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% Title Page
\titre{1}
% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
\classe{\premiereS}
\date{29 septembre 2014}
\duree{1 heure}
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% DS DSCorr DM DMCorr Corr
\typedoc{DS}
\printanswers
\begin{document}
\maketitle
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
\textbf{1 point} est réservé à la présentation et à la rédaction.
\begin{questions}
\question[5]
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
\draw[very thin, gray] (-4,-5) grid (6,5);
\draw[->, thick] (-4,0) -- (6,0) node[below right] {$x$};
\draw[->, very thick] (0,-5) -- (0,5) node[above] {$y$};
\draw (0,0) node[below right, scale=0.7 ] {$O$};
\draw (0,1) node {-} node[left] {$J$};
\draw (1,0) node[rotate=90] {-} node[below] {$I$};
\draw[very thick] (-4,-4) -- (6,1) ;
\draw (5,0.5) node [above ] {$\mathcal{D}$};
\draw (2,-3) node {$\bullet$} node[below right] {$A$};
\ifprintanswers
\draw[color=red] (1,-5) -- (6,5) node[left] {$d_2$};
\draw[color=blue] (-1,-4) -- (2,5) node[left] {$d_1$};
\fi
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
Pour les questions qui suivent, vous tracerez sur le sujet et vous indiquerez le nom des droites.
\\[0.5cm]
\begin{parts}
\part Tracer la droite $d_2$ passant par $A$ et de coefficient directeur 2 .
\part Tracer la droite $d_1$ d'équation $ y = 3x - 1$ .
\part Déterminer l'équation de la droite $\mathcal{D}$.
%\part Tracer la droite $d_2$ passant par $B(-2,3)$ et de coefficient directeur $-1$ .
\end{parts}
\end{minipage}
\begin{solution}
$B(0;-2)$ et $C(4;0)$ sont deux points de $\mathcal{D}$.\\
On determine le coefficient directeur de $\mathcal{D}$:
\begin{eqnarray*}
a & = & \frac{y_B - y_C}{x_B - x_C}= \frac{-2 - 0}{0 - 4} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}
\end{eqnarray*}
Donc l'équation de $\mathcal{D}$ est de la forme $y = \frac{1}{2}x + b$. Déterminons $b$.
\begin{eqnarray*}
B(0;-2) \in \mathcal{D} & \mbox{ donc } & -2 = \frac{1}{2} \times 0 + b \\
&\mbox{ donc } & b = -2
\end{eqnarray*}
L'équation de $\mathcal{D}$ est donc $y = \frac{1}{2} - 2$
\end{solution}
\vfill
\question[5]
\begin{center}
\ifprintanswers
\includegraphics[scale=0.4]{./fig/fonction_corr}
\else
\includegraphics[scale=0.4]{./fig/fonction}
\fi
\end{center}
\begin{parts}
\part Tracer, sans faire de calculs, la tangente à $\mathcal{C}_g$ en -2.
\part Déterminer graphiquement $g(1)$ et $g'(1)$ ($T$ est la tangente à $\mathcal{C}_g$ en 1).
\part Déterminer graphiquement les valeurs de $a$ telles que $g'(a) = 0$.
\end{parts}
\begin{solution}
\begin{parts}
\part Cf graphique
\part Graphiquement on lit $g(1) = 0$.\\
$g'(1)$ est le coefficient directeur de $T$. Les points $A(1,0)$ et $B(0,1)$ sont deux points de $T$ donc
\begin{eqnarray*}
g'(1) & = & \frac{y_A - y_B}{x_A - x_B} = \frac{0 - 1}{1 - 0} = -1
\end{eqnarray*}
\part $g'(a) = 0$ correspond aux tangentes horizontales. On peut voir qu'il y a deux tangentes horizontales une au points $(-1:1)$ et une autre au point $(3;-1)$. Donc les valeurs de $a$ telles que $g'(a) = 0$ sont $-1$ et $3$.
\end{parts}
\end{solution}
\vfill
\pagebreak
\question[5]
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
\begin{tikzpicture}[yscale=0.7,xscale=1.2]
\draw[very thin, gray] (-3,-5) grid (3,5);
\draw[->, thick] (-3,0) -- (3,0) node[below right] {$x$};
\draw[->, very thick] (0,-5) -- (0,5) node[above] {$y$};
\draw (0,0) node[below right, scale=0.7 ] {$O$};
\draw (0,1) node {-} node[left] {$J$};
\draw (1,0) node[rotate=90] {-} node[below] {$I$};
\draw (-2,2) node {$\bullet$};
\draw (-2.5 , 4) -- (-1.5,0);
\draw (1,-1) node {$\bullet$};
\draw (2,1) -- (0,-3);
\ifprintanswers
\draw[color = green, very thick] (-1,-1) node {$\bullet$};
\draw[color = green, very thick] (-2 , 1) -- (0,-3);
\draw[color=green, very thick] (2,2) node {$\bullet$};
\draw[color=green, very thick] (2.5 , 4) -- (1.5,0);
\draw[color=green, very thick] (0,-2) node {$\bullet$};
\draw[color=green, very thick] (-1 , -2) -- (1,-2);
\draw[color = red, very thick] plot [domain= -2.5:2.5] (\x, {\x*\x - 2});
\fi
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
On donne le tableau de valeurs correspondant à la fonction
\begin{eqnarray*}
f:x & \mapsto & x^2 - 2
\end{eqnarray*}
\begin{tabular}{|c|*{5}{p{.8cm}|}}
\hline
x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\
\hline
$f(x)$ & 2 & & -2 & -1 & \\
\hline
Nombre dérivé & -4 & -2 & & 2 & 4 \\
\hline
\end{tabular}
\end{minipage}
\vspace{1cm}
\begin{parts}
\part Calculer les éléments manquant du tableau
\begin{solution}
Calcul des éléments manquants dans le tableau
\begin{eqnarray*}
f(-1) & = & (-1)^2 - 2 = 1 - 2 = -1 \\
f(2) & = & 2^2 - 2 = 4 - 2 = 2 \\
\end{eqnarray*}
Calcul du nombre dérivé en 0
\begin{eqnarray*}
\frac{f(0 + h) - f(0)}{h} &=& \frac{h^2 - 2 - -(2)}{h} = \frac{h^2}{h} = h
\end{eqnarray*}
Donc quand $h$ tend vers 0, $\frac{f(0+h) - f(0)}{h}$ tend vers 0. Donc
\begin{eqnarray*}
f'(0) & = & \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = 0
\end{eqnarray*}
\end{solution}
\part Compléter le graphique avec les éléments du tableau.
\begin{solution}
En vert.
\end{solution}
\part Tracer précisément la courbe.
\begin{solution}
En rouge.
\end{solution}
\end{parts}
\vfill
\question[4]
Alain a mis 4 musiques en lecture aléatoire sur son lecteur de musique. Le tableau suivant indique la durée en secondes de chacun de ces morceaux.
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|*{4}{c|}}
\hline
Nom du morceau & A & B & C & D \\
\hline
Durée (en secondes) & 280 & 200 & 240 & 280 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
On note $T$ le durée d'écoute de deux morceaux successifs (la lecture aléatoire permet d'écouter deux fois de suite le même morceau).
\begin{parts}
\part Déterminer la loi de probabilité de $T$. Justifier avec un arbre ou un tableau à double entrée.
\begin{solution}
Durée d'écoute pour deux morceaux
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|*{4}{c|}}
\hline
& A & B & C & D \\
\hline
A & 560 & 480 & 520 & 560 \\
\hline
B & 480 & 400 & 440 & 480 \\
\hline
C & 520 & 440 & 480 & 520 \\
\hline
D & 560 & 480 & 520 & 560 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
On en déduit la loi de probabilité de $T$.
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|*{5}{c|}}
\hline
Valeurs de T & 400 & 440 & 480 & 520 & 560 \\
\hline
Probabilité & $\frac{1}{16}$ & $\frac{2}{16}$ & $\frac{5}{16}$ & $\frac{4}{16}$ & $\frac{4}{16}$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
Car il y a 16 issues possibles et que par exemple, il y a 5 issues qui donnent 480 d'où $P(X = 480) = \frac{5}{16}$.
\end{solution}
\part Quelle est la probabilité, $P(T>500)$, pour que les deux morceaux successifs durent plus de 500 secondes?
\begin{solution}
\begin{eqnarray*}
P(T > 500) & = & P(T = 520) + P(T=560) \\
& = & \frac{4}{16} + \frac{4}{16} \\
& = & \frac{8}{16} = \frac{1}{2}
\end{eqnarray*}
Donc la probabilité pour que les deux morceaux durent plusde 500 secondes est de $\frac{1}{2}$.
\end{solution}
\part(Bonus) Quelle est la probabilité pour que les deux morceaux tirés au hasard soient les mêmes?
\begin{solution}
Il y a 16 issues possibles pour les choix aléatoires de deux musiques. Or il n'y a que 4 issues qui correspondent à deux fois le même. Donc
\begin{eqnarray*}
P( \left\{ \mbox{ Deux fois le même morceau } \right\}) & = & \frac{4}{16} = \frac{1}{4}
\end{eqnarray*}
Donc une fois sur 4, il tombera sur deux fois le même morceau.
\end{solution}
\end{parts}
\end{questions}
\vfill
\end{document}
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%%% TeX-master: "master"
%%% End:

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Notes sur DS_0929
#################
:date: 2015-07-01
:modified: 2015-07-01
:tags: DS, Droites, Dérivation, Proba
:category: 1S
:authors: Benjamin Bertrand
:summary: Pas de résumé, note créée automatiquement parce que je ne l'avais pas bien fait...
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