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1S/Proba_stat/VA/Cours/Cours.tex

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+\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/tools/style/classCours}
+\usepackage{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/2014_2015}
+
+% Title Page
+\titre{Variable aléatoire}
+% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
+\classe{\premiereS}
+\date{Septembre 2014}
+
+\begin{document}
+\maketitle
+
+\section{Variable aléatoire}
+
+\begin{Def}
+    Soit $\Omega$ l'univers d'une expérience aléatoire.
+
+    Définir une variable aléatoire $X$ sur $\Omega$, c'est associer à chacune des issues de $\Omega$ un réel.
+\end{Def}
+
+\begin{Ex}
+    On tire au hasard une boule dans une urne constituée de 3 boules bleu, 5 boules verte, 9 boules jaune et 1 boule rouge.
+    \begin{itemize}
+        \item Une boule bleu rapporte 10
+        \item Une boule verte rapporte 1
+        \item Une boule jaune rapporte 1
+        \item Une boule rouge rapporte -4
+    \end{itemize}
+
+    On fait le dessin
+
+\end{Ex}
+
+\begin{Def}
+    Soit $X$ une variable aléatoire. Définir une loi de probabilité de $X$ c'est associer à chacune des valeurs prise par $X$ un nombre $P(X=x)$ compris entre 0 et 1 tel que la somme de tous ces nombres soit égale à 1.
+\end{Def}
+
+\begin{Ex}
+    Loi de probabilité pour l'exemple en question.
+
+    Représentation graphique de la loi -> diagramme bâtons
+\end{Ex}
+
+\begin{Def}
+    \begin{itemize}
+        \item L'évènement $\left\{ X = x \right\}$, où $x$ est un réel, est l'ensemble des issues de $\Omega$ auxquels ont a associé la valeur $x$.
+        \item L'évènement $\left\{ X \geq  x \right\}$, où $x$ est un réel, est l'ensemble des issues de $\Omega$ auxquels ont a associé une valeur supérieur ou égale à $x$.
+        \item L'évènement $\left\{ X \leq  x \right\}$, où $x$ est un réel, est l'ensemble des issues de $\Omega$ auxquels ont a associé une valeur supérieur ou égale à $x$.
+    \end{itemize}
+\end{Def}
+
+\begin{Ex}
+    On reprend l'exemple en détaillant quelques évènements et les probabilités associées.
+\end{Ex}
+
+
+
+\section{Espérance, variance et écart-type}
+
+\begin{Ex}
+    Activité autour des barèmes d'un QCM.
+\end{Ex}
+
+\begin{Def}
+    Soit $X$ une variable aléatoire de loi de probabilité
+    \begin{center}
+        \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
+            \hline
+            Valeurs & $x_1$ & $x_2$ & ... & $x_n$ \\
+            \hline
+            Proba & $p_1$ & $p_2$ & ... & $p_n$ \\
+            \hline
+        \end{tabular}
+    \end{center}
+    \textbf{L'espérance} de $X$ est la moyenne des gains pondérées par leur probabilité. Elle se calcule de la manière suivante
+    \begin{eqnarray*}
+        E[X] & = & x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i
+    \end{eqnarray*}
+\end{Def}
+
+\begin{Ex}
+    Exemple de calcul simple
+\end{Ex}
+
+\begin{Rmq}
+    Gain espérable si l'on joue de nombreuse fois.
+\end{Rmq}
+
+\begin{Def}
+    Un jeu aléatoire est dit \textbf{équitable} quand son espérance est nulle.
+\end{Def}
+
+\begin{Def}
+    Soit $X$ une variable aléatoire de loi de probabilité
+    \begin{center}
+        \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
+            \hline
+            Valeurs & $x_1$ & $x_2$ & ... & $x_n$ \\
+            \hline
+            Proba & $p_1$ & $p_2$ & ... & $p_n$ \\
+            \hline
+        \end{tabular}
+    \end{center}
+    \textbf{La variance} de $X$ est le nombre réel
+    \begin{eqnarray*}
+        V(X) & = & \sum_{i=1}^{n} (x_i - E[X])^2 \times p_i
+    \end{eqnarray*}
+    \textbf{L'écart type} de $X$ est le nombre réel
+    \begin{eqnarray*}
+        \sigma(X) & = & \sqrt{V(X)}
+    \end{eqnarray*}
+\end{Def}
+
+\begin{Prop}
+    \begin{eqnarray*}
+        V(X) & = & E[(x-E[X])^2] \\
+        V(X) & = & E[X^2] - E[X]^2
+    \end{eqnarray*}
+\end{Prop}
+
+\begin{Demo}
+    .
+\end{Demo}
+
+\begin{Prop}
+    Soient $a$ et $b$ deux réels, alors
+    \begin{eqnarray*}
+        E[aX+b] & = & aE[X] + b \\
+        V(aX) & = & a^2 V(X)
+    \end{eqnarray*}
+\end{Prop}
+
+\begin{Demo}
+   . 
+\end{Demo}
+
+
+
+\end{document}
+
+%%% Local Variables: 
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "master"
+%%% End:
+

1S/Proba_stat/VA/Cours/index.rst

@@ -0,0 +1,15 @@
+Notes sur Cours les variables aléatoires pour les 1S
+####################################################
+
+:date: 2015-07-01
+:modified: 2015-07-01
+:tags: Cours,Stat_Proba
+:category: 1S
+:authors: Benjamin Bertrand
+:summary: Pas de résumé, note créée automatiquement parce que je ne l'avais pas bien fait...
+
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+
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+
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