Import work from year 2014-2015

1S/DS/DS_1215/DS_1215.tex

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+\documentclass[a4paper,10pt, table]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/tools/style/classDS}
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+\titre{DS 4}
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+\date{15 décembre 2014}
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+\typedoc{DS}
+
+\printanswers
+
+\begin{document}
+\maketitle
+
+Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
+
+\begin{questions}
+    
+
+
+    \question[5]
+
+        \includegraphics[scale=0.35]{./fig/dessin}
+
+        $ABCD$ est un carré de centre $O$. Les points $E$, $F$, $G$ et $H$ sont les milieux respectifs des cotés $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$, $[DA]$.
+    \begin{parts}
+        \part Citer deux vecteurs égaux à $\vec{AB}$.
+        \begin{solution}
+            Deux vecteurs égaux à $\vec{AB}$: $\vec{HF}$ et $\vec{DC}$.
+        \end{solution}
+        \part Donner un vecteur colinéaire à $\vec{EH}$ mais qui ne lui soit pas égal.
+        \begin{solution}
+            $\vec{BD}$ est un vecteur colinéaire à $\vec{EH}$ car il a la même direction mais pas la même norme.
+        \end{solution}
+        \part En laissant les traits de construction, placer le point $M$ tel que $\vec{AM} = \vec{BG} - \vec{EH} + 3\vec{GC}$.
+        \part On suppose que l'origine du repère est $O$ et que $D$ a pour coordonnées $(1;1)$.
+        \begin{subparts}
+            \subpart Calculer les coordonnées de $\vec{ED}$
+            \begin{solution}
+                Coordonnée de $\vec{ED}$:
+                \begin{eqnarray*}
+                    \vec{ED} & = & \vectCoord{x_D - x_E}{y_D - y_E} \\
+                    &=& \vectCoord{1 - (-1)}{1 - 0}\\
+                    &=& \vectCoord{2}{1}
+                \end{eqnarray*}
+            \end{solution}
+            \subpart Calculer les coordonnées de $M$.
+        \begin{solution}
+            \begin{eqnarray*}
+                \vec{BG} - \vec{EH} + 3\vec{GC} & = & \vectCoord{2}{1} - \vectCoord{1}{1} + 3\vectCoord{0}{-1} \\
+                &=& \vectCoord{2 - 1 + 3\times 0}{1 - 1 + 3 \times (-1)} \\
+                &=& \vectCoord{1}{-3}
+            \end{eqnarray*}
+            Donc quand on fait subir la transformation $\vec{BG} - \vec{EH} + 3\vec{GC}$ au point $A$, on obtient les coordonnées sur points $M$:
+            \begin{eqnarray*}
+                x_M & = & x_A + 1 = -1 + 1 = 0\\
+                y_M & = & y_A - 3 = 1 - 3= -2\\
+            \end{eqnarray*}
+            Les coordonnées de $M$ sont alors $(0;-2)$.
+        \end{solution}
+        \end{subparts}
+    \end{parts}
+
+    \question[4]
+    Soit $f$ la fonction $f:x\mapsto - 4x^2 + 5x - 12$
+    \begin{parts}
+        \part En passant par la dérivée, tracer le tableau de variation de $f$.
+        \begin{solution}
+            Calcul de la dérivé de $f$
+            \begin{eqnarray*}
+                f'(x) & = & -4 \times 2\times x + 5 + 0 = -8x + 5
+            \end{eqnarray*}
+            On cherche les valeurs de $x$ tels que $f'$ soit positive
+            \begin{eqnarray*}
+                f'(x) > 0 & \equiv & -8x + 5 > 0 \\
+                &\equiv& -8x > -5 \\
+                &\equiv& x > \frac{5}{8}
+            \end{eqnarray*}
+            Car $-8$ est négatif donc on a changé le sens de l'inégalité.
+
+            Ici $a$ est négatif donc les branches sont orientées vers le bas.
+            \begin{center}
+            \begin{tikzpicture}
+                \tkzTabInit[espcl=2]{$x$/1,$f'(x)$/1, $f(x)$/1}{$-\infty$, $\frac{5}{8}$, $+\infty$}
+                \tkzTabLine{, + , z, -,}
+                \tkzTabVar{-/{}, +/{$\frac{-167}{16}$}, -/{} }
+            \end{tikzpicture}
+            \end{center}
+
+            \begin{eqnarray*}
+                f(\frac{5}{8}) & = & -4\times\left( \frac{5}{8} \right)^2 + 5\times \frac{5}{8} - 12 \\
+                &=& \frac{-668}{64} = \frac{-167}{16}
+            \end{eqnarray*}
+            
+            
+            
+        \end{solution}
+        \part Combien de solution l'équation $f(x) = 0$ a-t-elle?
+        \begin{solution}
+            D'après le tableau de variations de la question précédente, on remarque que la maximum de $f$ est un nombre négatif. Donc l'équation $f(x) = 0$ n'a pas de solutions.
+        \end{solution}
+    \end{parts}
+
+    \question[8]
+    Un élève se rend à vélo au lycée distant de 3km de son domicile à une vitesse constante de 15km/h. Sur son parcours, il rencontre 6 feux tricolores non synchronisés. Pour chaque feu, la probabilité qu'il soit au vert est de $\dfrac{2}{3}$ et celle qu'il soit à l'orange ou au rouge est de $\dfrac{1}{3}$. Un feu rouge ou orange lui font perdre une minute et demi.
+
+    On appelle $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre de feux verts rencontrés par l'élève sur son parcours.
+
+    On appelle $T$ la variable aléatoire donnant le temps en minutes mis par l'élève pour se rendre au lycée.
+
+    \begin{parts}
+        \part
+        \begin{subparts}
+            \subpart Déterminer la loi de probabilité de $X$. Justifier.
+            \begin{solution}
+                $X$ suit une loi binomiale de paramètre 6 et $\frac{2}{3}$. En effet, chaque feu correspond  à un épreuve de Bernouilli avec comme succès que le feu soit vert avec probabilité $\frac{2}{3}$. Chacune de ces expériences sont indépendantes (les feux ne sont pas synchronisés). Et on la répète 6 fois.
+            \end{solution}
+            \subpart Est-ce que $T$ suit une loi binomiale? Justifier.
+            \begin{solution}
+                $T$ ne suit pas une loi binomiale car elle mesure un temps et ne compte pas le nombre de succès ou d'échecs.
+            \end{solution}
+        \end{subparts}
+        \part 
+        \begin{subparts}
+            \subpart Calculer la probabilité qu'il rencontre exactement 4 feux verts.
+            \begin{solution}
+                Probabilité d'avoir exactement 4 feux verts:
+                \begin{eqnarray*}
+                    P(X = 4) & = & \coefBino{6}{4} \times \left( \frac{2}{3} \right)^4 \times \left( \frac{1}{3} \right)^2 \\
+                    &\approx& 0.33
+                \end{eqnarray*}
+                La probabilité qu'il ai exactement 4 feux vert est de 0,33.
+
+                
+            \end{solution}
+            \subpart Combien de temps mettra-t-il alors pour aller au lycée?
+            \begin{solution}
+                15km/h correspond à $15:60 = 0,25km/min$.
+
+                Si le parcourt se fait sans rencontrer de feu rouge (temps minimal de trajet pour parcourir les 3km)
+                \begin{eqnarray*}
+                    \frac{3}{0,25} & = & 12 min
+                \end{eqnarray*}
+
+                Donc s'il rencontre 4 feux vert soit 2 feux rouges ou oranges
+                \begin{eqnarray*}
+                    12 + 2\times1,5 & = & 15min 
+                \end{eqnarray*}
+
+                Il mettra 15 minutes s'il rencontre 2 feux rouges ou oranges.
+            \end{solution}
+        \end{subparts}
+        \part 
+        \begin{subparts}
+            \subpart Calculer l'espérance de $X$. Interpréter le résultat.
+            \begin{solution}
+                Espérance de $X$: Comme $X$ suit une loi binomiale de paramètres 6 et $\frac{2}{3}$, on a 
+                \begin{eqnarray*}
+                    E[X] & = & 6\times \frac{2}{3} = 4
+                \end{eqnarray*}
+                En moyenne, il rencontrera 4 feux verts.
+            \end{solution}
+            \subpart Exprimer $T$ en fonction de $X$.
+            \begin{solution}
+                D'après la question 2.b, s'il ne rencontre pas de feux rouges ou orange il met 12 minutes. Chaque feu rouge rencontré lui fait perdre 1,5minutes de plus. Donc
+                \begin{eqnarray*}
+                    T & = & 12 + (6-X)\times1,5\\
+                    T &=& 12 + 9 - 1,5X \\
+                    T &=& 21 - 1,5X
+                \end{eqnarray*}
+            \end{solution}
+            \subpart Calculer l'espérance de $T$. Interpréter le résultat.
+            \begin{solution}
+                Espérance de $T$:
+                \begin{eqnarray*}
+                    E[T] & = & 21 - 1,5\times E[X]\\
+                    E[T] & = & 21 - 1,5\times 4\\
+                    E[T] &=&  21 - 6 = 15
+                \end{eqnarray*}
+                Il mettra en moyenne 15 minutes pour aller au lycée.
+            \end{solution}
+        \end{subparts}
+        \part L'élève part 17 minutes avant le début des cours. Quelle est la probabilité qu'il arrive à l'heure?
+        \begin{solution}
+            S'il y a que 2 feux verts, son parcours durera 18 minutes. S'il en a 3, son parcours durera 16,5min. Donc il sera en retard, dès que $X \leq 2$.
+            \begin{eqnarray*}
+                P(X\leq 2) & = & P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \\
+                &=& 0,1
+            \end{eqnarray*}
+            Il a environ une chance sur 10 d'arriver en retard.
+        \end{solution}
+    \end{parts}
+
+    \question[3]
+    On suppose que $\coefBino{6}{2} = 15$. Vous répondrez aux questions suivantes sans utiliser la calculatrice.
+    \begin{parts}
+        \part Détailler le calcul de $\coefBino{6}{4}$ en rappelant la formule utilisée.
+        \begin{solution}
+            On utilise la formule: $\coefBino{n}{k} = \coefBino{n}{n-k}$. Donc
+            \begin{eqnarray*}
+                \coefBino{6}{4} & = & \coefBino{6}{6-4} = \coefBino{6}{2} = 15
+            \end{eqnarray*}
+        \end{solution}
+        \part 
+        \begin{subparts}
+            \subpart Combien vaut $\coefBino{6}{1}$. 
+            \begin{solution}
+                D'après le cours
+                \begin{eqnarray*}
+                    \coefBino{6}{1} & = & 6
+                \end{eqnarray*}
+                
+            \end{solution}
+            
+            \subpart Détailler le calcul de $\coefBino{7}{2}$ en rappelant la formule utilisée.t
+            \begin{solution}
+                On utilise la formule de Pascale: $\coefBino{n+1}{k+1} = \coefBino{n}{k} + \coefBino{n}{k+1}$.
+                
+                Donc en remplaçant $n$ par 6 et $k$ par 1 on obtient
+                \begin{eqnarray*}
+                    \coefBino{7}{2} & = & \coefBino{6}{1} + \coefBino{6}{2} = 6 + 15 = 21
+                \end{eqnarray*}
+                
+            \end{solution}
+        \end{subparts}
+        
+    \end{parts}
+\end{questions}
+
+\end{document}
+
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+%%% End:
+

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@@ -0,0 +1,289 @@
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1S/DS/DS_1215/index.rst

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+Notes sur DS_1215
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+:date: 2015-07-01
+:modified: 2015-07-01
+:tags: DS, Vecteurs, Dérivation, Proba
+:category: 1S
+:authors: Benjamin Bertrand
+:summary: Pas de résumé, note créée automatiquement parce que je ne l'avais pas bien fait...
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