75 lines
2.1 KiB
TeX
75 lines
2.1 KiB
TeX
|
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
||
|
|
\usepackage{myXsim}
|
||
|
|
\usepackage{booktabs}
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
\title{Limite de suite géométriques- Bilan}
|
||
|
|
\date{Décembre 2019}
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{document}
|
||
|
|
|
||
|
|
\section*{Suites arithméticogéométriques}
|
||
|
|
|
||
|
|
\subsection{Définition}
|
||
|
|
|
||
|
|
Une suite arithméticogéométrique est une suite qui mélange les caractéristiques d'une suite arithmétique (l'addition) et d'une géométrique (la multiplication). Elle est de la forme
|
||
|
|
\[
|
||
|
|
u_{n+1} = a\times u_n + b \mbox{ avec } a \mbox{ et } b \mbox{ deux réels}
|
||
|
|
\]
|
||
|
|
|
||
|
|
\subsection{Remarques}
|
||
|
|
\begin{itemize}
|
||
|
|
\item Vous avez construit des suites de ce type dans l'exercice sur le renouvellement des médecins.
|
||
|
|
\item Aucune connaissance théorique sur les suites arithméticogéométriques n'est exigible en terminal ES-L. Par contre, on les retrouve presque toujours en les exercices du bac. Il a quelques manipulations à connaître.
|
||
|
|
\end{itemize}
|
||
|
|
|
||
|
|
\subsection{Manipulations à connaître}
|
||
|
|
|
||
|
|
Soit $(u_n)$ une suite définie par
|
||
|
|
\[
|
||
|
|
\left\{
|
||
|
|
\begin{array}{l}
|
||
|
|
u_{n+1} = 0.9 u_n + 24 \\
|
||
|
|
u_0 = \np{60}
|
||
|
|
\end{array}
|
||
|
|
\right.
|
||
|
|
\]
|
||
|
|
On reconnaît une suite arithméticogéométrique.
|
||
|
|
|
||
|
|
Pour l'étude de cette suite, on passera par une suite annexe (qui sera toujours donnée).
|
||
|
|
\[
|
||
|
|
v_n = u_n - 240
|
||
|
|
\]
|
||
|
|
On va alors chercher à démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique
|
||
|
|
\begin{eqnarray*}
|
||
|
|
\frac{v_{n+1}}{v_n} &=& \frac{u_{n+1} - 240}{u_n-240} \\
|
||
|
|
&=& \frac{0.9u_n + 24 - 240}{u_n-240}\\
|
||
|
|
&=& \frac{0.9u_n - 216}{u_n-240}\\
|
||
|
|
&=& \frac{0.9\left( u_n - 240\right)}{u_n - 240} \\
|
||
|
|
&=& 0.9
|
||
|
|
\end{eqnarray*}
|
||
|
|
Donc
|
||
|
|
\[
|
||
|
|
v_{n+1} = 0.9v_n
|
||
|
|
\]
|
||
|
|
Donc la suite $(v_n)$ est géométrique de raison q=0.9. Il reste donc à connaître le premier terme $v_0$
|
||
|
|
\[
|
||
|
|
v_0 = u_0 -240 = 60 - 240 = -180
|
||
|
|
\]
|
||
|
|
On peut en déduit $v_n$ en fonction de $n$
|
||
|
|
\[
|
||
|
|
v_n = v_0\times q^n = -180\times0.9^n
|
||
|
|
\]
|
||
|
|
On en déduit donc $u_n$ (ici je l'explique d'une autre façon que Aurélie mais les deux méthodes sont correctes).
|
||
|
|
\[
|
||
|
|
v_n = u_n - 240
|
||
|
|
\]
|
||
|
|
Donc
|
||
|
|
\[
|
||
|
|
u_n = v_n + 240 = -180\times0.9^n + 240
|
||
|
|
\]
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
\end{document}
|