2019-2020/TES/Integration/Primitive/banque.tex

\collectexercises{banque}
\begin{exercise}[subtitle={Intégrale et aire}, step={1}, topics={Integration}]
    Calculer les intégrales suivantes
    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
            \item $\displaystyle \int_1^6 5t dt $
            \item $\displaystyle \int_{-10}^5 t dt $
            \item $\displaystyle \int_{100}^{200} \frac{1}{2} t dt $
            \item $\displaystyle \int_1^6 5 dt $
            \item $\displaystyle \int_{3}^{10} 1 dx $
            \item $\displaystyle \int_{0}^{110} 0,3x dx $
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Calculer des aires}, step={2}]
    \begin{enumerate}
        \item On veut calculer la quantité $\ds \int_2^3 3x^2 - 12x +14 dx$.
            \begin{enumerate}
                \item Parmi les fonctions suivantes laquel est une primitive de $f(x) = 3x^2 - 12x +14$?
                    \[
                        F(x) = 6x^3 + 4x^2 - 5x + 10 \qquad
                        F(x) = -3x^3 + 4x^2 - 5x + 1 \qquad
                        F(x) = x^3 - 6x^2 + 14x + 1 \qquad
                    \]
                \item Calculer $\ds \int_2^3 3x^2 - 12x +14 dx$
            \end{enumerate}
        \item On veut calculer la quantité
            \begin{enumerate}
                \item Parmi les fonctions suivantes laquel est une primitive de $f(x) = 6x^2 + 4x -5$?
                    \[
                        F(x) = x^6 + x^2 - 5x + 1 \qquad
                        F(x) = 2x^3 + 2x^2 - 5x + 10 \qquad
                        F(x) = 6x^3 + 4x^2 - 5x \qquad
                    \]
                \item Calculer $\ds \int_1^{10} 6x^2 + 4x - 5 dx$
            \end{enumerate}
        \item On veut calculer la quantité $\ds \int_1^{10} 12x^3 - x - 1 dx$
            \begin{enumerate}
                \item Parmi les fonctions suivantes laquel est une primitive de $f(x) = 12x^3 - x - 1$?
                    \[
                        F(x) = 3x^4 - 0.5x^2 - x  \qquad
                        F(x) = x^4 - 2x^2 - x + 2  \qquad
                        F(x) = \dfrac{12}{4}x^4 - \dfrac{1}{2}x^2 - x  \qquad
                    \]
                \item Calculer $\ds \int_1^{10} 12x^3 - x - 1 dx$
            \end{enumerate}
        \item On veut calculer la quantité $\ds \int_{-1}^{1} e^x + 10x + 1 dx$
            \begin{enumerate}
                \item Parmi les fonctions suivantes laquel est une primitive de $f(x) = e^x + 10x + 1$?
                    \[
                        F(x) = e^x + 5x^2 - x + 1 \qquad
                        F(x) = e^x + 5x^2 + x + 10 \qquad
                        F(x) = e^x + 10x^2 - 2x \qquad
                        F(x) = e^x + 5x^2 - x + 5 \qquad
                    \]
                \item Calculer $\ds \int_{-1}^{1} e^x + 10x + 1dx$
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Calculs de primitives}, step={3}]
    Calculer les primitives des fonctions suivantes.
    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
            \item $f(x) = 9x^2 - 2x + 2$
            \item $f(x) = 2 + 5x  - 15x^2$
            \item $f(x) = 5x^3 + 2x^2 + 1$
            \item $f(x) = (2x+1)^2$
            \item $f(x) = e^x + 5e^x + 1$
            \item $f(x) = \dfrac{1}{x^2} + 4$
            \item(*) $f(x) = \dfrac{3}{x^2} - x$
            \item(*) $f(x) = \dfrac{x^3 + 2x^2 + 1}{x}$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Calculs de primitives - exponentielle}, step={3}]
    Calculer les primitives des fonctions suivantes.
    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
            \item $f(x) = 2e^{2x+1}$
            \item $f(x) = 0.1e^{0.1x-19}$
            \item $f(x) = 6e^{2x+1}$
            \item $f(x) = (2x+1)e^{x^2+x+2}$
            \item(*) $f(x) = 2e^{0.5x+1} - e^{-0.5x+2}$
            \item(*) $f(x) = (x-2)e^{x^2 - 4x}$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Calculer une intégrale}, step={4}]
    On souhaite calculer plusieurs intégrales de la fonction $f(x) =3x^2 + 4x - 1$
    \begin{enumerate}
        \item Calculer un primitive de $f$.
        \item Représenter graphiquement les quantités suivantes puis les calcules.
            \[
                \int_{1}^2 f(x) \;dx \qquad
                \int_{2}^3 f(x) \;dx \qquad
            \]
        \item Représenter graphiquement la quantité $\ds \int_{1}^3 f(x) \;dx$ et déduire sa valeur à partir de la questions précédente
        \item (*) Quelle formule peut-on conjecturer des deux questions précédentes? (si vous êtes pas trompé, cette formule s'appelle la relation de Chasles).
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Calculs d'intégrales}, step={4}]
    Calculer les valeurs suivantes
    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
            \item $\ds A = \int_1^2 9x^2 - 2x + 2\; dx$
            \item $\ds B = \int_3^4 5x^3 + 2x^2 + 1\; dx$
            \item $\ds C = \int_0^{10} (2x+1)^2\; dx$
            \item(*) $\ds D = \int_0^{10} 0.5e^{0.5x+1}\; dx$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Propriétés de l'intégrales}, step={4}]
    Dans cet exercice, le calcul de plusieurs intégrales devrait vous permettre d'intuiter les propriétés de l'intégrale (du même type de la relation de Chasles dans le premier exercice).

    \begin{minipage}{0.5\textwidth}

        Pour cela, on va s'intéresser aux deux fonctions suivantes (représentée ci-contre)

        \[
            f(x) = 2x - 4 \qquad \qquad g(x) = x^2 - 6x + 11
        \]
    \end{minipage}
    \begin{minipage}{0.5\textwidth}
        \begin{tikzpicture}[yscale=0.3, xscale=1.2, domain=-1:6]
            \tkzInit[xmin=-1,xmax=6,xstep=1, ymin=-4,ymax=7,ystep=1]
            \tkzGrid
            \tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.2]
            \tkzFct{2*x-4}
            \tkzFct{(x-3)*(x-3)+2}
            %\draw plot[id=g] function {(x-3)*(x-3)+2} node[right] {$g(x)$};
        \end{tikzpicture}
    \end{minipage}
    \begin{enumerate}
        \item Influence du signe de la fonction
            \begin{enumerate}
                \item Calculer les quantités suivantes
                    \[
                        \int_{1}^2 f(x) \;dx \qquad \qquad \int_3^4 g(x) \;dx
                    \]
                \item Quel est le signe de $f(x)$ sur $\intFF{1}{2}$ puis sur $\intFF{3}{4}$?
                \item Que peut-on conjecturer sur le lien entre le signe de la fonction et le signe de l'intégrale?
            \end{enumerate}
        \item Croissance de l'intégrale Pour les questions qui suivent on définira
            \[
                h(x) = f(x) - g(x)
            \]
            \begin{enumerate}
                \item Étudier le signe de $h(x)$ et en déduire l'intervalle sur lequel on a $f(x) \geq h(x)$.
                \item Calculer les quantités suivantes
                    \[
                        \int_3^5 h(x) \;dx
                    \]
                \item En déduire, la comparaison des quantités suivantes
                    \[
                        \int_3^5 f(x) \;dx \qquad \qquad  \int_3^5 g(x) \;dx
                    \]
                \item Que peut-on conjecturer de la questions (a) et (c)?
            \end{enumerate}
        \item Aire entre deux courbes.
            \begin{enumerate}
                \item Représenter sur le graphique la quantité
                    \[
                        \int_3^5 f(x) \;dx - \int_3^5 g(x) \;dx
                    \]
                \item En déduire, une méthode pour calculer l'aire contenue entre 2 courbes.
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Encore d'actualité}, step={5}]
    Dans un précédent exercice, on avait étudié le nombre de personnes infecté au Covid-19 en France. Les quantités qui suivent sont tirés de cet exercice et grossièrement arrondis.

    Dans l'exercice présent, nous allons étudier le nombre de nouveaux cas à partir du premier mars suivant deux modèles: un discret (avec une suite) et un continu (avec un fonction).

    \begin{enumerate}
        \item \textbf{Modèle discret}: Le nombre de nouveaux cas quotidiens est modélisé par une suite géométrique $(u_n)$ de premier terme 26 et de raison 1,22. $n$ désigne le nombre de jour après le premier mars.
            \begin{enumerate}
                \item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
                \item Combien de nouveau cas peut-on compter au 5mars ($u_4$)? Au 10 mars?
                \item Tracer la représentation graphique de $u_n$ pour $n$ allant de 0 à 10 (l'axe des abscisses ira de 0 à 200).
                \item Combien de nouveau cas peut-on compter entre le premier mars et le 10 mars (compris)?
                \item Interpréter ce résultat en terme d'aire sur le graphique.
                \item Quelle a été la moyenne du nombre de nouveaux cas entre le premier et le 10 mars?
            \end{enumerate}
        \item \textbf{Modèle continue}: Le nombre de nouveaux cas quotidiens est modélisé par la fonction suivante (obtenu par prolongement continue le la suite $(u_n)$)
            \[
                f(x) = 26 e^{0.2x}
            \]
            \begin{enumerate}
                \item Tracer la représentation graphique de la fonction $f(x)$.
                \item Représenter graphiquement le nombre de cas total entre le premier et le 10 mars (compris).
                \item Calculer cette quantité.
                \item Quelle a été la moyenne du nombre de nouveaux cas entre le premier et le 10 mars?
            \end{enumerate}
        \item (*) Proposer une façon de calculer la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={valeur moyenne}, step={5}]
    Calculer la valeur moyenne des fonctions ci-dessous suivant l'intervalle considéré
    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
            \item $f(x) = 2x^2 + 4x - 1$ sur $I = \intFF{2}{3}$
            \item $g(x) = 4x^3 - 2x^2 + 1$ sur $I = \intFF{0}{10}$
            \item $h(x) = (2x-1)^2$ sur $I = \intFF{0}{0.5}$
            \item $i(x) = 0,5e^{-0,5x}$ sur $I = \intFF{0}{10}$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Fonction à densite}, step={6}]
    Déterminer, dans les cas suivant, si la fonction $f$ est une fonction à densité.
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
        \item $f(x) = 3x^2$ sur $\intFF{0}{1}$
        \item $f(x) = -3x^2$ sur $\intFF{-1}{0}$
        \item $f(x) = \dfrac{2}{x^2}$ sur $\intFF{1}{2}$
        \item $f(x) = 0,5 - x$ sur $\intFF{-1}{1}$
        \item $f(x) = e^x$ sur $\intFF{0}{\ln(1)}$
        \item $f(x) = e^x$ sur $\intFF{0}{\ln(2)}$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Loi uniforme}, step={6}]
    Soit $X$ une variable aléatoire sur $\intFF{0}{5}$ que l'on associe à la fonction $f(x) = 0.2$
    \begin{enumerate}
        \item Calculer
            \[
                \int_0^5 f(x) \; dx
            \]
            Est-ce que la fonction $f$ est une fonction de densité sur $\intFF{0}{5}$?
        \item Tracer sur la calculatrice la courbe représentative de $f$ sur $\intFF{0}{5}$. Et recopier l'allure de cette courbe.
        \item Calculer les probabilités suivantes en représentant à chaque fois sur le graphique ce à quoi cela correspond.
            \[
                P(1 \leq X \leq 2) \qquad \qquad
                P(1 \leq X) \qquad \qquad
                P(X \leq 2) \qquad \qquad
                P(X = 2)
            \]
        \item Calculer l'espérance de $X$.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Étrange loi}, step={6}]
    Soit $X$ une variable aléatoire sur $\intFF{0}{3}$ que l'on associe à la fonction $f(x) = -x^2 + \frac{10}{3}$
    \begin{enumerate}
        \item Calculer
            \[
                \int_0^3 f(x) \; dx
            \]
            Est-ce que la fonction $f$ est une fonction de densité sur $\intFF{0}{3}$?
        \item Tracer sur la calculatrice la courbe représentative de $f$ sur $\intFF{0}{3}$. Et recopier l'allure de cette courbe.
        \item Calculer les probabilités suivantes en représentant à chaque fois sur le graphique ce à quoi cela correspond.
            \[
                P(1 \leq X \leq 2) \qquad \qquad
                P(1 \leq X) \qquad \qquad
                P(X \leq 2) \qquad \qquad
                P(X = 2)
            \]
        \item Calculer l'espérance de $X$.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Primitive et exponentielle}, step={7}]
    \begin{enumerate}
        \item Trouver les primitives des fonctions suivantes
            \begin{multicols}{3}
                \begin{enumerate}
                    \item $f(x) = 3e^{3x}$
                    \item $g(x) = 0.4e^{-0.4x}$

                    \item $i(x) = e^{5x}$
                    \item $j(x) = e^{-0.1x}$

                    \item $k(x) = 10e^{2x}$
                    \item $l(x) = 0.6e^{-0.2x}$
                \end{enumerate}
            \end{multicols}
        \item Calculer les quantités suivantes
            \[
                \int_0^3 g(x) \;dx \qquad \qquad
                \int_{-1}^1 i(x) \;dx \qquad \qquad
                \int_{10}^{100} l(x) \;dx
            \]
        \item Calculer les valeurs moyennes suivantes
            \begin{multicols}{2}
                \begin{enumerate}
                    \item De $f(x)$ sur $\intFF{0}{1}$
                    \item De $j(x)$ sur $\intFF{10}{100}$
                \end{enumerate}
            \end{multicols}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Demande}, step={7}]
	% Centre étranger Juin 2018 Ex4
	On considère la fonction dérivable $f$ définie sur $I = [0~;~20]$ par:

	\[f(x) = \np{1000}(x + 5)\text{e}^{- 0,2x}.\]

	\medskip

	\textbf{Partie A - Étude graphique}

	\medskip

	On a représenté sur le graphique ci-dessous, la courbe représentative de la
	fonction $f$.

	\emph{Répondre aux questions suivantes par lecture graphique.}

	\begin{center}
        \begin{tikzpicture}[yscale=0.8, xscale=0.6]
            \tkzInit[xmin=0,xmax=22,xstep=1, ymin=0,ymax=6000,ystep=1000]
            \tkzGrid
            \tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.2]
            \tkzFct{1000*(x+5)*exp(-0.2*x)}
        \end{tikzpicture}
	\end{center}

	\bigskip

	\begin{enumerate}
		\item Résoudre graphiquement et de façon approchée l'équation $f(x) = \np{3000}$.
		\item Donner graphiquement une valeur approchée de l'intégrale de $f$ entre 2 et 8 à
			une unité d'aire près. Justifier la démarche.
	\end{enumerate}

	\bigskip

	\textbf{Partie B - Étude théorique}

	\medskip

	\begin{enumerate}
		\item On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$ sur [0~;~20].

			Démontrer que pour tout $x$ de [0~;~20], $f'(x) = - 200x\text{e}^{-0,2x}$.
		\item  En déduire le sens de variation de $f$ et dresser son tableau des variations sur
			l'intervalle [0~;~20]. Si nécessaire, arrondir à l'unité les valeurs présentes dans
			le tableau.
		\item  Démontrer que l'équation $f(x) = \np{3000}$ admet une unique solution $\alpha$ sur
			[0~;~20], puis donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près à l'aide de la
			calculatrice.
	\end{enumerate}
	Soit $F(x) = - \np{5000}(x + 10)\text{e}^{-0,2x}$

	\begin{enumerate}
		\setcounter{enumi}{3}
		\item Démontrer que $F(x)$ est une primitive de la fonction $f$ sur [0~;~20].

		\item Calculer $\displaystyle\int_2^8 f(x)\:\text{d}x$. On donnera la valeur exacte, puis la valeur arrondie à
			l'unité.
	\end{enumerate}

	\bigskip

	\textbf{Partie C - Application économique}

	\medskip

	La fonction de demande d'un produit est modélisée sur l'intervalle [0~;~20] par la
	fonction $f$ étudiée dans les parties A et B.

	Le nombre $f(x)$ représente la quantité d'objets demandés lorsque le prix unitaire est
	égal à $x$ euros.

	Utiliser les résultats de la partie B afin de répondre aux questions suivantes:

	\bigskip

	\begin{enumerate}
		\item En-dessous de quel prix unitaire, arrondi au centime, la demande est-elle
			supérieure à \np{3000}~objets ?
		\item Déterminer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle
			[2~;~8]. Interpréter ce résultat.
	\end{enumerate}
\end{exercise}

\collectexercisesstop{banque}