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\documentclass[a4paper,10pt]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/tools/style/classCours}
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\usepackage{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/2014_2015}
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% Title Page
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\titre{Variable aléatoire}
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% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
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\classe{\premiereS}
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\date{Septembre 2014}
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\begin{document}
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\maketitle
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\section{Variable aléatoire}
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\begin{Def}
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Soit $\Omega$ l'univers d'une expérience aléatoire.
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Définir une variable aléatoire $X$ sur $\Omega$, c'est associer à chacune des issues de $\Omega$ un réel.
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\end{Def}
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\begin{Ex}
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On tire au hasard une boule dans une urne constituée de 3 boules bleu, 5 boules verte, 9 boules jaune et 1 boule rouge.
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\begin{itemize}
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\item Une boule bleu rapporte 10
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\item Une boule verte rapporte 1
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\item Une boule jaune rapporte 1
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\item Une boule rouge rapporte -4
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\end{itemize}
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On fait le dessin
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\end{Ex}
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\begin{Def}
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Soit $X$ une variable aléatoire. Définir une loi de probabilité de $X$ c'est associer à chacune des valeurs prise par $X$ un nombre $P(X=x)$ compris entre 0 et 1 tel que la somme de tous ces nombres soit égale à 1.
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\end{Def}
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\begin{Ex}
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Loi de probabilité pour l'exemple en question.
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Représentation graphique de la loi -> diagramme bâtons
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\end{Ex}
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\begin{Def}
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\begin{itemize}
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\item L'évènement $\left\{ X = x \right\}$, où $x$ est un réel, est l'ensemble des issues de $\Omega$ auxquels ont a associé la valeur $x$.
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\item L'évènement $\left\{ X \geq x \right\}$, où $x$ est un réel, est l'ensemble des issues de $\Omega$ auxquels ont a associé une valeur supérieur ou égale à $x$.
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\item L'évènement $\left\{ X \leq x \right\}$, où $x$ est un réel, est l'ensemble des issues de $\Omega$ auxquels ont a associé une valeur supérieur ou égale à $x$.
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\end{itemize}
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\end{Def}
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\begin{Ex}
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On reprend l'exemple en détaillant quelques évènements et les probabilités associées.
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\end{Ex}
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\section{Espérance, variance et écart-type}
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\begin{Ex}
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Activité autour des barèmes d'un QCM.
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\end{Ex}
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\begin{Def}
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Soit $X$ une variable aléatoire de loi de probabilité
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\begin{center}
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\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
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\hline
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Valeurs & $x_1$ & $x_2$ & ... & $x_n$ \\
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|
\hline
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Proba & $p_1$ & $p_2$ & ... & $p_n$ \\
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\hline
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\end{tabular}
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\end{center}
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\textbf{L'espérance} de $X$ est la moyenne des gains pondérées par leur probabilité. Elle se calcule de la manière suivante
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\begin{eqnarray*}
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E[X] & = & x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i
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\end{eqnarray*}
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\end{Def}
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\begin{Ex}
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|
Exemple de calcul simple
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\end{Ex}
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\begin{Rmq}
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Gain espérable si l'on joue de nombreuse fois.
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\end{Rmq}
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\begin{Def}
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Un jeu aléatoire est dit \textbf{équitable} quand son espérance est nulle.
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\end{Def}
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\begin{Def}
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Soit $X$ une variable aléatoire de loi de probabilité
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\begin{center}
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\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
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|
\hline
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Valeurs & $x_1$ & $x_2$ & ... & $x_n$ \\
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|
\hline
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|
Proba & $p_1$ & $p_2$ & ... & $p_n$ \\
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|
\hline
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|
\end{tabular}
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\end{center}
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\textbf{La variance} de $X$ est le nombre réel
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\begin{eqnarray*}
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V(X) & = & \sum_{i=1}^{n} (x_i - E[X])^2 \times p_i
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\end{eqnarray*}
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\textbf{L'écart type} de $X$ est le nombre réel
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\begin{eqnarray*}
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\sigma(X) & = & \sqrt{V(X)}
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\end{eqnarray*}
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\end{Def}
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\begin{Prop}
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\begin{eqnarray*}
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V(X) & = & E[(x-E[X])^2] \\
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V(X) & = & E[X^2] - E[X]^2
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|
\end{eqnarray*}
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\end{Prop}
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\begin{Demo}
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.
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|
\end{Demo}
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\begin{Prop}
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Soient $a$ et $b$ deux réels, alors
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\begin{eqnarray*}
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E[aX+b] & = & aE[X] + b \\
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|
V(aX) & = & a^2 V(X)
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|
\end{eqnarray*}
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|
\end{Prop}
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\begin{Demo}
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|
.
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|
\end{Demo}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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