 1"], letter = "u_n")}
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\Block{set a,b = u._coef[1], u._coef[0]}
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Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\N$ par
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\begin{eqnarray*}
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u_0 = \Var{u0} \hspace{2cm} u_{n+1} = \Var{u}
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\end{eqnarray*}
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\begin{parts}
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\part Calculer les 4 premiers termes de la suite $(u_n)$.
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\Block{set pt_fixe = Fraction(b, (1-a)).simplify()}
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\Block{set v = Polynom([-pt_fixe, 1], letter = "u_n")}
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\part On pose $v_n = \Var{v}$.
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\begin{subparts}
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\subpart Calculer les 4 premiers termes de la suite $(v_n)$
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\subpart Démontrer que $(v_n)$ est géométrique de raison $q = \Var{a}$.
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\subpart En déduire l'expression explicite de $(v_n)$.
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\Block{set explicite = Expression([int(u0) - pt_fixe, a, "n", "^", "*", pt_fixe, "+"])}
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\subpart En déduire que l'expression explicite de $(u_n)$ est $u_n = \Var{explicite}$
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\end{subparts}
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\part Écrire un algorithme qui prend en argument un rang \texttt{n} et qui renvoie la la valeur de $v_n$ (vous ne pouvez pas utiliser la formule explicite)
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\part Écrire un algorithme qui prend en argument un rang \texttt{n} et qui renvoie la la valeur de $u_0 + u_1 +\cdots + u_n$ ( vous pouvez utiliser la formule explicite)
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\end{parts}
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\end{questions}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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