2019-2020/Tsti2d/Analyse/Logarithme/Fonction_ln/1E_derivation.tex

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2020-05-05 07:53:14 +00:00
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\title{Dérivation de ln}
\tribe{Terminale Tsti2d}
\date{Janvier 2020}
\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\begin{exercise}[subtitle={Dériver les fonctions}]
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $f(x) = x-2-\ln(x)$
\item $f(x) = 2x^2 - 2x + 4\ln(x)$
\item $f(x) = x\ln(x)$
\item $f(x) = (x+1)\ln(x)$
\item $f(x) = (\ln(x) + 1)^2$
\item $f(x) = \frac{1 + \ln(x)}{x}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Variations}]
Pour chacune des fonctions suivantes, calculer la dérivée, la mettre sur un seul dénominateur, étudier son signe et en déduire les variations de la fonction initiale.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $f(x) = 2x-3-4\ln(x)$ sur $I=\R^{+*}$
\item $g(x) = x^2 -3x + 2 + 3\ln(x)$ sur $I=\R^{+*}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Fonction annexe}]
On souhaite étudier les variations de la fonction
\[
f(x) = \frac{\ln(x)}{x} - x + 2 \mbox{ sur } R^{+*}
\]
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $f(x) = \dfrac{\ln(x) - x^2 + 2x}{x}$.
\item Démontrer que la dérivée de $f$ peut s'écrire
\[
f'(x) = \frac{g(x)}{x^2} \qquad \mbox{ avec } \qquad g(x) = 1 - \ln(x) - x^2
\]
\end{enumerate}
\item Étude du signe de la fonction $g$
\begin{enumerate}
\item Calculer $g'(x)$, étudier son signe puis en déduire les variations de $g$ sur $R^{+*}$.
\item Calculer $g(1)$ puis en déduire le tableau de signe de $g$.
\end{enumerate}
\item Tracer le tableau de variation de $f$ puis par lecture graphique compléter les limites.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\vfill
\printexercise{exercise}{1}
\printexercise{exercise}{2}
\printexercise{exercise}{3}
\printexercise{exercise}{4}
\end{document}