2019-2020/TES/Logarithme/Etude_fonction/1B_derive_ln.tex

\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage{myXsim}

\title{Étude de la fonction logarithme}
\tribe{Terminale TESL}
\date{Mai 2020}

\begin{document}

\maketitle

\section{Représentation graphique}

La \textbf{fonction logarithme} notée $\ln$ est définie sur $\R^{+*}=\intOO{0}{+\infty}$ par $\ln :x \mapsto ln(x)$.

        \begin{minipage}{0.5\textwidth}
            \begin{itemize}
                \item Elle est continue et dérivable sur $\R^{+*}$
                \item Elle est négative sur $\intOO{0}{1}$
                \item Elle est positive sur $\intOO{1}{+\infty}$
                \item $\ln(1) = 0$ et $\ln(e) = 1$
            \end{itemize}
            \begin{tikzpicture}
                \tkzTabInit[lgt=2,espcl=5]{$x$/1,$f(x)$/2}%
                {$0$, $+\infty$}%
                \tkzTabVar{D-/$-\infty$, +/$+\infty$}%
            \end{tikzpicture}
        \end{minipage}
        \hfill
        \begin{minipage}{0.4\textwidth}
        \begin{tikzpicture}[yscale=0.8, xscale=1]
            \tkzInit[xmin=0,xmax=6,xstep=1,
            ymin=-3,ymax=3,ystep=1]
            \tkzGrid
            \tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
            \tkzFct[domain = 0.01:6, line width=1pt]{log(x)}
            \tkzText[draw,fill = brown!20](5,-2.5){$f(x)=\ln(x)$}
        \end{tikzpicture}
        \end{minipage}

\section{Dérivée de $\ln$}

\subsection*{Propriété}

La dérivée de la fonction logarithme est la fonction inverse
\[
    \forall x \in \intOO{0}{+\infty} \qquad \ln'(x) = \frac{1}{x}
\]

On en déduit, pour tout $x > 0$:
\begin{itemize}
    \item $\ln'(x) = \dfrac{1}{x}$ et $\dfrac{1}{x} > 0$ alors la fonction logarithme est \dotfill
    \item $\ln''(x) = \makebox[2cm]{\dotfill}$ et $\makebox[2cm]{\dotfill}$ alors la fonction logarithme est \dotfill
\end{itemize}

\subsection*{Exemples de calculs}

Calcul de la dérivée de $f(x) = 2x + 1 - 4\ln(x)$
\afaire{}

Calcul de la dérivée de $f(x) = (2x+1)\ln(x)$
\afaire{}

Calcul de la dérivée de $f(x) = \dfrac{2x+1}{\ln(x)}$
\afaire{}





\end{document}