269 lines
11 KiB
TeX
269 lines
11 KiB
TeX
\documentclass[a4paper,10pt, table]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/tools/style/classDS}
|
|
\usepackage{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/2014_2015}
|
|
\usepackage{multicol}
|
|
|
|
% Title Page
|
|
\titre{7}
|
|
% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
|
|
\classe{\seconde}
|
|
\date{8 avril 2015}
|
|
\duree{1 heure}
|
|
%\sujet{%{{infos.subj%}}}
|
|
% DS DSCorr DM DMCorr Corr
|
|
\typedoc{DS}
|
|
|
|
\printanswers
|
|
|
|
\begin{document}
|
|
\maketitle
|
|
|
|
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
|
|
|
|
\begin{questions}
|
|
|
|
\question[8]
|
|
\begin{parts}
|
|
\part Développer puis réduire les expressions suivantes
|
|
\begin{multicols}{2}
|
|
\begin{subparts}
|
|
\subpart $A = 4x(5x - 1)$
|
|
\begin{solution}
|
|
\begin{align*}za
|
|
A &= 4x(5x - 1) \\
|
|
A &= 4x \times 5x + 4x \times (-1) \\
|
|
A &= 20x^2 - 4x
|
|
\end{align*}
|
|
\end{solution}
|
|
|
|
\columnbreak
|
|
|
|
\subpart $B = 4(1+x)^2 + 2(x+1) - 1$
|
|
\begin{solution}
|
|
\begin{align*}
|
|
B &= 4(1+x)^2 + 2(x+1) - 1 \\
|
|
B &= 4(1 + 2x + x^2) + 2x + 2 - 1 \\
|
|
B &= 4 + 4\times 2x + 4x^2 + 2x + 1 \\
|
|
B &= 4x^2 + 8x + 2x + 4 + 1 \\
|
|
B &= 4x^2 + 10x + 5
|
|
\end{align*}
|
|
\end{solution}
|
|
\end{subparts}
|
|
\end{multicols}
|
|
\part Factoriser l'expression suivante
|
|
$C = 5x - 3x^2$
|
|
\begin{solution}
|
|
\begin{align*}
|
|
C &= 5x - 3x^2 \\
|
|
C &= x (5 - 3x)
|
|
\end{align*}
|
|
\end{solution}
|
|
%\subpart $D = 16x^2 - 24x + 9$
|
|
%\begin{solution}
|
|
% \begin{align*}
|
|
% B &= 16x^2 - 24x + 9 \\
|
|
% B &= (4x - 3)^2
|
|
% \end{align*}
|
|
%\end{solution}
|
|
\part Résoudre les équations suivantes
|
|
\begin{multicols}{2}
|
|
\begin{subparts}
|
|
\subpart $-3x + 2 = 0$
|
|
\begin{solution}
|
|
\begin{align*}
|
|
& -3x + 2&=&0 \\
|
|
\equiv & -3x + 2 - 2 &=& 0 - 2 \\
|
|
\equiv & -3x &=& -2 \\
|
|
\equiv & \frac{-3x}{-3} &=& \frac{-2}{-3} \\
|
|
\equiv & x &=& \frac{2}{3}
|
|
\end{align*}
|
|
Donc la solution est $\mathcal{S} = \left\{ \frac{2}{3} \right\}$
|
|
\end{solution}
|
|
\columnbreak
|
|
\subpart $(4x - 1)(9x + 18) = 0$
|
|
\begin{solution}
|
|
On sépare l'équation en deux équations
|
|
\begin{align*}
|
|
4x - 1 = 0 & \mbox{ ou } & 9x + 18 = 0 \\
|
|
4x = 1 & \mbox{ ou } & 9x = -18 \\
|
|
x = \frac{1}{4} & \mbox{ ou } & x = \frac{-18}{9} = -2 \\
|
|
\end{align*}
|
|
Les solutions sont $\mathcal{S} = \left\{ -2 ; \frac{1}{4} \right\}$
|
|
\end{solution}
|
|
\end{subparts}
|
|
\end{multicols}
|
|
\part Tracer le tableau de signe de la fonction suivante
|
|
\begin{eqnarray*}
|
|
f(x) = -2x + 100
|
|
\end{eqnarray*}
|
|
\begin{solution}
|
|
On commence par chercher les valeurs de $x$ telles que $f(x)$ est positif
|
|
\textit{(On a divisé par -2, on a changé le sens de l'inégalité)} \\
|
|
Donc $f(x)$ est positif quand $x$ est inférieur à 50
|
|
On en déduit le tableau de signe de $f$
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\tkzTabInit[espcl=2]%
|
|
{$x$/1, Signe de $f$/2}%
|
|
{$-\infty$, $50$ , $+\infty$}
|
|
\tkzTabLine{, +, z , -,}
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
\end{solution}
|
|
%\subpart $g(x) = 100 x + 50$
|
|
%\begin{solution}
|
|
% On commence par chercher les valeurs de $x$ telles que $g(x)$ est positif
|
|
% \begin{align*}
|
|
% &f(x) > 0 \\
|
|
% \equiv & 100x + 50 > 0 \\
|
|
% \equiv & 100x + 50 -50 > 0 - 50 \\
|
|
% \equiv & 100x > -50 \\
|
|
% \equiv & \frac{100x}{100} > \frac{-50}{100} \\
|
|
% \equiv & x > -2
|
|
% \end{align*}
|
|
% \textit{(On a divisé par 100, on n'a pas changé le sens de l'inégalité)} \\
|
|
% Donc $f(x)$ est positif quand $x$ est supérieur à -2
|
|
% On en déduit le tableau de signe de $f$
|
|
% \begin{center}
|
|
% \begin{tikzpicture}
|
|
% \tkzTabInit[espcl=2]%
|
|
% {$x$/1, Signe de $f$/2}%
|
|
% {$-\infty$, $-2$ , $+\infty$}
|
|
% \tkzTabLine{, -, z , +,}
|
|
% \end{tikzpicture}
|
|
% \end{center}
|
|
%\end{solution}
|
|
\end{parts}
|
|
|
|
\question[4]
|
|
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par
|
|
\begin{eqnarray*}
|
|
f(x)= (2x + 5)(1 - x)
|
|
\end{eqnarray*}
|
|
\begin{parts}
|
|
\part Calculer $f(-1)$ et $f(2)$.
|
|
\begin{solution}
|
|
\begin{align*}
|
|
f(-1) = (2\times (-1) + 5)(1 - (-1)) = (-2 + 5)(1 + 1) = 3\times 2 = 6 \\
|
|
f(2) = (2\times 2 + 5)(1-2) = 9\times (-1) = -9
|
|
\end{align*}
|
|
\end{solution}
|
|
\part Développer $f$
|
|
\begin{solution}
|
|
\begin{align*}
|
|
f(x) &= (2x + 5)(1 - x) \\
|
|
&= 2x \times 1 + 2x \times (-x) + 5\times 1 + 5 \times (-x) \\
|
|
&= 2x -2x^2 + 5 -5x \\
|
|
&= -2x^2 - 3x + 5
|
|
\end{align*}
|
|
\end{solution}
|
|
\part Résoudre l'équation $f(x) = 5$ \textit{(Astuce: passer par la forme développée)}
|
|
\begin{solution}
|
|
\begin{align*}
|
|
f(x) = 5 &\equiv -2x^2-3x + 5 = 5 \\
|
|
&\equiv -2x^2 - 3x + 5 - 5 = 5 - 5 \\
|
|
&\equiv -2x^2 -3x = 0 \\
|
|
&\equiv x(-2x - 3) = 0 \\
|
|
&\equiv x = 0 \mbox{ ou } -2x - 3 = 0 \\
|
|
&\equiv x = 0 \mbox{ ou } 2x = 3 \\
|
|
&\equiv x = 0 \mbox{ ou } x = \frac{3}{2}
|
|
\end{align*}
|
|
Donc les solutions de cette équation sont $\mathcal{S} = \left\{ 0; \frac{3}{2} \right\}$.
|
|
\end{solution}
|
|
% \part Tracer le tableau de signe de $f$.
|
|
% \begin{solution}
|
|
% Tableau de signe de $f$
|
|
% \begin{multicols}{2}
|
|
% On cherche les valeurs de $x$ telles que $2x + 5$ soit positif
|
|
% \begin{align*}
|
|
% 2x + 5 &>& 0 \\
|
|
% 2x &>& -4 \\
|
|
% x &>& \frac{-4}{2} = -2
|
|
% \end{align*}
|
|
% \textit{(On a divisé par 2, on n'a pas changé le sens de l'inégalité)}\\
|
|
% $2x + 5$ est positif quand $x$ est supérieur à -2
|
|
% \columnbreak
|
|
% On cherche les valeurs de $x$ telles que $1-x$ soit positif
|
|
% \begin{align*}
|
|
% 1-x &>& 0 \\
|
|
% -x &>& -1 \\
|
|
% x &<& 1
|
|
% \end{align*}
|
|
% \textit{(On a divisé par -1, on a changé le sens de l'inégalité)}\\
|
|
% $1-x$ est positif quand $x$ est inférieur à 1
|
|
% \end{multicols}
|
|
% On en déduit le tableau de signe de $f$
|
|
% \begin{center}
|
|
% \begin{tikzpicture}
|
|
% \tkzTabInit[espcl=2]%
|
|
% {$x$/1,Signe de $2x+5$/2, Signe de $1-x$/2, Signe de $f$/2}%
|
|
% {$-\infty$, $-2$ ,$1$, $+\infty$}
|
|
% \tkzTabLine{, -, z,+ ,t, +,}
|
|
% \tkzTabLine{, +, t,+ ,z, -,}
|
|
% \tkzTabLine{, -, z,+ ,z, -,}
|
|
% \end{tikzpicture}
|
|
% \end{center}
|
|
% \end{solution}
|
|
% \part Résoudre l'inéquation $f(x) \geq 0$.
|
|
% \begin{solution}
|
|
% Les solutions de cette inéquations se trouvent là où il y a des $+$ dans le tableau de signe. Donc $\mathcal{S} = \intFF{-2}{1}$.
|
|
% \end{solution}
|
|
\end{parts}
|
|
|
|
\question[5]
|
|
Le taux de réussite au Bac STMG en France en 2012 a été de 67,3\%. On s'intéresse à une classe de 35 élèves.
|
|
\begin{parts}
|
|
\part Quel est l'échantillon étudié? Quelle est sa taille?
|
|
\begin{solution}
|
|
L'échantillon est la classe de stmg. Ça taille est de 35 élèves.
|
|
\end{solution}
|
|
\part Dans au moins 95\% des cas, dans quelle intervalle le taux de réussite de cette classe se trouvera-t-il?
|
|
\begin{solution}
|
|
On calcule l'intervalle de fluctuation
|
|
\begin{align*}
|
|
I_f = \intFF{p - \frac{1}{\sqrt{n}}}{p + \frac{1}{\sqrt{n}}} = \intFF{0,673 - \frac{1}{\sqrt{35}}}{0,673 + \frac{1}{\sqrt{35}}} = \intFF{0,50}{0,84}
|
|
\end{align*}
|
|
\end{solution}
|
|
\part Semble-t-il possible que 80\% de la classe ait son bac?
|
|
\begin{solution}
|
|
Si $\hat{p} = 0,8$ alors on a bien $\hat{p} \in \intFF{0,50}{0,84}$. Il semble donc possible que 80\% de la classe ait son bac.
|
|
\end{solution}
|
|
%\part On s'intéresse maintenant à l'ensemble des élèves en STMG du lycée c'est à dire 92 élèves.
|
|
%\begin{subparts}
|
|
% \subpart Dans au moins 95\% des cas, dans quelle intervalle le taux de réussite du lycée se trouvera-t-il?
|
|
% \subpart Semble-t-il possible que 80\% du lycée ait son bac?
|
|
%\end{subparts}
|
|
\end{parts}
|
|
|
|
|
|
\question[3]
|
|
% Échantillonnage
|
|
Après plusieurs années d'expérience, M.Qualcultou estime qu'un élève est en retard avec probabilité $p = 0,05$.
|
|
|
|
Un de ses élèves, Antoine Laivepato, est arrivé 30 fois en retard sur les 160 jours de cours. Inquiet, M.Qualcultou cherche a savoir si le comportement d'Antoine est "normal".
|
|
\begin{parts}
|
|
\part Est-ce que M.Qualcultou peut utiliser le théorème de l'intervalle de fluctuation? Justifier
|
|
\begin{solution}
|
|
Pour utiliser le théorème de l'intervalle de fluctuation il faut que
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item $n > 25$
|
|
\item $0,2 < p < 0,8$
|
|
\end{itemize}
|
|
Ici $n = 160$ donc la première condition est vérifiée et $p = 0,05$ la deuxième condition n'est pas vérifiée. On ne peut donc pas utiliser le théorème de l'intervalle de fluctuation.
|
|
\end{solution}
|
|
|
|
\textit{Si vous estimez qu'il ne peut pas, ne répondez pas aux questions qui suivent.}
|
|
|
|
\part Calculez l'intervalle de fluctuation.
|
|
\part Pensez vous que le comportement d'Antoine est normal?
|
|
\end{parts}
|
|
|
|
\end{questions}
|
|
|
|
\end{document}
|
|
|
|
%%% Local Variables:
|
|
%%% mode: latex
|
|
%%% TeX-master: "master"
|
|
%%% End:
|
|
|