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\Block{set GI = randint(5, 15)}
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\Block{set HI = randint(1, GI-1)}
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\Block{set EG = randint(1, GI-1)}
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Sur la figure suivante, $GI = \Var{GI}cm$, $HI = \Var{HI}cm$ et $EG = \Var{EG}cm$.
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\includegraphics[scale=0.8]{./fig/fig_exo_geo}
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Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis au centième.
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\begin{parts}
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\part Calculer la mesure de l'angle $\widehat{IGH}$.
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\begin{solution}
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On sait que le triangle $HIG$ est rectangle en $H$ donc
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\Block{set IGH = round(asin(HI/GI), 2)}
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\begin{align*}
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\sin( \widehat{IGH} ) &= \frac{HI}{GI} = \frac{\Var{HI}}{\Var{GI}} \approx \Var{(HI/GI)|round(2)}\\
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\widehat{IGH} &= \sin^{-1}(\Var{(HI/GI)|round(2)}) = \Var{IGH}
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\end{align*}
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Donc $\widehat{IGH} = \Var{IGH}$
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\end{solution}
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\part En déduire la mesure de l'angle $\widehat{EGF}$.
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\begin{solution}
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On remarque que les angles $\widehat{IGH}$ et $\widehat{EGF}$ sont alternes-internes. Ils ont donc la même mesure. Donc
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\begin{align*}
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\widehat{EGF} = \widehat{IGH} = \Var{IGH}
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\end{align*}
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\end{solution}
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\part Calculer la longueur $FG$.
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\begin{solution}
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On sait que le triangle $EFG$ est rectangle en $E$ donc
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\Block{set FG = (EG / cos(IGH)) | round(2)}
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\begin{align*}
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\cos(\widehat{EGF}) &= \frac{EG}{FG} \\
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\cos(\Var{IGH}) &= \frac{\Var{EG}}{FG} \\
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\Var{(cos(IGH)) | round(2)} &= \frac{\Var{EG}}{FG} \\
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FG &= \frac{\Var{EG}}{\Var{(cos(IGH))| round(2)}} = \Var{FG}
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\end{align*}
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\end{solution}
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\part Calculer de deux manières différentes la longueur $FE$.
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\begin{solution}
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Il existe en fait 3 méthodes pour calculer $GF$:
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\begin{enumerate}
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\item \underline{Avec les formules trigonométriques}
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On sait que $EGF$ est un triangle rectangle en $E$ donc
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\begin{align*}
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\tan(\widehat{EGF}) &= \frac{EF}{EG} \\
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\tan(\Var{IGH}) &= \frac{EF}{\Var{EG}} \\
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\Var{tan(IGH)} &= \frac{EF}{\Var{EG}} \\
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EF = \Var{tan(IGH)|round(2)} \times \Var{EG} = \Var{(tan(IGH)*EG) | round(2)}
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\end{align*}
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\item \underline{Avec le théorème de Pythagore}
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On sait que $EGF$ est un triangle rectangle en $E$ donc d'après le théorème de Pythagore on a
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\Block{set EF2 = FG**2 - EG**2}
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\Block{set EF = sqrt(EF2) | round(2)}
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\begin{align*}
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FG^2 &= EG^2 + EF^2 \\
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\Var{FG}^2 &= \Var{EG}^2 + EF^2 \\
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\Var{FG**2} &= \Var{EG**2} + EF^2 \\
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EF^2 &= \Var{FG**2} - \Var{EG**2} = \Var{EF2} \\
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EF &= \sqrt{\Var{EF2}} = \Var{EF}
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\end{align*}
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\item \underline{Avec le théorème de Thalès}
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Comme $(EF)$ et $(HI)$ sont perpendiculaires à $(EH)$, $(EF)$ et $(HI)$ sont parallèles.
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De plus on remarque que $E$, $G$ et $H$ sont alignés ainsi que $F$, $G$ et $I$.
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Donc d'après le théorème de Thalès, le tableau suivant est un tableau de proportionnalité
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\begin{center}
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\begin{tabular}{|c|*{3}{c|}}
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\hline
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Triangle $EFG$ & $EG = \Var{EG}$ & $EF$ & $FG = \Var{FG}$ \\
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\hline
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Triangle $GIH$ & $HG$ & $HI = \Var{HI}$ & $GI = \Var{GI}$\\
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\hline
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\end{tabular}
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\end{center}
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Donc avec un produit en croix, on obtient
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\begin{align*}
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EF = \frac{HI \times FG}{GI} = \frac{\Var{HI} \times \Var{FG}}{\Var{GI}} = \Var{(HI*FG/GI) | round(2)}
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\end{align*}
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\end{parts}
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