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\question
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\begin{center}
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\textbf{Durée : 10min \hspace{3cm} Thème : Ensembles}
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\end{center}
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Soit $\Omega$ l'univers et $A$ et $B$ deux évènements de $\Omega$ tels que $p(A) = 0.5$, $p(B) = 0.6$ et $p(A\cap B) = 0.3$.\\
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Calculer $p(\overline{A})$, $p(\overline{B})$ et $p(A\cup B)$.
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\question
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\begin{center}
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\textbf{Durée : 20min \hspace{3cm} Thème : Ensembles}
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\end{center}
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Soit $\Omega$ l'univers et $A$ et $B$ deux évènements de $\Omega$ tels que $p(A) = 0.7$, $p(B) = 0.3$ et $p(A\cup B) = 0.8$.\\
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\begin{parts}
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\part Calculer $p(\overline{A})$, $p(\overline{B})$ et $p(A\cap B)$.
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\part En déduire $p(\overline{A\cap B})$. faire un diagramme pour représenter $\overline{A\cap B}$.
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\end{parts}
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\question
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\begin{center}
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\textbf{Durée : 30min \hspace{3cm} Thème : Ensembles}
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\end{center}
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Le schéma suivant représente les défauts présent sur un ensemble de 300 voitures. Les effectifs de chaque groupe sont indiqués.
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On choisit au hasard une voiture parmi toutes ces voitures.
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On note $M$ et $P$ les événements:
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\begin{itemize}
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\item $M = \left\{ \mbox{ le moteur est cassé } \right\}$
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\item $P = \left\{ \mbox{ le pneu est crevé } \right\}$
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\end{itemize}
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\begin{center}
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\includegraphics[scale=0.3]{fig/patates_proba_2nd}
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\end{center}
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\begin{parts}
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\part Quelle est la probabilité d'avoir une voiture sans défauts?
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\part Décrire (en français) les ensembles suivants
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\begin{eqnarray*}
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M \cup P \qquad M \cup \overline{P} \qquad M \cap P \qquad \overline{M \cap P}
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\end{eqnarray*}
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\part Calculer la probabilité de $M$, $P$, $M\cap P$, $M \cup P$.
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\part En déduire la probabilité de $\overline{M \cap P}$;
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\end{parts}
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\question
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\begin{center}
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\textbf{Durée : 30min \hspace{3cm} Thème : Ensembles}
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\end{center}
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\begin{minipage}{0.5\textwidth}
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La mère de la famille Aguisou, fait le bilan de ce qu'il y a dans son caddie. Elle a acheté en tout 122 articles qu'elle a classés en fonction de 3 critères.
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\begin{itemize}
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\item $A = \left\{ \mbox{ l'article est de la nourriture } \right\}$
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\item $B = \left\{ \mbox{ l'article coûte plus de 20 \euro} \right\}$
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\item $C = \left\{ \mbox{ l'article a été choisi par sa fille Zoé } \right\}$
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\end{itemize}
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Ce bilan est représenté sur le diagramme ci-contre.
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.5\textwidth}
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\includegraphics[scale=0.3]{./fig/diag}
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\end{minipage}
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Vous répondrez aux questions suivantes en justifiant soit avec un calcul soit avec un diagramme soit avec les deux.
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\begin{parts}
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\part Les évènements $A \cup B$ et $A \cap C$ sont-ils disjoints?
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\part Décrire, en français, l'ensemble $\overline{ A \cup B}$ et colorier cet ensemble.
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\part Les ensembles $A \cap B$ et $C$ sont-ils disjoints?
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\part On choisit au hasard un article dans le caddie. Calculer la probabilité de $\overline{C} \cap B$.
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\end{parts}
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\question
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\begin{center}
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\textbf{Durée : 30min \hspace{3cm} Thème : Ensembles}
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\end{center}
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Lors d'un étude sur l'équipement des foyers français, 130 familles ont été interrogées.
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77 familles ont un appareil photo numérique, 100 un ordinateur portable et 26 familles n'ont rien.
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\begin{parts}
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\part Faire un diagramme pour représenter la situation.
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\part Combien de familles ont à la fois un appareil photo numérique et un ordinateur portable?
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\part On note $A = \left\{ \mbox{ a un appareil photo numérique } \right\}$ et $B = \left\{ \mbox{ a un ordinateur portable } \right\}$.
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\begin{subparts}
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\subpart Décrire en français l'ensemble $A\cup B$ et $A \cap B$. Refaire le diagramme, colorier l'ensemble $A\cap B$ et entourer l'ensemble $A \cup B$.
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\subpart On choisit au hasard une famille. Calculer $P(A)$, $P(A \cup B)$.
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\end{subparts}
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\end{parts}
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% Loi binomiale
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% -------------
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\question
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\begin{center}
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\textbf{Durée : 30min \hspace{3cm} Thème : Loi binomiale}
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\end{center}
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Les responsables des ressources humaines d'une grande entreprise a mené une étude sur l'absenteisme des employés. La probabilité qu'une employé soit absent un jour donné des $p=0,05$.
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Soit $X$ la variable aléatoire qui, à un employé choisi au hasard, associe le nombre de jours d'absence sur une période de 100jours. On supposera que sur cette période, être absent un jour $j$ n'infuence pas l'absence sur un autre jour.
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\begin{parts}
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\part Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
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\part Calculer les éléments suivants:
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\begin{subparts}
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\subpart La probabilité que l'employé n'ai jamais été absent ($P(X = 0)$).
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\subpart La probabilité que l'employé ai été absent moins de 2 jours ($P(X\leq 2)$)
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\subpart $P(X = 10)$, interpréter le résultat.
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\subpart $P(X \leq 5)$, interpréter le résultat.
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\subpart $P(X \geq 5)$, interpréter le résultat.
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\end{subparts}
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\part Calculer l'espérance de $X$. Interpréter ce résultat.
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\end{parts}
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\question
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\begin{center}
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\textbf{Durée : 30min \hspace{3cm} Thème : Loi binomiale}
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\end{center}
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Une entreprise produit en série des machines à café. Un atelier produit 2,5\% de machines défectueuses. On prélève au hasard, dans la production de l'atelier, un lot de 50 machines. La production est suffisement importante pour que ce prélèvement soit assimilé à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui à un prélèvement de 50 machines associe le nombre de machines défectueuses.
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\begin{parts}
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\part Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire, préciser ses paramètres. Justifier.
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\part Calculer les éléments suivants:
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\begin{subparts}
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\subpart La probabilité d'avoir 10 machines défectueuses.
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\subpart La probabilité d'avoir moins de 3 machines défectueuses.
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\subpart La probabilité d'avoir plus de 10 machines défectueuses.
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\end{subparts}
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\part Calculer l'espérance de $X$. Interpréter ce résultat.
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\end{parts}
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\question
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\begin{center}
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\textbf{Durée : 30min \hspace{3cm} Thème : Loi binomiale}
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\end{center}
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Une PME fabrique des bonbons. Dans ses stocks, il y a 67\% de bonbons jaunes et le reste est bleu.
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On prélève au hasard 15 bonbons. Le stocks est suffisement important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage sans remise.
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On concidère la variable aléatoire $X$ qui à un prélèvement associe le nombre de bonbons jaunes parmi les 15 bonbons tirés.
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\begin{parts}
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\part Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
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\part Calculer la probabilité qu'il y ait exactement 10 bonbons jaunes.
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\part Calculer la probabilité qu'il y ait au plus 13 bonbons jaunes.
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\part Calculer la probabilité qu'il y ait au moins 5 bonbons bleu.
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\part Calculer l'espérance de $X$. Interpréter ce résultat.
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\end{parts}
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