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T_STMG/Proba_stat/Loi_bino_echantillonnage/Cours/Loi_bino_echantillonnage.tex

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+\documentclass[a4paper,10pt, table]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/tools/style/classCours}
+\usepackage{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/2014_2015}
+
+% Title Page
+\titre{Loi binomiale et échantillonnage}
+% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
+\classe{\TSTMG}
+\date{Mai 2015}
+
+\begin{document}
+\maketitle
+
+\section{Loi binomiale}
+
+\begin{Def}
+    Un \textbf{schéma de Bernouilli de paramètre $n$ et $p$} est une expérience aléatoire consistant à répéter $n$ fois de façon \textbf{identique} et \textbf{independante} un expérience a deux issues avec probabilité $p$ d'avoir un succès.
+\end{Def}
+
+\begin{Ex}
+    Dans une entreprise il y a 450 femmes et 500 hommes. On choisit au hasard 10 personnes parmi tous les employers et on s'interesse au nombre de femmes séléctionnées.
+
+    Cette situation est un schéma de Bernouilli de paramètre 10 et $\frac{450}{950}$. En effet, chaque choix d'une personne est une expérience à 2 issues (homme ou femme) et la probabilité de séléctionner une femme est de $\frac{450}{950}$ et l'on répéte ce choix de façon identique et independant 10 fois.
+\end{Ex}
+
+\begin{Def}
+    Une variable aléatoire X suit une \textbf{loi binomiale de paramètre $n$ et $p$} quand elle compte le nombre de succès dans un schéma de Bernouilli. 
+\end{Def}
+
+\begin{Ex}
+    On reprend l'exemple précédent et on note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de femmes séléctionnées. $X$ suit une loi binomiale de paramètres 10 et $\frac{450}{950}$.
+\begin{itemize}
+    \item Probabilité de séléctionner 4 femmes: $P(X = 4) = $ \textit{(On le fait à la calculatrice.)}
+    \item Probabilité de séléctionner au moins 3 femmes: $P(X \leq 3) = $ \textit{(On le fait à la calculatrice.)}
+\end{itemize}
+\end{Ex}
+
+\section{Échantillonnage}
+
+\begin{Ex}
+    Une machine produit environ 60\% de pièces conformes. Pendant une journée de production, elle produit 400 pièces. On veut estimer le nombre de pièces conformes qui seront produites pendant la journée.
+\end{Ex}
+
+\begin{Def}
+    On note $p$ la proportion d'un caractère d'une population. On choisit un echantillon de taille $n$ de cette population.
+
+    Si  $n\geq 30$, $np \geq 5$ et $n(1-p) \geq 5$ alors la proportion des indivivdus de l'échantillon disposant de ce caractère sera dans 95\% des cas contenu dans l'intervalle
+    \begin{eqnarray*}
+        I & = & \intFF{p - \frac{1}{\sqrt{n}}}{p + \frac{1}{\sqrt{n}}}
+    \end{eqnarray*}
+    On appelle cet intervalle \textbf{intervalle de fluctuation à 95\%}.
+\end{Def}
+
+\begin{Ex}
+    \begin{itemize}
+        \item En reprenant l'exemple précédent, on calcule l'intervalle de fluctuation
+            \begin{eqnarray*}
+                I = \intFF{0.6 - \frac{1}{\sqrt{40}}}{0.6 + \frac{1}{\sqrt{40}}} = \intFF{0.56}{0.65}
+            \end{eqnarray*}
+            Donc dans 95\% des cas, le nombre de pièces conformes sera compris dans
+            \begin{eqnarray*}
+                \intFF{400 \times 0.56}{400 \times 0.65} = \intFF{220}{260}
+            \end{eqnarray*}
+        \item On veut savoir si deux entreprises respectent la parité. Pour qu'il y est parité quand la proportion de femme est d'environ 50\%. 
+        \begin{itemize}
+            \item La première entreprise a 300 salariés. Quel est l'intervalle de fluctuation dans ce cas?
+
+                On le calcule et on estime que les entreprises de 300 salariés qui respectent la parité auront dans 95\% des cas une proportion de femmes comprise entre .. et ..
+            \item La deuxième entreprise a 1300 salariés. Quel est l'intervalle de fluctuation dans ce cas?
+        \end{itemize}
+    \end{itemize}
+\end{Ex}
+
+\section{Prise de décision}
+
+\begin{Prop}
+    On considère un population et on veut connaître la proportion d'un caractère.
+
+    Pour cela on fait l'hypothèse suivante et on veut déterminer si elle est acceptable
+    \begin{center}
+        Hypothèse : "Dans la population, la proportion du caractère est $p$"
+    \end{center}
+    Pour cela on prend un échantillon de taille $n$ est on calcule la proportion de ce caractère que l'on note $f$ et l'intervalle de fluctuation à 95\% noté $I$.
+
+    On dispose la règle de décision suivante
+    \begin{itemize}
+        \item Si $f \in I$ alors l'hypothèse est acceptée au seuil de confiance 95\%.
+        \item Si $f \not \in I$ alors l'hypothèse est rejetée au seuil de confiance 95\%.
+    \end{itemize}
+\end{Prop}
+
+\begin{Ex}
+    On fait l'hypothèse qu'un élève est absent 1\% de l'année. Au conseil de classe du premier trimestre, on examine le cas de Jean pour savoir s'il a volontairement fait sécher des cours. Sur les 70 jours de cours, il a été absent 5 jours sans justifications. 
+    
+    On se demande alors si l'hypothèse "Jean a été absent environ 1\% des jours d'école" est valide.
+    \begin{enumerate}
+        \item Déterminer l'intervalle de fluctuation au niveau 95\% de la fréquence des absences de Jean au cours de ce premier trimestre.
+        \item Énoncer la règle de décision permttant d'accepter ou non l'hypothèse $p=1\%$.
+        \item Peut-on accepter l'hypothèse $p=0,01$ au niveau de confiance 95\%?
+    \end{enumerate}
+
+    \textit{On pourrait aussi faire un exemple pour autour de la parité dans une entreprise.}
+\end{Ex}
+
+\section{Estimation}
+
+\end{document}
+
+%%% Local Variables: 
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "master"
+%%% End:
+

T_STMG/Proba_stat/Loi_bino_echantillonnage/Cours/index.rst

@@ -0,0 +1,15 @@
+Notes sur le cours autour de la loi binomiale et de l'échantillonnage
+#####################################################################
+
+:date: 2015-07-01
+:modified: 2015-07-01
+:tags: Proba,Cours
+:category: T_STMG
+:authors: Benjamin Bertrand
+:summary: Pas de résumé, note créée automatiquement parce que je ne l'avais pas bien fait...
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+    `Lien vers Loi_bino_echantillonnage.tex <Loi_bino_echantillonnage.tex>`_
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+    `Lien vers Loi_bino_echantillonnage.pdf <Loi_bino_echantillonnage.pdf>`_