2014-2015/1S/DM/DM_0528/25_DM_0528.tex

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% Title Page
\titre{DM7}
% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
\classe{\premiereS}
\date{28 mai 2015}
%\duree{1 heure}
\sujet{25}
% DS DSCorr DM DMCorr Corr
\typedoc{DM}

%\printanswers

\begin{document}

\maketitle

Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. Vous rendrez le sujet avec la copie.

\begin{questions}
    \question 
    \begin{parts}
        \part Dessiner un cercle trigonométrique et y placer les angles suivants (détailler les calculs si vous utilisez la mesure principale de l'angle)
        \begin{multicols}{2}
            \begin{parts}
                
                
                \part $\alpha = \frac{18\pi}{6}$
                
                
                \part $\beta= \frac{1\pi}{4}$
                
                
                \part $\delta = \frac{29\pi}{3}$
                
                
                \part $\sigma = \frac{12\pi}{3}$
            \end{parts}
        \end{multicols}
        \begin{solution}
            \begin{tikzpicture}
                \cercleTrigo
                \draw (540.0:1) node[rotate = 540.0] {-} node[above] {$\alpha$};
                \draw (45.0:1) node[rotate = 45.0] {-} node[below] {$\beta$};
                \draw (1740.0:1) node[rotate = 1740.0] {-} node[right] {$\delta$};
                \draw (720.0:1) node[rotate = 720.0] {-} node[left] {$\sigma$};

                
            \end{tikzpicture}
            
        \end{solution}

        
        
        \part On pose $||\vec{u}|| = 1 $, $||\vec{v}|| = 3 $ et $\vec{u}.\vec{v} = -0.9$ calculer les quantités suivantes
        
        \begin{multicols}{2}
        \begin{subparts}
            \subpart $(\vec{u} - 2 \vec{v})(\vec{v} + 10 \vec{u})$
            \subpart $||10\vec{u} - 2 \vec{v}||$
        \end{subparts}
            
        \end{multicols}
        
    \end{parts}

    \question

    

    \begin{parts}
         \part Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes
         % Il y aura toujours 2 racines
         
         % Il y aura toujours 2 racines
         
         % Il y aura toujours une valeur interdite à ajouter
         
         \begin{multicols}{3}
             \begin{subparts}
                 \subpart $f:x \mapsto \dfrac{1}{x^{  2 } - 7 x + 3}$
                 \subpart $g:x\mapsto \dfrac{1}{- 3 \sqrt{x} + 2}$
                 \subpart $h:x \mapsto \sqrt{9 x^{  2 } - x - 7}$
             \end{subparts}
         \end{multicols}
         \begin{solution}
             \begin{enumerate}
                 \item 
                 On constate que $f$ est une fonction de la forme
                 \begin{eqnarray*}
                     f(x) = \frac{1}{u(x)} &\mbox{ avec }& u(x) = x^{  2 } - 7 x + 3
                 \end{eqnarray*}
                 Comme $u(x)$ est un polynôme, son domaine de définition est $D_u = \R$. Il faut maintenant déterminer les valeurs de $x$ tels que $u(x) = 0$.

                 On résout l'équation $x^{  2 } - 7 x + 3 = 0$:
                  

    On commence par calculer le discriminant de $P(x) = x^{  2 } - 7 x + 3$.
    \begin{eqnarray*}
        \Delta & = & b^2-4ac \\
        \Delta & = & ( -7 )^{  2 } - 4 \times 1 \times 3 \\ 
\Delta & = & 49 - 4 \times 3 \\ 
\Delta & = & 49 - 12 \\ 
\Delta & = & 37
    \end{eqnarray*}

    
    comme $\Delta = 37 > 0$ donc $P$ a deux racines

    \begin{eqnarray*}
        x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} =  \frac{-7 - \sqrt{37}}{2 \times 1} = - \frac{\sqrt{37}}{2} + \frac{7}{2} \\
        x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} =  \frac{-7 + \sqrt{37}}{2 \times 1} = \frac{\sqrt{37}}{2} + \frac{7}{2}
    \end{eqnarray*}

    Les solutions de l'équation $x^{  2 } - 7 x + 3 = 0$ sont donc $\mathcal{S} = \left\{ - \frac{\sqrt{37}}{2} + \frac{7}{2}; \frac{\sqrt{37}}{2} + \frac{7}{2} \right\}$

    



                  Donc finalement, $f$ est définie sur $D_f = \R \backslash \left\{ - \frac{\sqrt{37}}{2} + \frac{7}{2}, \frac{\sqrt{37}}{2} + \frac{7}{2} \right\}$.

             \end{enumerate}
         \end{solution}
         \part Soit $f$ un fonction définie par
         
         

         \begin{eqnarray*}
             f:x\mapsto  \frac{- 2 x^{  2 } + 9 x - 7}{4 x + 1}
         \end{eqnarray*}
         \begin{subparts}
             \subpart Déterminer le domaine de définition de $f$
             
             \subpart Démontrer que la dérivé de $f$ est $f('x) = \dfrac{- 8 x^{  2 } - 4 x + 37}{(4 x + 1)^2}$
             \subpart Étudier le signe de $f$.
             \subpart Calculer l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ (la courbe représentative de $f$) au point d'abscisse $x = 1$.
         \end{subparts}
         
    \end{parts}


    \question
    
    
    
    Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\N$ par 
    \begin{eqnarray*}
        u_0 = -10 \hspace{2cm} u_{n+1} = 9 u_n - 10
    \end{eqnarray*}
    \begin{parts}
        \part Calculer les 4 premiers termes de la suite $(u_n)$.
        
        
        \part On pose $v_n = u_n - \frac{ 5 }{ 4 }$.
        \begin{subparts}
            \subpart Calculer les 4 premiers termes de la suite $(v_n)$
            \subpart Démontrer que $(v_n)$ est géométrique de raison $q = 9$.
            \subpart En déduire l'expression explicite de $(v_n)$.
            
            \subpart En déduire que l'expression explicite de $(u_n)$ est $u_n = \frac{ -45 }{ 4 } \times 9^{  n } + \frac{ 5 }{ 4 }$
        \end{subparts}
        \part Écrire un algorithme qui prend en argument un rang \texttt{n} et qui renvoie la la valeur de $v_n$ (vous ne pouvez pas utiliser la formule explicite)
        \part Écrire un algorithme qui prend en argument un rang \texttt{n} et qui renvoie la la valeur de $u_0 + u_1 +\cdots + u_n$ ( vous pouvez utiliser la formule explicite)
    \end{parts}

\end{questions}
    
\end{document}

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%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End: