2019-2020/Tsti2d/Geometrie/Complexe/2B_forme_exp.tex

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2020-05-05 07:53:14 +00:00
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\title{Complexes, module et argument}
\tribe{Terminale Sti2d}
\date{Janvier 2020}
\pagestyle{empty}
\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm}
\begin{document}
\setcounter{section}{1}
\section{Forme exponentielle}
On a vu que quand on faisait le produit de deux nombres complexes, leurs arguments s'additionnaient. Ce comportement correspond à celui de l'exponentielle. C'est en partie pour cela qu'on définit l'exponentielle complexe de la façon suivante
\[
\cos(\theta) + i \sin(\theta) = e^{i\theta}
\]
On retrouve le comportement de l'exponentielle avec la multiplication.:
\[
e^{i\theta} \times e^{i\theta'} = e^{i(\theta + \theta')}
\]
\subsection*{Définition}
La forme exponentielle d'une nombre complexe de module $r$ (avec $r>0$) et d'argument $\theta$ est
\[
z = re^{i\theta}
\]
\subsection*{Propriété}
Soient $z = re^{i\theta}$ et $z' = r'e^{i\theta'}$ deux nombres complexes écrits sous forme exponentielle. Alors
\[
z\times z' = re^{i\theta} \times r'e^{i\theta'} = rr'e^{i(\theta+\theta')}
\]
\subsection*{Exemple}
Soient $z = 2e^{i\frac{\pi}{3}}$ et $z' = \sqrt{3}e^{i\frac{\pi}{2}}$. Calculer
\[
z\times z' =
\]
\afaire{}
\end{document}