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\documentclass[a4paper,10pt, table]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/tools/style/classDS}
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\usepackage{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/2014_2015}
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% Title Page
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\titre{4}
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% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
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\classe{\TSTMG}
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\date{06 mai 2015}
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\duree{1 heure}
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%\sujet{%{{infos.subj%}}}
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% DS DSCorr DM DMCorr Other
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\typedoc{DS}
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\begin{document}
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\maketitle
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Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
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\begin{questions}
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\question[20]
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\emph{Les parties A, B et C sont dans une large mesure indépendantes}
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\medskip
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On s'intéresse à la production d'acier par un fabricant donné. La production journalière varie entre 0 et 18 tonnes d'acier.
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\begin{EnvFullwidth}
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\textbf{Partie A : lecture graphique}
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\end{EnvFullwidth}
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La fonction $C$ représentée graphiquement ci-dessous donne le coût total de production en euros en fonction du nombre de tonnes d'acier produites par jour.
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
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\tkzInit[xmin=0,xmax=18,
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ymin=0,ymax=2500,
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xstep=2,ystep=500]
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\tkzAxeX[thick, poslabel=right,label=]
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\tkzAxeY[thick, poslabel=above,label=]
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\tkzDrawX[label={\textit{Nombre de tonnes d'acier produites par jour}},below= -12pt]
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\tkzDrawY[label={\textit{Coût en \euro}}, below=-10pt]
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\tkzGrid
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\tkzFct[domain=0:18,color=blue, very thick]{\x*\x*\x - 24*\x*\x+217*\x+200}
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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À l'aide de cette courbe, répondre aux questions suivantes avec la précision permise par le graphique :
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\begin{parts}
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\part Quel est le coût total de production pour 12 tonnes d'acier produites par jour ?
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\part Combien de tonnes d'acier sont produites par jour pour un coût total de production de 1600~\euro{} ?
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\begin{EnvFullwidth}
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\textbf{Partie B : étude du bénéfice}
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\end{EnvFullwidth}
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La fonction coût de la partie précédente est la fonction définie sur l'intervalle [0~;~18] par :
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\[C(x) = x^3 - 24x^2 + 217x + 200.\]
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On suppose que, chaque jour, tout l'acier est vendu, au prix de 100~\euro{} la tonne.
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\part
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\begin{subparts}
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\subpart Calculer la recette, en euros, réalisée pour la vente de 12 tonnes d'acier.
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\subpart On appelle $R(x)$ la recette, en euros, réalisée pour la vente de $x$ tonnes d'acier.
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Déterminer l'expression de $R(x)$ en fonction de $x$.
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\subpart On appelle $B(x)$ le bénéfice (éventuellement négatif), en euros, réalisé pour la vente de $x$ tonnes d'acier. Justifier que $B(x) = - x^3 + 24x^2 - 117x - 200$.
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\end{subparts}
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\part
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\begin{subparts}
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\subpart Déterminer une expression $B'(x)$ de la fonction dérivée de $B$ sur l'intervalle [0~;~18].
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\subpart Justifier le tableau de signes de $B'(x)$ suivant :
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}
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\tkzTabInit[espcl=2]{$x$/1,Signe de $B'(x)$/1}{0, 3, 13, 18}
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\tkzTabLine{, -, z, +, z, -, }
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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\subpart En déduire le tableau de variations complet de la fonction $B$.
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\end{subparts}
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\part On a préparé une feuille de calcul (voir fin du sujet) où figure le bénéfice total (en euros), en fonction de la quantité d'acier produite par jour.
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\begin{subparts}
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\subpart Proposer une formule à saisir dans la cellule B2 permettant, par recopie vers le bas, de compléter les cellules de B3 à B20.
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\subpart Proposer de même une formule à saisir dans la cellule D2, permettant, par recopie vers le bas, de compléter les cellules de D3 à D20.
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\end{subparts}
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\part Utiliser les résultats figurant dans la feuille de calcul pour répondre aux questions suivantes:
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\begin{subparts}
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\subpart Quelles sont les productions, en nombres entiers de tonnes, permettant au fabricant de faire du profit?
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\subpart Quelle est la quantité, en nombre entier de tonnes, qui assure un bénéfice total maximal ?
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\end{subparts}
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\part Répondre par \og Vrai\fg{} ou par \og Faux\fg{} aux affirmations suivantes, en justifiant votre choix :
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\begin{subparts}
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\subpart Plus la production d'acier est grande, plus le bénéfice est grand.
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\subpart Si la production est doublée, le bénéfice total est également doublé.
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\end{subparts}
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\end{parts}
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\vfill
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\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\columncolor{lightgray}}c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
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\rowcolor[gray]{0.7}& A &B &C &D\\ \hline
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1&\small Tonnes d'acier par jour&\small Recette&\small Coût&\small Bénéfice total en \euro\\ \hline
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2 &0 &0 &200 &- 200\\ \hline
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3 &1 &100 &394 &- 294\\ \hline
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4 &2 &200 &546 &- 346\\ \hline
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5 &3 &300 &662 &- 362\\ \hline
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6 &4 &400 &748 &- 348\\ \hline
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7 &5 &500 &810 &- 310\\ \hline
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8 &6 &600 &854 &- 254 \\ \hline
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9 &7 &700 &886 &- 186\\ \hline
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10 &8 &800 &912 &- 112\\ \hline
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11 &9 &900 &938 &- 38\\ \hline
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12 &10 &\np{1000} &970 &30\\ \hline
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13 &11 &\np{1100} &\np{1014} &86\\ \hline
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14 &12 &\np{1200} &\np{1076} &124\\ \hline
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15 &13 &\np{1300} &\np{1162} &138\\ \hline
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16 &14 &\np{1400} &\np{1278} &122\\ \hline
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17 &15 &\np{1500} &\np{1430} &70\\ \hline
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18 &16 &\np{1600} &\np{1624} &- 24\\ \hline
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19 &17 &\np{1700} &\np{1866} &- 166\\ \hline
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20 &18 &\np{1800} &\np{2162} &- 362\\ \hline
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\end{tabularx}
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\vfill
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\end{questions}
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\end{document}
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