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\documentclass[a4paper,12pt, table]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/tools/style/classDS}
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\usepackage{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/2014_2015}
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% Title Page
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\titre{DM7}
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% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
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\classe{\premiereS}
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\date{28 mai 2015}
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%\duree{1 heure}
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\sujet{22}
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% DS DSCorr DM DMCorr Corr
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\typedoc{DM}
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%\printanswers
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\begin{document}
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\maketitle
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Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. Vous rendrez le sujet avec la copie.
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\begin{questions}
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\question
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\begin{parts}
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\part Dessiner un cercle trigonométrique et y placer les angles suivants (détailler les calculs si vous utilisez la mesure principale de l'angle)
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\begin{multicols}{2}
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\begin{parts}
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\part $\alpha = \frac{-4\pi}{6}$
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\part $\beta= \frac{9\pi}{6}$
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\part $\delta = \frac{-21\pi}{3}$
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\part $\sigma = \frac{34\pi}{3}$
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\end{parts}
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\end{multicols}
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\begin{solution}
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\begin{tikzpicture}
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\cercleTrigo
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\draw (-120.0:1) node[rotate = -120.0] {-} node[above] {$\alpha$};
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\draw (270.0:1) node[rotate = 270.0] {-} node[below] {$\beta$};
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\draw (-1260.0:1) node[rotate = -1260.0] {-} node[right] {$\delta$};
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\draw (2040.0:1) node[rotate = 2040.0] {-} node[left] {$\sigma$};
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\end{tikzpicture}
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\end{solution}
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\part On pose $||\vec{u}|| = 10 $, $||\vec{v}|| = 8 $ et $\vec{u}.\vec{v} = 24.0$ calculer les quantités suivantes
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\begin{multicols}{2}
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\begin{subparts}
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\subpart $(\vec{u} - 4 \vec{v})(\vec{v} + 4 \vec{u})$
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\subpart $||4\vec{u} - 4 \vec{v}||$
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\end{subparts}
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\end{multicols}
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\end{parts}
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\question
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\begin{parts}
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\part Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes
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% Il y aura toujours 2 racines
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% Il y aura toujours 2 racines
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% Il y aura toujours une valeur interdite à ajouter
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\begin{multicols}{3}
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\begin{subparts}
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\subpart $f:x \mapsto \dfrac{1}{- 4 x^{ 2 } + 3 x + 8}$
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\subpart $g:x\mapsto \dfrac{1}{- 2 \sqrt{x} + 9}$
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\subpart $h:x \mapsto \sqrt{- 2 x^{ 2 } - 10 x - 1}$
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\end{subparts}
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\end{multicols}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item
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On constate que $f$ est une fonction de la forme
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\begin{eqnarray*}
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f(x) = \frac{1}{u(x)} &\mbox{ avec }& u(x) = - 4 x^{ 2 } + 3 x + 8
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\end{eqnarray*}
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Comme $u(x)$ est un polynôme, son domaine de définition est $D_u = \R$. Il faut maintenant déterminer les valeurs de $x$ tels que $u(x) = 0$.
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On résout l'équation $- 4 x^{ 2 } + 3 x + 8 = 0$:
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On commence par calculer le discriminant de $P(x) = - 4 x^{ 2 } + 3 x + 8$.
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\begin{eqnarray*}
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\Delta & = & b^2-4ac \\
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\Delta & = & 3^{ 2 } - 4 -4 \times 8 \\
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\Delta & = & 9 - 4 \times ( -32 ) \\
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\Delta & = & 9 - ( -128 ) \\
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\Delta & = & 137
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\end{eqnarray*}
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comme $\Delta = 137 > 0$ donc $P$ a deux racines
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\begin{eqnarray*}
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x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{137}}{2 \times -4} = \frac{3}{8} + \frac{\sqrt{137}}{8} \\
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x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{137}}{2 \times -4} = - \frac{\sqrt{137}}{8} + \frac{3}{8}
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\end{eqnarray*}
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Les solutions de l'équation $- 4 x^{ 2 } + 3 x + 8 = 0$ sont donc $\mathcal{S} = \left\{ \frac{3}{8} + \frac{\sqrt{137}}{8}; - \frac{\sqrt{137}}{8} + \frac{3}{8} \right\}$
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Donc finalement, $f$ est définie sur $D_f = \R \backslash \left\{ \frac{3}{8} + \frac{\sqrt{137}}{8}, - \frac{\sqrt{137}}{8} + \frac{3}{8} \right\}$.
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\part Soit $f$ un fonction définie par
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\begin{eqnarray*}
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f:x\mapsto \frac{- 9 x^{ 2 } + 7 x + 9}{- 7 x + 6}
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\end{eqnarray*}
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\begin{subparts}
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\subpart Déterminer le domaine de définition de $f$
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\subpart Démontrer que la dérivé de $f$ est $f('x) = \dfrac{63 x^{ 2 } - 108 x + 105}{(- 7 x + 6)^2}$
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\subpart Étudier le signe de $f$.
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\subpart Calculer l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ (la courbe représentative de $f$) au point d'abscisse $x = 1$.
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\end{subparts}
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\end{parts}
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\question
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Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\N$ par
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\begin{eqnarray*}
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u_0 = 4 \hspace{2cm} u_{n+1} = 10 u_n + 7
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\end{eqnarray*}
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\begin{parts}
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\part Calculer les 4 premiers termes de la suite $(u_n)$.
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\part On pose $v_n = u_n + \frac{ 7 }{ 9 }$.
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\begin{subparts}
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\subpart Calculer les 4 premiers termes de la suite $(v_n)$
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\subpart Démontrer que $(v_n)$ est géométrique de raison $q = 10$.
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\subpart En déduire l'expression explicite de $(v_n)$.
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\subpart En déduire que l'expression explicite de $(u_n)$ est $u_n = \frac{ 43 }{ 9 } \times 10^{ n } + \frac{ -7 }{ 9 }$
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\end{subparts}
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\part Écrire un algorithme qui prend en argument un rang \texttt{n} et qui renvoie la la valeur de $v_n$ (vous ne pouvez pas utiliser la formule explicite)
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\part Écrire un algorithme qui prend en argument un rang \texttt{n} et qui renvoie la la valeur de $u_0 + u_1 +\cdots + u_n$ ( vous pouvez utiliser la formule explicite)
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\end{parts}
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\end{questions}
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\end{document}
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%%% TeX-master: "master"
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