2019-2020/Tsti2d/Analyse/Operation_limites/banque.tex

\collectexercises{banque}
\begin{exercise}[subtitle={Limites des fonctions polynômes}, step={1}, topics={Limite}]
    Retrouver les limites suivantes
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $\ds \lim_{x \rightarrow +\infty} x^2 = $
            \item $\ds \lim_{x \rightarrow +\infty} 3x^2 = $
            \item $\ds \lim_{x \rightarrow +\infty} -5x^2 = $

            \item $\ds \lim_{x \rightarrow -\infty} x^2 = $
            \item $\ds \lim_{x \rightarrow -\infty} x^2 + 1= $
            \item $\ds \lim_{x \rightarrow -\infty} 0.1x^2 - 100= $

            \item $\ds \lim_{x \rightarrow +\infty} x = $
            \item $\ds \lim_{x \rightarrow +\infty} x^2 + x = $
            \item $\ds \lim_{x \rightarrow +\infty} x^2  - x + 1 = $
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Limites des fonctions de référence}, step={1}, topics={Limite}]
    Retrouver les limites suivantes
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $\ds \lim_{x \rightarrow +\infty} e^x = $
            \item $\ds \lim_{x \rightarrow +\infty} -2e^x = $
            \item $\ds \lim_{x \rightarrow -\infty} e^x + 1 = $
            \item $\ds \lim_{x \rightarrow -\infty} 1 - 0.1e^x = $

            \item $\ds \lim_{x \rightarrow 0+}  \ln(x) = $
            \item $\ds \lim_{x \rightarrow 0+} \ln(x) + 10 = $
            \item $\ds \lim_{x \rightarrow +\infty} \ln(x) + 3= $
            \item $\ds \lim_{x \rightarrow +\infty} -2\ln(x) = $

            \item $\ds \lim_{x \rightarrow -\infty} 2\times\frac{1}{x} = $
            \item $\ds \lim_{x \rightarrow 0-} \frac{10}{x}= $
            \item $\ds \lim_{x \rightarrow 0+} \frac{-2}{x}= $
            \item $\ds \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{5}{x} + 1 = $
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Limites de polynômes avec les puissances}, step={2}, topics={Limite}]
    Retrouver les limites suivantes en $+\infty$ et $-\infty$ des fonctions suivantes
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $f(x) =  x^2 - x + 1 $
            \item $f(x) =  (x^2 - x + 1)^3 $
            \item $f(x) =  (-2x + 1)^2 $

            \item $f(x) =  x^3 - x $
            \item $f(x) =  (x^3 - x)^3 $
            \item $f(x) =  3x - 2x^5 $

            \item $f(x) =  (-4x + 2)^3 $
            \item $f(x) =  (-x^2 - x + 1)^2 $
            \item $f(x) =  (x^2 - x)^2 $
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Limites de fonctions avec les puissances}, step={2}, topics={Limite}]
    Retrouver les limites suivantes
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $\ds \lim_{x \rightarrow +\infty} (e^x)^2 = $
            \item $\ds \lim_{x \rightarrow +\infty} (e^x)^3 = $
            \item $\ds \lim_{x \rightarrow -\infty} (e^x)^2 = $

            \item $\ds \lim_{x \rightarrow +\infty} (\ln(x))^2= $
            \item $\ds \lim_{x \rightarrow 0} (\ln(x))^3 = $
            \item $\ds \lim_{x \rightarrow 0} (\ln(x))^2 = $

            \item $\ds \lim_{x \rightarrow +\infty} (\dfrac{1}{x})^3 = $
            \item $\ds \lim_{x \rightarrow 0+} (\dfrac{1}{x})^2 = $
            \item $\ds \lim_{x \rightarrow 0-} (\dfrac{1}{x})^2 = $
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Limites de fractions rationnelles}, step={3}, topics={Limite}]
    Retrouver les limites suivantes
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $\ds \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x + 1}{x^2 - 3} = $
            \item $\ds \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{4x^3 - 12}{2x^2 - 3} = $
            \item $\ds \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{2x + 1}{5x - 3} = $

            \item $\ds \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{0.4x+1}{0.2x^2 - 3} = $
            \item $\ds \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{x^3 + 3x^2 +1}{x^5 + 2x - 3} = $
            \item $\ds \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{x+2x^2}{3x^2 - 3} = $

            \item $\ds \lim_{x \rightarrow 0+} \frac{x+1}{x^2 - 3} = $
            \item $\ds \lim_{x \rightarrow 4+} \frac{x+1}{x^2 - 3} = $
            \item $\ds \lim_{x \rightarrow 1-} \frac{x+1}{x - 1} = $
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Étude d'une fonction rationnelle}, step={3}, topics={Limite}]
    On souhaite étudier la fonction $f(x)$ définie sur $\intOO{-\infty}{1}\cup\intOO{1}{+\infty}$ par
    \[
        f(x) = \frac{x^2 + x - 1}{x - 1}
    \]
    \begin{enumerate}
        \item Déterminer la valeur interdite de $f$.
        \item Calculer la dérivé de $f$.
        \item Étudier le signe de $f'$ et en déduire les variations de $f$.
        \item Compléter le tableau de variation en y ajoutant les limites que vous justifierez.
        \item En vous aidant de la calculatrice, tracer l'allure de la courbe de $f$ et noter les asymptotes.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Composée avec une exponentielle}, step={4}, topics={Limite}]
    Retrouver les limites suivantes
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $\ds \lim_{x \rightarrow +\infty} e^{2x + 1} = $
            \item $\ds \lim_{x \rightarrow +\infty} e^{-4x - 10} = $

            \item $\ds \lim_{x \rightarrow -\infty} e^{2x^3 + 2x - 1}$
            \item $\ds \lim_{x \rightarrow -\infty} e^{\frac{3}{x}}$

            \item $\ds \lim_{x \rightarrow 3} e^{5x + 2}= $
            \item $\ds \lim_{x \rightarrow 1+} e^{\frac{1}{x-1}}= $
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Solution d'équations différentielles}, step={4}, topics={Limite}]
    \begin{enumerate}
        \item On souhaite étudier la solution de l'équation différentielle
            \[
                \begin{cases}
                    y' = -2y\\
                    y(0) = 10
                \end{cases}
            \]
            \begin{enumerate}
                \item Déterminer la solution de cette équations.
                \item Déterminer la limite en $+\infty$ de la solution.
            \end{enumerate}
        \item On souhaite étudier la solution de l'équation différentielle
            \[
                \begin{cases}
                    y' = 10y\\
                    y(0) = 1
                \end{cases}
            \]
            \begin{enumerate}
                \item Déterminer la solution de cette équations.
                \item Déterminer la limite en $+\infty$ de la solution.
            \end{enumerate}
        \item On souhaite étudier la solution de l'équation différentielle
            \[
                \begin{cases}
                    y' = -2y + 10\\
                    y(0) = 3
                \end{cases}
            \]
            \begin{enumerate}
                \item Déterminer la solution de cette équations.
                \item Déterminer la limite en $+\infty$ de la solution.
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Composée avec un Logarithme}, step={4}, topics={Limite}]
    Retrouver les limites suivantes
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $\ds \lim_{x \rightarrow +\infty} \ln(2x + 1) = $
            \item $\ds \lim_{x \rightarrow 1+} \ln(x-1) = $

            \item $\ds \lim_{x \rightarrow 0} x + \ln(x)= $
            \item $\ds \lim_{x \rightarrow +\infty} x + \ln(x)= $

            \item $\ds \lim_{x \rightarrow +\infty} \ln\frac{2x+1}{x-1}$
            \item $\ds \lim_{x \rightarrow -\infty} \ln\frac{-5x^2 + 2}{10x^2 + x + 1}$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Composée avec un Logarithme}, step={4}, topics={Limite}]
    Soit $f$ la fonction définie sur $\intOO{0}{+\infty}$ pas
    \[
        f(x) = 1 + 2\frac{\ln x}{x}
    \]
    \begin{enumerate}
        \item Démontrer que la dérivée de $f$ est
            \[
                f'(x) = \frac{2 - 2\ln x}{x^2}
            \]
        \item  Étudier le signe de $f'(x)$ et en déduire les variations de $f$.
        \item Compléter le tableau de variations en y ajoutant les limites et les valeurs remarquables.
    \end{enumerate}
\end{exercise}
\collectexercisesstop{banque}