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\documentclass[11pt,xcolor=table]{classPres}
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\setlength\columnsep{0pt}
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\title{Produit scalaire}
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\date{Septembre 2019}
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\begin{document}
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\begin{frame}{Produit scalaire}
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\begin{block}{Définition}
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Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls.\\
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Le \textfb{produit scalaire} de $\vec{u}$ par $\vec{v}$ est \textfb{le nombre réel} tel que
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\[
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\vec{u}\cdot\vec{v} = ||\vec{u}||\times||\vec{v}||\times \cos( \theta )
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\]
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où $\theta$ est la mesure de l'angle $(\vec{u}, \vec{v})$.
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\pause
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\bigskip
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Si $\vec{u} = \vec{0}$ ou $\vec{v} = \vec{0}$ alors $\vec{u}\cdot\vec{v} = 0$.
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\end{block}
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\end{frame}
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\begin{frame}{Calculs de produits scalaires}
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%\framesubtitle{Sans calculatrice}
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\begin{block}{Calculer les produits scalaires $\vec{u}\cdot\vec{v}$}
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\begin{multicols}{2}
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\begin{enumerate}
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\item $||\vec{u}|| = 2$, $||\vec{v}|| = 2$ et $(\vec{u}, \vec{v}) = \dfrac{\pi}{3}$
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\item $||\vec{u}|| = 5$, $||\vec{v}|| = 1$ et $(\vec{u}, \vec{v}) = \dfrac{2\pi}{3}$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{block}
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\begin{block}{Retrouver l'angle $(\vec{u}, \vec{v})$}
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\begin{multicols}{2}
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\begin{enumerate}
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\item $||\vec{u}|| = 2$, $||\vec{v}|| = 2$ et $\vec{u} \cdot \vec{v} = 2$
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\item $||\vec{u}|| = 3$, $||\vec{v}|| = 2$ et $\vec{u} \cdot \vec{v} = 3\sqrt{2}$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{block}
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\begin{block}{Cas particuliers}
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\begin{enumerate}
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\item Comment sont $\vec{u}$ et $\vec{v}$ quand $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$?
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\item Comment sont $\vec{u}$ et $\vec{v}$ quand $\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}||$?
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\end{enumerate}
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\end{block}
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\end{frame}
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\begin{frame}{Propriétés}
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\begin{block}{Cas particuliers}
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Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls.
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\begin{itemize}
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\vspace{1cm}
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\item $\vec{u}\cdot\vec{v} = 0$ ssi $\vec{u} \perp \vec{v}$
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\vspace{1cm}
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\item $\vec{u}\cdot\vec{v} = ||\vec{u}||\times ||\vec{v}||$ ssi $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires dans la même direction
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\vspace{1cm}
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\item $\vec{u}\cdot\vec{v} = -||\vec{u}||\times ||\vec{v}||$ ssi $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires dans la direction opposée
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\vspace{1cm}
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\end{itemize}
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\end{block}
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\end{frame}
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\begin{frame}{Une autre façon de calculer}
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\begin{block}{Propriété}
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Soit $\vec{u}(x,y)$ et $\vec{v}(x',y')$ deux vecteurs non nuls dans un repère orthonormés alors
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\[
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\vec{u} \cdot \vec{v} = x\times x' + y\times y'
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\]
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\end{block}
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\pause
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\begin{block}{Utilisation}
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Calculer un angle entre 2 vecteur à partir des coordonnées.
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\end{block}
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\end{frame}
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\begin{frame}{Calculs de produits scalaires}
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\begin{block}{Calculer $\vec{u}\cdot\vec{v}$ puis $\cos(\vec{u},\vec{v})$}
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\begin{enumerate}
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\item $\vec{u} = \vectCoord{2}{3}$ et $\vec{v} = \vectCoord{-1}{3}$
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\item $\vec{u} = \vectCoord{-2}{3}$ et $\vec{v} = \vectCoord{6}{-2}$
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\end{enumerate}
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\end{block}
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\begin{block}{L'angle $\widehat{BAC}$}
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\begin{enumerate}
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\item avec $A(1;2)$, $B(3; -4)$, $C(1;-1)$
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\item avec $A(4;1)$, $B(-1; 1)$, $C(1;5)$
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\end{enumerate}
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\end{block}
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\begin{block}{Quelle est la nature du triangle $ABC$?}
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Avec $A(-1;2)$, $B(0;5)$ et $C(2;1)$
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\end{block}
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\end{frame}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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