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Benjamin Bertrand
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\documentclass[a4paper,10pt, table]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/tools/style/classCours}
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% Title Page
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\titre{Loi binomiale et échantillonnage}
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% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
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\classe{\TSTMG}
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\date{Mai 2015}
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\begin{document}
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\maketitle
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\section{Loi binomiale}
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\begin{Def}
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Un \textbf{schéma de Bernouilli de paramètre $n$ et $p$} est une expérience aléatoire consistant à répéter $n$ fois de façon \textbf{identique} et \textbf{independante} un expérience a deux issues avec probabilité $p$ d'avoir un succès.
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\end{Def}
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\begin{Ex}
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Dans une entreprise il y a 450 femmes et 500 hommes. On choisit au hasard 10 personnes parmi tous les employers et on s'interesse au nombre de femmes séléctionnées.
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Cette situation est un schéma de Bernouilli de paramètre 10 et $\frac{450}{950}$. En effet, chaque choix d'une personne est une expérience à 2 issues (homme ou femme) et la probabilité de séléctionner une femme est de $\frac{450}{950}$ et l'on répéte ce choix de façon identique et independant 10 fois.
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\end{Ex}
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\begin{Def}
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Une variable aléatoire X suit une \textbf{loi binomiale de paramètre $n$ et $p$} quand elle compte le nombre de succès dans un schéma de Bernouilli.
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\end{Def}
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\begin{Ex}
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On reprend l'exemple précédent et on note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de femmes séléctionnées. $X$ suit une loi binomiale de paramètres 10 et $\frac{450}{950}$.
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\begin{itemize}
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\item Probabilité de séléctionner 4 femmes: $P(X = 4) = $ \textit{(On le fait à la calculatrice.)}
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\item Probabilité de séléctionner au moins 3 femmes: $P(X \leq 3) = $ \textit{(On le fait à la calculatrice.)}
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\end{itemize}
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\end{Ex}
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\section{Échantillonnage}
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\begin{Ex}
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Une machine produit environ 60\% de pièces conformes. Pendant une journée de production, elle produit 400 pièces. On veut estimer le nombre de pièces conformes qui seront produites pendant la journée.
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\end{Ex}
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\begin{Def}
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On note $p$ la proportion d'un caractère d'une population. On choisit un echantillon de taille $n$ de cette population.
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Si $n\geq 30$, $np \geq 5$ et $n(1-p) \geq 5$ alors la proportion des indivivdus de l'échantillon disposant de ce caractère sera dans 95\% des cas contenu dans l'intervalle
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\begin{eqnarray*}
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I & = & \intFF{p - \frac{1}{\sqrt{n}}}{p + \frac{1}{\sqrt{n}}}
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\end{eqnarray*}
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On appelle cet intervalle \textbf{intervalle de fluctuation à 95\%}.
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\end{Def}
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\begin{Ex}
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\begin{itemize}
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\item En reprenant l'exemple précédent, on calcule l'intervalle de fluctuation
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\begin{eqnarray*}
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I = \intFF{0.6 - \frac{1}{\sqrt{40}}}{0.6 + \frac{1}{\sqrt{40}}} = \intFF{0.56}{0.65}
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\end{eqnarray*}
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Donc dans 95\% des cas, le nombre de pièces conformes sera compris dans
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\begin{eqnarray*}
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\intFF{400 \times 0.56}{400 \times 0.65} = \intFF{220}{260}
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\end{eqnarray*}
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\item On veut savoir si deux entreprises respectent la parité. Pour qu'il y est parité quand la proportion de femme est d'environ 50\%.
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\begin{itemize}
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\item La première entreprise a 300 salariés. Quel est l'intervalle de fluctuation dans ce cas?
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On le calcule et on estime que les entreprises de 300 salariés qui respectent la parité auront dans 95\% des cas une proportion de femmes comprise entre .. et ..
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\item La deuxième entreprise a 1300 salariés. Quel est l'intervalle de fluctuation dans ce cas?
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\end{itemize}
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\end{itemize}
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\end{Ex}
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\section{Prise de décision}
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\begin{Prop}
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On considère un population et on veut connaître la proportion d'un caractère.
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Pour cela on fait l'hypothèse suivante et on veut déterminer si elle est acceptable
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\begin{center}
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Hypothèse : "Dans la population, la proportion du caractère est $p$"
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\end{center}
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Pour cela on prend un échantillon de taille $n$ est on calcule la proportion de ce caractère que l'on note $f$ et l'intervalle de fluctuation à 95\% noté $I$.
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On dispose la règle de décision suivante
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\begin{itemize}
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\item Si $f \in I$ alors l'hypothèse est acceptée au seuil de confiance 95\%.
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\item Si $f \not \in I$ alors l'hypothèse est rejetée au seuil de confiance 95\%.
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\end{itemize}
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\end{Prop}
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\begin{Ex}
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On fait l'hypothèse qu'un élève est absent 1\% de l'année. Au conseil de classe du premier trimestre, on examine le cas de Jean pour savoir s'il a volontairement fait sécher des cours. Sur les 70 jours de cours, il a été absent 5 jours sans justifications.
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On se demande alors si l'hypothèse "Jean a été absent environ 1\% des jours d'école" est valide.
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\begin{enumerate}
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\item Déterminer l'intervalle de fluctuation au niveau 95\% de la fréquence des absences de Jean au cours de ce premier trimestre.
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\item Énoncer la règle de décision permttant d'accepter ou non l'hypothèse $p=1\%$.
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\item Peut-on accepter l'hypothèse $p=0,01$ au niveau de confiance 95\%?
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\end{enumerate}
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\textit{On pourrait aussi faire un exemple pour autour de la parité dans une entreprise.}
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\end{Ex}
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\section{Estimation}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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15
T_STMG/Proba_stat/Loi_bino_echantillonnage/Cours/index.rst
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T_STMG/Proba_stat/Loi_bino_echantillonnage/Cours/index.rst
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Notes sur le cours autour de la loi binomiale et de l'échantillonnage
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:date: 2015-07-01
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:modified: 2015-07-01
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:tags: Proba,Cours
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:category: T_STMG
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:authors: Benjamin Bertrand
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:summary: Pas de résumé, note créée automatiquement parce que je ne l'avais pas bien fait...
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`Lien vers Loi_bino_echantillonnage.tex <Loi_bino_echantillonnage.tex>`_
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`Lien vers Loi_bino_echantillonnage.pdf <Loi_bino_echantillonnage.pdf>`_
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BIN
T_STMG/Proba_stat/Loi_bino_echantillonnage/Exo/exo_loi_bino.pdf
Normal file
BIN
T_STMG/Proba_stat/Loi_bino_echantillonnage/Exo/exo_loi_bino.pdf
Normal file
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\documentclass[a5paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/tools/style/classExo}
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\geometry{left=5mm,right=5mm, bottom= 10mm, top=10mm}
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% Title Page
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\titre{Loi binomiale - Exercices}
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% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
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\classe{\TSTMG}
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\date{Mai 2015}
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\begin{document}
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\begin{questions}
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\question
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Les responsables des ressources humaines d'une grande entreprise a mené une étude sur l'absenteisme des employés. La probabilité qu'une employé soit absent un jour donné des $p=0,05$.
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Soit $X$ la variable aléatoire qui, à un employé choisi au hasard, associe le nombre de jours d'absence sur une période de 100jours. On supposera que sur cette période, être absent un jour $j$ n'infuence pas l'absence sur un autre jour.
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\begin{parts}
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\part Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
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\part Calculer les éléments suivants:
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\begin{subparts}
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\subpart La probabilité que l'employé n'ai jamais été absent ($P(X = 0)$).
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\subpart La probabilité que l'employé ai été absent moins de 2 jours ($P(X\leq 2)$)
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\subpart $P(X = 10)$, interpréter le résultat.
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\subpart $P(X \leq 5)$, interpréter le résultat.
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\subpart $P(X \geq 5)$, interpréter le résultat.
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\end{subparts}
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\end{parts}
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\question
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Une entreprise produit en série des machines à café. Un atelier produit 2,5\% de machines défectueuses. On prélève au hasard, dans la production de l'atelier, un lot de 50 machines. La production est suffisement importante pour que ce prélèvement soit assimilé à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui à un prélèvement de 50 machines associe le nombre de machines défectueuses.
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\begin{parts}
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\part Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire, préciser ses paramètres. Justifier.
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\part Calculer les éléments suivants:
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\begin{subparts}
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\subpart La probabilité d'avoir 10 machines défectueuses.
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\subpart La probabilité d'avoir moins de 3 machines défectueuses.
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\subpart La probabilité d'avoir plus de 10 machines défectueuses.
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\end{subparts}
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\end{parts}
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\question
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Une PME fabrique des bonbons. Dans ses stocks, il y a 67\% de bonbons jaunes et le reste est bleu.
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On prélève au hasard 15 bonbons. Le stocks est suffisement important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage sans remise.
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On concidère la variable aléatoire $X$ qui à un prélèvement associe le nombre de bonbons jaunes parmi les 15 bonbons tirés.
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\begin{parts}
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\part Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
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\part Calculer la probabilité qu'il y ait exactement 10 bonbons jaunes.
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\part Calculer la probabilité qu'il y ait au plus 13 bonbons jaunes.
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\part Calculer la probabilité qu'il y ait au moins 5 bonbons bleu.
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\end{parts}
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\end{questions}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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15
T_STMG/Proba_stat/Loi_bino_echantillonnage/Exo/index.rst
Normal file
15
T_STMG/Proba_stat/Loi_bino_echantillonnage/Exo/index.rst
Normal file
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||||
Notes sur des exercices autour de la loi binomiale et de l'échantillonnage
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:date: 2015-07-01
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:modified: 2015-07-01
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:tags: Proba,Exo
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:category: T_STMG
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:authors: Benjamin Bertrand
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:summary: Pas de résumé, note créée automatiquement parce que je ne l'avais pas bien fait...
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`Lien vers exo_loi_bino.pdf <exo_loi_bino.pdf>`_
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`Lien vers exo_loi_bino.tex <exo_loi_bino.tex>`_
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Reference in New Issue
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