lafrite/2014-2015
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@@ -0,0 +1,19 @@
Notes sur un scéance de révision sur la dérivation
##################################################
:date: 2015-07-01
:modified: 2015-07-01
:tags: Revision, Fonctions, Dérivation
:category: T_STMG
:authors: Benjamin Bertrand
:summary: Pas de résumé, note créée automatiquement parce que je ne l'avais pas bien fait...
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192
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@@ -0,0 +1,192 @@
\documentclass[a4paper,10pt, table]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2014-2015/tools/style/classDS}
\usepackage{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2014-2015/2014_2015}
% Title Page
\titre{Dérivation et fonction}
% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
\classe{\TSTMG}
\date{avril 2015}
%\duree{1 heure}
%\sujet{%{{infos.subj%}}}
% DS DSCorr DM DMCorr Corr
\typedoc{DM}
\begin{document}
\maketitle
\begin{questions}
\question
% Annale Bac STMG Antilles 2014 exo 3
On s'intéresse à la propagation d'une maladie dans une ville de 130000 habitants. La fonction $f$ définie sur l'intervalle $\intFF{0}{40}$ par
\begin{align*}
f(x) &= -30t^2 + 1260t + 4000
\end{align*}
modélise le nombre de personnes touchées par la maladie au bout de $t$ jours de suivi de la propagation.
\begin{parts}
\part \textit{ Répondre aux questions ci-dessous par lecture graphique. Les résultats seronts justifés en commentant le travail réalisé sur le graphique et en y laissant les traits de construction.}
\begin{subparts}
% 1
\subpart Déterminer le nombre de personnes touchées par la maladie au bout de 15 jours de suivi de la propagation.
% 1
\subpart Le conseil municipal a décidé de fermer les crèches de la ville lorsque plus de 12\% de la population est touchée par la maladie. Justifier qu'à partir de 15600 personnes contaminée, le conseil municipal ferme les crèches.
% 1
\subpart Pendant combien de jours les crèches ont-elles été fermée?
% 1
\subpart Combien de personnes, au maximum, on été touchée par la maladie?
\end{subparts}
\part
\begin{subparts}
% 1
\subpart Déterminer,pour tout réel $t$ de l'intervalle $\intFF{0}{40}$, l'expression de $f'(t)$, où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.
% 2
\subpart Étudier le signe de $f'(t)$ pour $t$ variant dans l'intervalle $\intFF{0}{40}$. En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
% 1
\subpart Au bout de combien de jours de suivi de la propagation le nombre de personnes touchées par la maladie est-il maximal?\\
Combien y a-t-il alors de personnes touchées?
\end{subparts}
\end{parts}
\vfill
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
\tkzInit[xmin=0,xmax=40,
ymin=0,ymax=17500,
xstep=5,ystep=2500]
\tkzAxeX[thick, poslabel=right,label=]
\tkzAxeY[thick, poslabel=above,label=]
\tkzDrawX[label={\textit{Nombre de jours}},below= -12pt]
\tkzDrawY[label={\textit{Nombre de personnes touchées}}, below=-10pt]
\tkzGrid
\tkzFct[domain=0:40,color=blue, very thick]{-30*\x*\x + 1260*\x+4000}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\vfill
\pagebreak
\question
% Metropole juin 2014 exo 1
Un parc d'attractions est ouvert au public de 9~h à 21~h.
La courbe $C$ donnée ci-dessous représente l'évolution du nombre de visiteurs attendus durant une journée
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
\tkzInit[xmin=8,xmax=22,
ymin=0,ymax=500,
xstep=1,ystep=50]
\tkzAxeX[thick, poslabel=right,label=]
\tkzAxeY[thick, poslabel=above,label=]
\tkzDrawX[label={\textit{Heure de la journée}},below= -12pt]
\tkzDrawY[label={\textit{Nombre de visiteur}}, below=-10pt]
\tkzGrid
\tkzFct[domain=9:21,color=blue, very thick]{-8*\x*\x+232*\x -1282}
\end{tikzpicture}
\begin{parts}
\part
\begin{subparts}
\subpart Recopier le tableau suivant et le compléter avec la précision permise par le graphique ci-dessus.
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.55\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Heure de la journée&11 h&12 h\\ \hline
Nombre de visiteurs attendus&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\subpart Quel est le taux d'évolution, en pourcentage arrondi à 0,1\,\%, du nombre de visiteurs attendus entre 11 heures et 12 heures ?
\end{subparts}
\part Lorsque le nombre de visiteurs est supérieur ou égal à 300, un fond musical est diffusé par les haut-parleurs du parc.
\begin{EnvUplevel}
Un touriste aimerait faire la visite en profitant du fond musical.
Quels horaires peut-on conseiller à ce touriste pour se rendre au parc d'attractions ?
\part La courbe $C$ ci-dessus est la représentation graphique sur l'intervalle [9~;~21] de la fonction $f$ définie par
\end{EnvUplevel}
\begin{align*}
f(x) = - 8x^2 + 232x - 1282
\end{align*}
\begin{subparts}
\subpart Déterminer les nombres de visiteurs attendus à 11~h et à 12~h.
Comment peut-on expliquer les éventuels écarts avec les résultats de la question 1. a. ?
\subpart Calculer $f'(x)$, où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$.
\subpart En déduire, par le calcul, l'heure à laquelle le nombre de visiteurs attendus est maximal, et donner la valeur de ce maximum.
\end{subparts}
\end{parts}
\pagebreak
\question
% Antilles 2013 juin
Une entreprise possède une chaîne de fabrication capable de fabriquer en une semaine entre 6000 et 32000 pièces identiques. Le coût de fabrication, en euros, de $x$ milliers de pièces, pour $x$ compris entre $6$ et $32$, est noté $C(x)$ où $C$ est la fonction définie sur l'intervalle [6~;~32] par
\[C(x) = 2x^3 - 108x^2 + 5060 x - 4640.\]
La représentation graphique de la fonction $C$ est donnée en annexe.
Toutes les pièces produites sont vendues au prix de 3,5~\euro{} l'unité.
Pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [6~;~32], on note $R(x)$ le montant de la vente en euros de $x$ milliers de pièces. Le bénéfice $B(x)$, en euros, pour la production et la vente de $x$ milliers de pièces est
$B(x) = R(x) - C(x)$.
\bigskip
\begin{parts}
\part Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [6~;~32] : $R(x) = 3500x$.
\part Représenter la fonction $R$ sur l'annexe, à remettre avec la copie.
\part Par lecture graphique, et avec la précision permise par celui-ci, répondre aux questions suivantes. On laissera apparents tous les tracés utiles aux lectures graphiques.
\begin{subparts}
\subpart Quel nombre de pièces produites correspond à un coût de 30000~\euro{} ?
\subpart Quel nombre minimal de pièces fabriquées permet d'avoir un bénéfice positif ou nul ?
\end{subparts}
\part Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [6~;~32] :
\[B(x)= - 2x^3 + 108x^2 - 1560x + 4640.\]
\part On désigne par $B'$ la fonction dérivée de la fonction $B$.
\begin{subparts}
\subpart Calculer $B'(x)$.
\subpart Vérifier que $B'(x) = (- 6x + 60)(x - 26)$.
\end{subparts}
\part
\begin{subparts}
\subpart Étudier le signe de $B'(x)$ sur l'intervalle [6~;~32].
\subpart En déduire le tableau de variation de la fonction B sur l'intervalle [6~;~32].
\end{subparts}
\part Quel est le bénéfice maximal réalisable par l'entreprise? Donner le nombre de pièces à produire réalisant ce maximum.
\end{parts}
%\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.0001cm}
%\begin{pspicture}(-2,-5000)(33,115000)
%\multido{\n=0+2}{17}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,115000)}
%\multido{\n=0+5000}{24}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(32,\n)}
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=10000]{->}(0,0)(-1.5,-5000)(33,115000)
%\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{6}{32}{x 3 exp 2 mul x dup mul 108 mul sub 5040 x mul add 4640 sub}
%\rput(30,95000){$y = C(x)$}\uput[dl](0,0){O}
%\end{pspicture}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
\tkzInit[xmin=0,xmax=32,
ymin=0,ymax=115000,
xstep=2,ystep=10000]
\tkzAxeX[thick, poslabel=right,label=]
\tkzAxeY[thick, poslabel=above,label=]
\tkzGrid
\tkzText[color=blue](30,95000){$y = C(x)$}
\tkzFct[domain=6:32,color=blue, very thick]{2*\x*\x*\x - 108*\x*\x + 5060*\x - 4640}
\end{tikzpicture}
\end{questions}
\end{document}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End:

2
T_STMG/Revision/revision1/revision1.tkzfct.gnuplot Normal file
View File

@@ -0,0 +1,2 @@
set table "revision1.tkzfct.table"; set format "%.5f"
set samples 200.0; plot [x=3.000000000000000000:16.000000000000000000] (2*(x*2)*(x*2)*(x*2)- 108*(x*2)*(x*2)+ 5060*(x*2)- 4640)/10000

205
T_STMG/Revision/revision1/revision1.tkzfct.table Normal file
View File

@@ -0,0 +1,205 @@
# Curve 0 of 1, 200 points
# Curve title: "(2*(x*2)*(x*2)*(x*2)- 108*(x*2)*(x*2)+ 5060*(x*2)- 4640)/10000"
# x y type
3.00000 2.22640 i
3.06533 2.27828 i
3.13065 2.32991 i
3.19598 2.38131 i
3.26131 2.43246 i
3.32663 2.48338 i
3.39196 2.53407 i
3.45729 2.58453 i
3.52261 2.63476 i
3.58794 2.68477 i
3.65327 2.73456 i
3.71859 2.78412 i
3.78392 2.83347 i
3.84925 2.88261 i
3.91457 2.93153 i
3.97990 2.98025 i
4.04523 3.02876 i
4.11055 3.07707 i
4.17588 3.12518 i
4.24121 3.17309 i
4.30653 3.22081 i
4.37186 3.26833 i
4.43719 3.31566 i
4.50251 3.36281 i
4.56784 3.40977 i
4.63317 3.45655 i
4.69849 3.50316 i
4.76382 3.54958 i
4.82915 3.59583 i
4.89447 3.64191 i
4.95980 3.68783 i
5.02513 3.73358 i
5.09045 3.77916 i
5.15578 3.82459 i
5.22111 3.86985 i
5.28643 3.91496 i
5.35176 3.95993 i
5.41709 4.00474 i
5.48241 4.04940 i
5.54774 4.09392 i
5.61307 4.13830 i
5.67839 4.18254 i
5.74372 4.22664 i
5.80905 4.27061 i
5.87437 4.31445 i
5.93970 4.35816 i
6.00503 4.40175 i
6.07035 4.44521 i
6.13568 4.48855 i
6.20101 4.53178 i
6.26633 4.57489 i
6.33166 4.61789 i
6.39698 4.66078 i
6.46231 4.70356 i
6.52764 4.74624 i
6.59296 4.78882 i
6.65829 4.83130 i
6.72362 4.87369 i
6.78894 4.91598 i
6.85427 4.95818 i
6.91960 5.00029 i
6.98492 5.04231 i
7.05025 5.08426 i
7.11558 5.12612 i
7.18090 5.16791 i
7.24623 5.20962 i
7.31156 5.25126 i
7.37688 5.29283 i
7.44221 5.33434 i
7.50754 5.37578 i
7.57286 5.41716 i
7.63819 5.45848 i
7.70352 5.49975 i
7.76884 5.54096 i
7.83417 5.58212 i
7.89950 5.62323 i
7.96482 5.66430 i
8.03015 5.70533 i
8.09548 5.74632 i
8.16080 5.78727 i
8.22613 5.82818 i
8.29146 5.86907 i
8.35678 5.90992 i
8.42211 5.95075 i
8.48744 5.99156 i
8.55276 6.03234 i
8.61809 6.07310 i
8.68342 6.11385 i
8.74874 6.15459 i
8.81407 6.19532 i
8.87940 6.23604 i
8.94472 6.27675 i
9.01005 6.31746 i
9.07538 6.35818 i
9.14070 6.39889 i
9.20603 6.43961 i
9.27136 6.48034 i
9.33668 6.52108 i
9.40201 6.56184 i
9.46734 6.60261 i
9.53266 6.64340 i
9.59799 6.68421 i
9.66332 6.72505 i
9.72864 6.76591 i
9.79397 6.80680 i
9.85930 6.84773 i
9.92462 6.88869 i
9.98995 6.92969 i
10.05528 6.97073 i
10.12060 7.01181 i
10.18593 7.05294 i
10.25126 7.09412 i
10.31658 7.13535 i
10.38191 7.17663 i
10.44724 7.21797 i
10.51256 7.25937 i
10.57789 7.30083 i
10.64322 7.34235 i
10.70854 7.38394 i
10.77387 7.42561 i
10.83920 7.46734 i
10.90452 7.50915 i
10.96985 7.55104 i
11.03518 7.59301 i
11.10050 7.63506 i
11.16583 7.67720 i
11.23116 7.71943 i
11.29648 7.76175 i
11.36181 7.80416 i
11.42714 7.84667 i
11.49246 7.88928 i
11.55779 7.93199 i
11.62312 7.97480 i
11.68844 8.01773 i
11.75377 8.06076 i
11.81910 8.10391 i
11.88442 8.14717 i
11.94975 8.19055 i
12.01508 8.23405 i
12.08040 8.27767 i
12.14573 8.32142 i
12.21106 8.36530 i
12.27638 8.40931 i
12.34171 8.45346 i
12.40704 8.49774 i
12.47236 8.54216 i
12.53769 8.58673 i
12.60302 8.63144 i
12.66834 8.67629 i
12.73367 8.72130 i
12.79899 8.76646 i
12.86432 8.81177 i
12.92965 8.85725 i
12.99497 8.90288 i
13.06030 8.94868 i
13.12563 8.99465 i
13.19095 9.04078 i
13.25628 9.08708 i
13.32161 9.13356 i
13.38693 9.18022 i
13.45226 9.22706 i
13.51759 9.27408 i
13.58291 9.32128 i
13.64824 9.36867 i
13.71357 9.41626 i
13.77889 9.46403 i
13.84422 9.51200 i
13.90955 9.56017 i
13.97487 9.60854 i
14.04020 9.65712 i
14.10553 9.70590 i
14.17085 9.75489 i
14.23618 9.80409 i
14.30151 9.85351 i
14.36683 9.90314 i
14.43216 9.95299 i
14.49749 10.00307 i
14.56281 10.05337 i
14.62814 10.10390 i
14.69347 10.15466 i
14.75879 10.20565 i
14.82412 10.25688 i
14.88945 10.30835 i
14.95477 10.36006 i
15.02010 10.41201 i
15.08543 10.46421 i
15.15075 10.51666 i
15.21608 10.56936 i
15.28141 10.62232 i
15.34673 10.67553 i
15.41206 10.72900 i
15.47739 10.78274 i
15.54271 10.83674 i
15.60804 10.89101 i
15.67337 10.94555 i
15.73869 11.00036 i
15.80402 11.05545 i
15.86935 11.11082 i
15.93467 11.16647 i
16.00000 11.22240 i

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T_STMG/Revision/revision1/revision1_corr.pdf Normal file
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361
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@@ -0,0 +1,361 @@
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\usepackage{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2014-2015/2014_2015}
% Title Page
\titre{Dérivation et fonction}
% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
\classe{\TSTMG}
\date{avril 2015}
%\duree{1 heure}
%\sujet{%{{infos.subj%}}}
% DS DSCorr DM DMCorr Corr
\typedoc{DM}
\printanswers
\begin{document}
\maketitle
\begin{questions}
\question
% Annale Bac STMG Antilles juin 2014 exo 3 /!\ Modifiée pour rendre la première partie plus intéressante.
On s'intéresse à la propagation d'une maladie dans une ville de 130000 habitants. La fonction $f$ définie sur l'intervalle $\intFF{0}{40}$ par
\begin{align*}
f(x) &= -30t^2 + 1260t + 4000
\end{align*}
modélise le nombre de personnes touchées par la maladie au bout de $t$ jours de suivi de la propagation.
\begin{parts}
\part \textit{ Répondre aux questions ci-dessous par lecture graphique. Les résultats seronts justifés en commentant le travail réalisé sur le graphique et en y laissant les traits de construction.}
\begin{subparts}
% 1
\subpart Déterminer le nombre de personnes touchées par la maladie au bout de 15 jours de suivi de la propagation.
\begin{solution}
Au bout de 15 jours de suivi de la propagation, le nombre de personnes touchées par la maladie est d'environ $\boxed{\textcolor{red}{\np{16000}}}$ (voir traits de constructions en rouge sur l'annexe).
\end{solution}
% 1
\subpart Le conseil municipal a décidé de fermer les crèches de la ville lorsque plus de 12\% de la population est touchée par la maladie. Justifier qu'à partir de 15600 personnes contaminées, le conseil municipal ferme les crèches.
\begin{solution}
On calcule ce que représente 12\% de la population:
\begin{align*}
130 000 \times \frac{12}{100} = 15 600
\end{align*}
Comme la ville ferme les crèches lorsque plus de 12\% de la ville est touchée, elle ferme les crèches quand plus de \np{15600} personnes sont contaminées.
\end{solution}
% 1
\subpart Pendant combien de jours les crèches ont-elles été fermée?
\begin{solution}
Pour répondre à cette question, il faut déterminer quels sont les jours où la population touchée par la maladie est supérieur à \np{15600} (voir traits de construction en vert sur l'annexe). On peut lire sur le graphique, qu'entre le 13e jour et le 28e jour, il y a plus de \np{15600} personnes touchées, donc les crèches sont fermées pendant 15jours.
\end{solution}
% 1
\subpart Combien de personnes, au maximum, on été touchée par la maladie?
\begin{solution}
D'après le graphique (traits en jaune), au maximum de l'épidémie, il y eu \np{17000} personnes malades.
\end{solution}
\end{subparts}
\part
\begin{subparts}
% 1
\subpart Déterminer,pour tout réel $t$ de l'intervalle $\intFF{0}{40}$, l'expression de $f'(t)$, où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.
\begin{solution}
$f(t) = - 30t^2 + \numprint{1260}t +\numprint{4000}$ donc $f'(t)=-30\times 2t+\numprint{1260}$=\boxed{\textcolor{red}{-60t+\numprint{1260}}}.
\end{solution}
% 2
\subpart Étudier le signe de $f'(t)$ pour $t$ variant dans l'intervalle $\intFF{0}{40}$. En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
\begin{solution}
on étudie le signe de la dérivée:
\begin{align*}
f'(t) > 0 &\equiv -60t + 1260 > 0 \\
&\equiv -60t > -1260 \\
&\equiv t < \frac{-1260}{-60} & \mbox{On change le sens de l'inégalité car on a divisé par -60} \\
&\equiv t < 21
\end{align*}
Donc $f'(t)$ est positif quand $t$ est plus petit que 21.
%En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
Le tableau de variation de $f$ est donc
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=2]{$t$/1,Signe de $f'(t)$/1, Variations de $f(t)$/2}{0, 21, 40}
\tkzTabLine{, +, z, -, }
\tkzTabVar{-/{4000},+/{17230}, -/{6400}}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{solution}
% 1
\subpart Au bout de combien de jours de suivi de la propagation le nombre de personnes touchées par la maladie est-il maximal?\\
Combien y a-t-il alors de personnes touchées?
\begin{solution}
Le nombre de personnes touchées par la maladie est maximal \textbf{\textcolor{red}{au bout de 20 jours}}.
Le nombre de personnes touchées est alors de $\textcolor{red}{\np{16000}}$
\end{solution}
\end{subparts}
\end{parts}
\vfill
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
\tkzInit[xmin=0,xmax=40,
ymin=0,ymax=17500,
xstep=5,ystep=2500]
\tkzAxeX[thick, poslabel=right,label=]
\tkzAxeY[thick, poslabel=above,label=]
\tkzDrawX[label={\textit{Nombre de jours}},below= -12pt]
\tkzDrawY[label={\textit{Nombre de personnes touchées}}, below=-10pt]
\tkzGrid
\tkzFct[domain=0:40,color=blue, very thick]{-30*\x*\x + 1260*\x+4000}
\draw[color = red, very thick] (3,0) -- (3,6.45) -- (0,6.45)node [left] {$\approx 16 000$};
\draw[color = green, very thick] (0,6.24) node[left] {15600} -- (8,6.24);
\draw[color = green, very thick] (5.67,6.24) -- (5.67,0) node [above right] {$\approx 28$};
\draw[color = green, very thick] (2.72,6.24) -- (2.72,0) node [above left] {$\approx 14$};
\draw[color = yellow, very thick] (4.25, 0) node[above right] {$\approx 21$} -- (4.25, 6.89) node [above] {Maximum} -- (0, 6.89) node [left] {$\approx \np{17000}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\vfill
\pagebreak
\question
% Metropole juin 2014 exo 1
Un parc d'attractions est ouvert au public de 9~h à 21~h.
La courbe $C$ donnée ci-dessous représente l'évolution du nombre de visiteurs attendus durant une journée
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
\tkzInit[xmin=8,xmax=22,
ymin=0,ymax=500,
xstep=1,ystep=50]
\tkzAxeX[thick, poslabel=right,label=]
\tkzAxeY[thick, poslabel=above,label=]
\tkzDrawX[label={\textit{Heure de la journée}},below= -12pt]
\tkzDrawY[label={\textit{Nombre de visiteur}}, below=-10pt]
\tkzGrid
\tkzFct[domain=9:21,color=blue, very thick]{-8*\x*\x+232*\x -1282}
\end{tikzpicture}
\begin{parts}
\part
\begin{subparts}
\subpart Recopier le tableau suivant et le compléter avec la précision permise par le graphique ci-dessus.
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.55\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Heure de la journée&11 h&12 h\\ \hline
Nombre de visiteurs attendus &300&350\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\subpart Quel est le taux d'évolution, en pourcentage arrondi à 0,1\,\%, du nombre de visiteurs attendus entre 11 heures et 12 heures ?
\begin{solution}
Le taux d'évolution du nombre de visiteurs attendus entre 11 heures et 12 heures est :
\begin{eqnarray*}
\frac{350-300}{300}=\frac{50}{300}=\frac{1}{6}\approx \boxed{\textcolor{red}{16,7\:\%}}
\end{eqnarray*}
\end{solution}
\end{subparts}
\part Lorsque le nombre de visiteurs est supérieur ou égal à 300, un fond musical est diffusé par les haut-parleurs du parc.
Un touriste aimerait faire la visite en profitant du fond musical.
Quels horaires peut-on conseiller à ce touriste pour se rendre au parc d'attractions ?
\begin{solution}
Le nombre de visiteurs est supérieur à 300 entre 11 h et 18 h, donc le visiteur, s'il veut bénéficier d'un fond musical, doit venir \textbf{entre 11 h et 18 h}.
\end{solution}
\part La courbe $C$ ci-dessus est la représentation graphique sur l'intervalle [9~;~21] de la fonction $f$ définie par
\begin{align*}
f(x) = - 8x^2 + 232x - 1282
\end{align*}
\begin{subparts}
\subpart Déterminer les nombres de visiteurs attendus à 11~h et à 12~h.
\begin{solution}
$f(11)=302$ donc le nombre de visiteurs attendus à 11 h est de $\boxed{\textcolor{red}{302}}$.\\
$f(12)=350$ donc le nombre de visiteurs attendus à 12 h est de $\boxed{\textcolor{red}{350}}$\\
\end{solution}
Comment peut-on expliquer les éventuels écarts avec les résultats de la question 1. a. ?
\begin{solution}
Une lecture graphique est imprécise, ce qui explique la petite erreur sur le nombre de visiteurs à 11 h.
\end{solution}
\subpart Calculer $f'(x)$, où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$.
\begin{solution}
On dérive $f$
\begin{eqnarray*}
f'(x)&=&-8\times 2x+232=-16x+232
\end{eqnarray*}
\end{solution}
\subpart En déduire, par le calcul, l'heure à laquelle le nombre de visiteurs attendus est maximal, et donner la valeur de ce maximum.
\begin{solution}
\begin{align*}
f'(x) > 0 &\equiv -16x + 232 > 0\\
&\equiv -16x > -232 \\
&\equiv x < \frac{-232}{-16} & \mbox{ On change le sens de l'inégalité car on a divisé par -16} \\
&\equiv x < 14,5
\end{align*}
Donc $f'(x)$ est positif quand $x$ est plus petit que 14,5.
On en déduit le tableau de variation de $f$ :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=2]{$t$/1,Signe de $f'(t)$/1, Variations de $f(t)$/2}{9, 14.5, 21}
\tkzTabLine{, +, z, -, }
\tkzTabVar{-/{158},+/{400}, -/{62}}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\textbf{Le maximum de visiteurs est atteint à 14 h 30 et est de 400 visiteurs.}
\end{solution}
\end{subparts}
\end{parts}
\pagebreak
\question
% Antilles 2013 juin
Une entreprise possède une chaîne de fabrication capable de fabriquer en une semaine entre 6000 et 32000 pièces identiques. Le coût de fabrication, en euros, de $x$ milliers de pièces, pour $x$ compris entre $6$ et $32$, est noté $C(x)$ où $C$ est la fonction définie sur l'intervalle [6~;~32] par
\[C(x) = 2x^3 - 108x^2 + 5060 x - 4640.\]
La représentation graphique de la fonction $C$ est donnée en annexe.
Toutes les pièces produites sont vendues au prix de 3,5~\euro{} l'unité.
Pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [6~;~32], on note $R(x)$ le montant de la vente en euros de $x$ milliers de pièces. Le bénéfice $B(x)$, en euros, pour la production et la vente de $x$ milliers de pièces est
$B(x) = R(x) - C(x)$.
\bigskip
\begin{parts}
\part Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [6~;~32] : $R(x) = 3500x$.
\begin{solution}
Comme chaque pièce produites est vendue à 3,5\euro et que $x$ est en miliers de pièces, on en déduit $R(x) = 3,5 \times 1000\times x = 350x$.
\end{solution}
\part Représenter la fonction $R$ sur l'annexe, à remettre avec la copie.
\begin{solution}
En rouge sur l'annexe.
\end{solution}
\part Par lecture graphique, et avec la précision permise par celui-ci, répondre aux questions suivantes. On laissera apparents tous les tracés utiles aux lectures graphiques.
\begin{subparts}
\subpart Quel nombre de pièces produites correspond à un coût de 30000~\euro{} ?
\begin{solution}
Un coût de \np{30000}\euro correspond à 8 pièces produites.
\end{solution}
\subpart Quel nombre minimal de pièces fabriquées permet d'avoir un bénéfice positif ou nul ?
\begin{solution}
Le bénéfice est nul quand les courbes rouges et bleu se rencontrent. Ici, elles se rencontrent pour environ 18 pièces produites.
\end{solution}
\end{subparts}
\part Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [6~;~32] :
\[B(x)= - 2x^3 + 108x^2 - 1560x + 4640.\]
\begin{solution}
Pour calculer les bénéfices on utilise la formule \textbf{Bénéfices = Recettes - Coûts} donc
\begin{eqnarray*}
B(x) & = & R(x) - C(x) = 3500x - \left( 2x^3 - 108x^2 + 60x - 4640 \right) \\
& = & 3500x - 2x^3 + 108x^2 - 1560x + 4640 \\
& = & -2x^3 + 108x^2 - 1560x + 4640
\end{eqnarray*}
On retrouve bien la formule proposée dans l'énnoncé.
\end{solution}
\part On désigne par $B'$ la fonction dérivée de la fonction $B$.
\begin{subparts}
\subpart Calculer $B'(x)$.
\begin{solution}
On dérive $B$
\begin{eqnarray*}
B'(x) & = & -2\times 3 \times x^{3-1} + 108 \times 2 \times x^{2-1} - 1560 + 0 \\
& = & -6x^2 + 216x - 1560
\end{eqnarray*}
\end{solution}
\subpart Vérifier que $B'(x) = (- 6x + 60)(x - 26)$.
\begin{solution}
Pour répondre à cette question, on va développer l'expression proposée dans la question.
\begin{eqnarray*}
(-6x + 60)(x - 26) & = & -6x \times x - 6x\times (-26) + 60 \times x + 60 \times (-26) \\
& = & -6x^2 + 156x + 60x + 1560 \\
& = & -6x^2 + 216x + 1560 \\
& = & B'(x)
\end{eqnarray*}
\end{solution}
\end{subparts}
\part
\begin{subparts}
\subpart Étudier le signe de $B'(x)$ sur l'intervalle [6~;~32].
\begin{solution}
Comme $B'(x)$ est un polynôme du 2nd degré on utilise la méthode du discriminant:
\begin{eqnarray*}
\Delta & = & b^2 - 4ac = 216^2 - 4\times (-6) \times (-1560) = 9216
\end{eqnarray*}
Comme $\Delta$ est positif, il y a deux racines
\begin{eqnarray*}
x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-216 - \sqrt{9216}}{2\times (-6)} = 26 \\
x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-216 + \sqrt{9216}}{2\times (-6)} = 10
\end{eqnarray*}
Comme $a = -6$ négatif, on en déduit le tableau de signe de $B'$
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=2]{$x$/1,Signe de $B'(x)$/1}{6, 10, 26, 32}
\tkzTabLine{, -, z, +, z, -, }
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{solution}
\subpart En déduire le tableau de variation de la fonction B sur l'intervalle [6~;~32].
\begin{solution}
On déduit du tableau de signe trouvé à la question précédente le tableau de variation de $B$
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=2]{$x$/1,Signe de $B'(x)$/1, Variations de $B(x)$/2}{6, 10, 26, 32}
\tkzTabLine{, -, z, +, z, -,}
\tkzTabVar{+/{-1264},-/{-2160}, +/{1936}, -/{-224}}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{solution}
\end{subparts}
\part Quel est le bénéfice maximal réalisable par l'entreprise? Donner le nombre de pièces à produire réalisant ce maximum.
\begin{solution}
D'après le tableur de variations, le bénéfice maximal est de 1936 qui est atteind pour 26 000 pièces vendues.
\end{solution}
\end{parts}
%\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.0001cm}
%\begin{pspicture}(-2,-5000)(33,115000)
%\multido{\n=0+2}{17}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,115000)}
%\multido{\n=0+5000}{24}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(32,\n)}
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=10000]{->}(0,0)(-1.5,-5000)(33,115000)
%\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{6}{32}{x 3 exp 2 mul x dup mul 108 mul sub 5040 x mul add 4640 sub}
%\rput(30,95000){$y = C(x)$}\uput[dl](0,0){O}
%\end{pspicture}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
\tkzInit[xmin=0,xmax=32,
ymin=0,ymax=115000,
xstep=2,ystep=10000]
\tkzAxeX[thick, poslabel=right,label=]
\tkzAxeY[thick, poslabel=above,label=]
\tkzGrid
\tkzText[color=blue](30,95000){$y = C(x)$}
\tkzFct[domain=6:32,color=blue, very thick]{2*\x*\x*\x - 108*\x*\x + 5060*\x - 4640}
\tkzText[color=red](24,95000){$y = R(x)$}
\tkzFct[domain=6:32,color=red, very thick]{3500*\x}
\end{tikzpicture}
\end{questions}
\end{document}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End:

2
T_STMG/Revision/revision1/revision1_corr.tkzfct.gnuplot Normal file
View File

@@ -0,0 +1,2 @@
set table "revision1_corr.tkzfct.table"; set format "%.5f"
set samples 200.0; plot [x=3.000000000000000000:16.000000000000000000] (3500*(x*2))/10000

205
T_STMG/Revision/revision1/revision1_corr.tkzfct.table Normal file
View File

@@ -0,0 +1,205 @@
# Curve 0 of 1, 200 points
# Curve title: "(3500*(x*2))/10000"
# x y type
3.00000 2.10000 i
3.06533 2.14573 i
3.13065 2.19146 i
3.19598 2.23719 i
3.26131 2.28291 i
3.32663 2.32864 i
3.39196 2.37437 i
3.45729 2.42010 i
3.52261 2.46583 i
3.58794 2.51156 i
3.65327 2.55729 i
3.71859 2.60302 i
3.78392 2.64874 i
3.84925 2.69447 i
3.91457 2.74020 i
3.97990 2.78593 i
4.04523 2.83166 i
4.11055 2.87739 i
4.17588 2.92312 i
4.24121 2.96884 i
4.30653 3.01457 i
4.37186 3.06030 i
4.43719 3.10603 i
4.50251 3.15176 i
4.56784 3.19749 i
4.63317 3.24322 i
4.69849 3.28894 i
4.76382 3.33467 i
4.82915 3.38040 i
4.89447 3.42613 i
4.95980 3.47186 i
5.02513 3.51759 i
5.09045 3.56332 i
5.15578 3.60905 i
5.22111 3.65477 i
5.28643 3.70050 i
5.35176 3.74623 i
5.41709 3.79196 i
5.48241 3.83769 i
5.54774 3.88342 i
5.61307 3.92915 i
5.67839 3.97487 i
5.74372 4.02060 i
5.80905 4.06633 i
5.87437 4.11206 i
5.93970 4.15779 i
6.00503 4.20352 i
6.07035 4.24925 i
6.13568 4.29497 i
6.20101 4.34070 i
6.26633 4.38643 i
6.33166 4.43216 i
6.39698 4.47789 i
6.46231 4.52362 i
6.52764 4.56935 i
6.59296 4.61508 i
6.65829 4.66080 i
6.72362 4.70653 i
6.78894 4.75226 i
6.85427 4.79799 i
6.91960 4.84372 i
6.98492 4.88945 i
7.05025 4.93518 i
7.11558 4.98090 i
7.18090 5.02663 i
7.24623 5.07236 i
7.31156 5.11809 i
7.37688 5.16382 i
7.44221 5.20955 i
7.50754 5.25528 i
7.57286 5.30101 i
7.63819 5.34673 i
7.70352 5.39246 i
7.76884 5.43819 i
7.83417 5.48392 i
7.89950 5.52965 i
7.96482 5.57538 i
8.03015 5.62111 i
8.09548 5.66683 i
8.16080 5.71256 i
8.22613 5.75829 i
8.29146 5.80402 i
8.35678 5.84975 i
8.42211 5.89548 i
8.48744 5.94121 i
8.55276 5.98693 i
8.61809 6.03266 i
8.68342 6.07839 i
8.74874 6.12412 i
8.81407 6.16985 i
8.87940 6.21558 i
8.94472 6.26131 i
9.01005 6.30704 i
9.07538 6.35276 i
9.14070 6.39849 i
9.20603 6.44422 i
9.27136 6.48995 i
9.33668 6.53568 i
9.40201 6.58141 i
9.46734 6.62714 i
9.53266 6.67286 i
9.59799 6.71859 i
9.66332 6.76432 i
9.72864 6.81005 i
9.79397 6.85578 i
9.85930 6.90151 i
9.92462 6.94724 i
9.98995 6.99296 i
10.05528 7.03869 i
10.12060 7.08442 i
10.18593 7.13015 i
10.25126 7.17588 i
10.31658 7.22161 i
10.38191 7.26734 i
10.44724 7.31307 i
10.51256 7.35879 i
10.57789 7.40452 i
10.64322 7.45025 i
10.70854 7.49598 i
10.77387 7.54171 i
10.83920 7.58744 i
10.90452 7.63317 i
10.96985 7.67889 i
11.03518 7.72462 i
11.10050 7.77035 i
11.16583 7.81608 i
11.23116 7.86181 i
11.29648 7.90754 i
11.36181 7.95327 i
11.42714 7.99899 i
11.49246 8.04472 i
11.55779 8.09045 i
11.62312 8.13618 i
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